“等”生“不等”扑朔迷离，改变结构柳暗花明讲义——2024届高三数学三轮复习之一题多解

第26题  “等”生“不等”扑朔迷离，改变结构柳暗花明 已知，，求证：． 本例条件是两个等式，要证明的是一个不等式，属于“等”生“不等”题型，由于条件中字母比较多，而所求的是c的范围，消元是最为关键的解题步骤，思路一是，运用代入消元法消去c后由基本不等式整理得关于的不等式求出的取值范围，由条件解得c的取值范围． 由得，将此代入，并化简整理，得，又． ∴，则有，即，解之得．即，解得． （2024·河北石家庄·二模） 1．若实数，且，则的取值范围是 . 本例条件是两个等式，要证明的是一个不等式，属于“等”生“不等”题型，由于条件中字母比较多，而所求的是c的范围，消元是最为关键的解题步骤，思路二是，由条件结合基本不等式构造关于c的不等式，解之即得． 依题意得消元得． 整理得，解得． （2024高三·全国·专题练习） 2．已知实数a，b，c满足． (1)若，求证：； (2)若a，b，，求证：． 本例条件是两个等式，要证明的是一个不等式，属于“等”生“不等”题型，由于条件中字母比较多，而所求的是c的范围，消元是最为关键的解题步骤，思路三是，运用反证法，即假设或，依次推出与条件矛盾的结果． 假设或，当时，则，这与已知矛盾；当时，则，，， ∴，． 事实上，由得， ∴与矛盾． 综上所述，假设或不成立．∴． （22-23高一上·上海长宁·期中） 3．已知实数，，． (1)若，求的值； (2)求证：； (3)用反证法证明：． 本例条件是两个等式，要证明的是一个不等式，属于“等”生“不等”题型，由于条件中字母比较多，而所求的是c的范围，消元是最为关键的解题步骤，思路四是，消去a得关于b的一元二次方程，c为参数，由方程有实根得，解之即得. 由得，将此式代入并化简整理（实质是消去a），得．依题意知上述关于b的一元二次方程在实数范围内有解，则， 即，解得． （23-24高三下·江苏苏州·阶段练习） 4．已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【点评】 1.给出一个或若干个等式，要求某一等式的取值范围或某一字母的取值范围或求其最值，这类题目称之为“等”生“不等”，即通过相等关系导出不等关系，可以通过适度“放缩”实现． 2.处理这类问题往往从两方面入手：①要特别重视挖掘数学问题中的隐含条件，使原有条件明朗化或者变得更丰富，以此获得对问题的准确理解和正确分析，做出正确的推理；②改变一下条件原有的结构．让若明若暗、含而不露的已知条件柳暗花明．全面的知识且善于挖掘和变通条件，是提高解题能力的基础．数学上的通识、通法掌握得扎实与否是化“隐”为“显”的前提，同时还需要敏锐的观察力，关注往往不被注意的方方面面，多角度、多层次展开变通思维，抓结构、挖“模型”、变结构、重构造、变难为易，前面一片坦途． （2024·四川成都·三模） 5．设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为（    ） A． B．4 C． D． （23-24高三下·四川成都·阶段练习） 6．已知实数满足，则的最大值为 . （2023高三·全国·专题练习） 7．已知实数、、满足，，则的最大值为 . （21-22高二下·江西吉安·期中） 8．已知p3+q3=2,求证:p+q≤2. 9．已知a，b为非负数，，，求M的最值． （2024高三·全国·专题练习） 10．已知二次函数（，为实数） (1)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围； (2)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1． 【分析】先得到，并根据得到，从而求出. 【详解】因为，故， 由得，解得， 故. 故答案为： 2．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，又，结合基本不等式可得，化简求得，得证； （2）法一，由已知条件得，同理可得，，三式相加得证；法二，根据已知条件可得，所以，利用柯西不等式求解证明. 【详解】（1）因为，所以． 因为， 所以，当且仅当时等号成立， 整理得，所以． （2）解法一： 因为，且a，b，， 所以，，，所以， 同理可得，， 以上三式相加得，当且仅当时等号成立． 解法二：因为，且a，b，， 所以，，，且， 所以 ， 当且仅当时等号成立． 3．(1)； (2)证明过程见解析； (3)证明过程见解析. 【分析】（1）根据完全平方公式进行求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，结合二次函数的性质进行证明即可； （3）运用反证法，结合（2）的结论进行证明即可. 【详解】（1）因为，所以，， 又因为， 因为， 所以； （2）由，     因为， 所以由， 由， 所以实数可以看成关于的一元二次方程的两个不相等的大于的实数根，设， 因此有，