函数方程是“近亲”，以形助数传“佳话” 讲义——2024届高三数学三轮复习之一题多解

第25题 函数方程是“近亲”，以形助数传“佳话” 已知是定义在区间上以2为周期的函数，对，用表示区间，已知当时． （1）求在上的解析表达式； （2）对自然数k，求集合． 本例第（1）小题根据周期函数的概念及已知条件，易于得出上的函数解析式；之后与联立，得方程，即，此方程在上有两个不相等的实根即为第（2）小题，若用纯代数方法，原问题等价于 解此不等式组求得a的取值范围，运算量太大，根据数形结合思想法．从不同视角．构造各异，以形助数可有3种解法．其中思路一是，把问题转化为求，，与有两个交点时的a，即直线斜率a的取值范围，以图“说话”，数式图形相映成辉 （1）∵2是的周期，当时，2k也是的周期， 又∵当时，，∴， 即对，当时，． （2）（转化为求直线斜率a的取值范围） 方程，即有两个不等实根，，． 令，，，，如图24—1所示，在同一坐标系中分别作出、的图像，的图像是过原点，斜率为a的直线，方程有两个不等实根的充要条件是两图像有两个不同交点，由图25-1可知，当时两图像有两个不同交点． 从而，原方程有两个不等实根时，． （2019·江苏·高考真题） 1．设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是 . 本例第（1）小题根据周期函数的概念及已知条件，易于得出上的函数解析式；之后与联立，得方程，即，此方程在上有两个不相等的实根即为第（2）小题，若用纯代数方法，原问题等价于 解此不等式组求得a的取值范围，运算量太大，根据数形结合思想法．从不同视角．构造各异，以形助数可有3种解法．其中思路二是，利用，实现变量分离，将方程转化为一个新函数模型，借助函数图像求解． （1）∵2是的周期，当时，2k也是的周期， 又∵当时，，∴， 即对，当时，． （2）（分离变量，将方程转化为函数模型．寻求问题的几何意义） ，令，，，作这两个函数的图像如图25-2所示，图像有两个不同交点的充要条件是，即．∴． （2018·天津·高考真题） 2．已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是 . 本例第（1）小题根据周期函数的概念及已知条件，易于得出上的函数解析式；之后与联立，得方程，即，此方程在上有两个不相等的实根即为第（2）小题，若用纯代数方法，原问题等价于 解此不等式组求得a的取值范围，运算量太大，根据数形结合思想法．从不同视角．构造各异，以形助数可有3种解法．其中思路三是，设，讨论根的分布，以形助数，列式容易，解之不难. （1）∵2是的周期，当时，2k也是的周期， 又∵当时，，∴， 即对，当时，． （2）（用根的分布理论求解） 令，则问题转化为的图像在区间上与x轴有两个不同的交点（如图25-3所示）．其充要条件是 解得，∴． （2023·全国·高三专题练习） 3．已知函数,若关于x的函数有6个不同的零点,则实数b的取值范围是 【点评】 本例在求出上的函数解析式之后与联立，得方程，即，此方程在上有两个不相等的实根，若用纯代数方法，则原问题等价于 解此不等式组求得a的取值范围，但是运算量实在太大，且易于出错.本例第（2）小题从数形结合思想出发，按不同视角，构造各异，以形助数，简化了解题过程. 4．已知函数有零点，函数有零点，且，则实数的取值范围是 A． B． C． D． （2022上·河南·高三统考） 5．已知函数若方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，．若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________． （2021·北京·高考真题） 7．已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是 ． （2024·天津·二模） 8．设，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为 ． 9．已知函数，，用表示，中的最小值，设函数，讨论零点的个数． 试卷第2页，共2页 试卷第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．. 【分析】分别考查函数和函数图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可. 【详解】当时，即 又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.    当时，函数与的图象有个交点； 当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得. 综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为. 【点睛】本题考点为参数的取值范