解几最值求有妙法，构造函数多方出击讲义——2024届高三数学三轮复习之一题多解

第21题 解几最值求有妙法，构造函数多方出击 （2017年全国高考浙江卷第21题）如图19-2所示，已知抛物线，点、，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q． （1）求直线AP斜率的取值范围； （2）求的最大值． 本例两问以直线与抛物线的位置关系为载体，考查范围与最值的求解，可以有多种解法，其中第（1）小题有三种思路：一是利用直线的斜率公式及x的取值范围求解；二是根据图形分析，抓住极端位置，利用导数确定抛物线在点A处切线斜率及直线AB的斜率，从而确定开区间上斜率的范围；三是转化为直线AP与抛物线在区间内有实数解，由一元二次方程在内有交点运用方程理论求解.第（2）小题思路更多，思路一，先联立直线AP与BQ的方程，得出点Q的横坐标，并表示出、，然后构造函数求的最大值 （1）解法一设直线AP的斜率为k，，∵，∴直线AP斜率的取值范围是． （2）联立直线AP与BQ的方程 解得点Q的横坐标是． ∵， ∴．令． ∵． ∴在区间上单调递增，上单调递减． 因此，当时，取得最大值． 1．已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. (1)求E的方程； (2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程. 本例两问以直线与抛物线的位置关系为载体，考查范围与最值的求解，可以有多种解法，其中第（1）小题有三种思路：一是利用直线的斜率公式及x的取值范围求解；二是根据图形分析，抓住极端位置，利用导数确定抛物线在点A处切线斜率及直线AB的斜率，从而确定开区间上斜率的范围；三是转化为直线AP与抛物线在区间内有实数解，由一元二次方程在内有交点运用方程理论求解.第（2）小题思路更多，思路二，由弦长公式求，利用勾股定理求，而，从而得解析式，运用导数求最大值. （1）解法二由题意可知，直线AP的斜率介于抛物线在点处切线斜率与直线AB的斜率之间． 由于的导函数，，即拋物线在点处切线的斜率为－1，又直线AB的斜率为1．故直线AP斜率的取值范围是． （2） 设、，设直线， 联立抛物线方程得，由韦达定理得 ∴． ∵，， ∴． ． 令， ∵． ∴在区间上单调递增，上单调递减． 因此，当时，取得最大值． 2．已知椭圆的方程为，，分别为椭圆的左、右焦点，线段PQ是椭圆上过点的弦，则内切圆面积的最大值为 ． 本例两问以直线与抛物线的位置关系为载体，考查范围与最值的求解，可以有多种解法，其中第（1）小题有三种思路：一是利用直线的斜率公式及x的取值范围求解；二是根据图形分析，抓住极端位置，利用导数确定抛物线在点A处切线斜率及直线AB的斜率，从而确定开区间上斜率的范围；三是转化为直线AP与抛物线在区间内有实数解，由一元二次方程在内有交点运用方程理论求解.第（2）小题思路更多，思路三，运用两点间距离公式求构造函数，再进一步求解 （1）解法三 设直线AP的斜率为k，则直线AP的方程为．由，得关于x的一元二次方程为由题意可知，上述方程在区间内有实数解． 则，解得． 故直线AP斜率的取值范围是． （2） 设、、． 设直线，联立抛物线方程得． ∴，，∴ ∴，∴． ∴ ∵点Q坐标为，且， ∴，∴． ∴． ∴． 令， ∵． ∴在区间上单调递增，上单调递减． 因此，当时，取得最大值． 3．已知抛物线上一点，A，B是抛物线C上的两动点，且，则点M到直线AB距离的最大值是 ． 本例两问以直线与抛物线的位置关系为载体，考查范围与最值的求解，可以有多种解法，其中第（1）小题有三种思路：一是利用直线的斜率公式及x的取值范围求解；二是根据图形分析，抓住极端位置，利用导数确定抛物线在点A处切线斜率及直线AB的斜率，从而确定开区间上斜率的范围；三是转化为直线AP与抛物线在区间内有实数解，由一元二次方程在内有交点运用方程理论求解.第（2）小题思路更多，思路四，利用、共线，、垂直得方程组求，进一步求，而易求，再结合导数法求解. （1）同上 （2） 设，， 则． ∵与共线，，∴ 由此，求得点Q横坐标为． 进一步求出． ∴． 记，则． ∴当时取得最大值．此时． （23-24高三下·上海浦东新·期中） 4．已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若椭圆上点满足，求的值； (2)点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围； (3)已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足（），求的最大值. 本例两问以直线与抛物线的位置关系为载体，考查范围与最值的求解，可以有多种解法，其中第（1）小题有三种思路：一是利用直线的斜率公式及x的取值范围求解；二是根据图形分析，抓住极端位置，利用导数确定抛物线在点A处切线斜率及直线AB的斜率，从