通性通法为根基，设参变换有妙招讲义——2024届高三数学三轮复习之一题多解

第28题 通性通法为根基，设参变换有妙招 已知椭圆及其上的点.若直线交椭圆于，两点，直线，的斜率为、，且，2，成等比数列，求面积的最大值. 在直线与圆锥曲线位置关系中，最值的研究是一个重点，也是难点，本例题干看似“简单”，但解起来却难度颇高，、是两个参变量，虽然两者由等比数列联系着，得到的是一个公式关系，但若直线若设为，又引进和两个参数.面积可由三角形面积公式（高为原点到的距离）表示，但之长不易求，高也由多参数表达，运算量大.这里提供三种思路，其中思路一是.常规解法：设直线的方程为.引进双参数，通过联立方程组消元运用方程理论求解.这显然是一种通性通法，运算量大，但容易想到，由基本不等式求最值也很自然.当然，斜率不存在时的讨论不应遗漏. （1）若直线的斜率存在，可设为，直线方程为 ，，， 由得. 从而. 由韦达定理得，， ∵，2，成等差数列，∴， ∴， 即，① ∵，② ，③ ，④ 将②③④式代入①式，整理得 ， 得，即，∴或. 若，则直线的方程为恒过点，舍去； 若，则直线的方程为.∴，即. 又∵原点到直线的距离为. ∴， 令，则， 当且仅当时，取等号. （2）若直线的斜率不存在，设，，. ∴，即， 又∵点在椭圆上，则，∴，即， ∴，与点重合（舍去）. 综上，的面积最大值是2. （2024·全国·模拟预测） 1．已知双曲线E：的一条渐近线为，左顶点为A，右焦点为，点B，C是双曲线E的右支上相异的两点，直线AB，AC分别与直线l：交于M，N两点，且以线段MN为直径的圆恰过点F． (1)求双曲线E的标准方程． (2)求面积的最小值． 在直线与圆锥曲线位置关系中，最值的研究是一个重点，也是难点，本例题干看似“简单”，但解起来却难度颇高，、是两个参变量，虽然两者由等比数列联系着，得到的是一个公式关系，但若直线若设为，又引进和两个参数.面积可由三角形面积公式（高为原点到的距离）表示，但之长不易求，高也由多参数表达，运算量大.这里提供三种思路，其中思路二是.椭圆化圆，转化为单位圆中的原点为顶点的三角形面积问题.解题过程简捷，但不易想到此法.即令则椭圆方程变为. （妙思巧解：椭圆化圆，化繁为简） 令则椭圆方程变为. 点，转化为，，则，. ∵.当且仅当时，取等号. 以下验证. 不妨设，∵，∴， 即.当或时， 成立，∴. （23-24高二上·湖北·期中） 2．已知椭圆，经过仿射变换，则椭圆变为了圆，并且变换过程有如下对应关系：①点变为；②直线斜率k变为，对应直线的斜率比不变；③图形面积S变为，对应图形面积比不变；④点、线、面位置不变（平行直线还是平行直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等）．过椭圆内一点作一直线与椭圆相交于C两点，则的面积的最大值为 ． 在直线与圆锥曲线位置关系中，最值的研究是一个重点，也是难点，本例题干看似“简单”，但解起来却难度颇高，、是两个参变量，虽然两者由等比数列联系着，得到的是一个公式关系，但若直线若设为，又引进和两个参数.面积可由三角形面积公式（高为原点到的距离）表示，但之长不易求，高也由多参数表达，运算量大.这里提供三种思路，其中思路三是.利用椭圆的参数方程和三角形面积计算的“行列式”形式，通过三角恒等变换求解，解法新颖.设，，用行列式表示的面积. 已知，设，. ∵，. ∴， 当且仅当时，. 以下验证可以取得. 取，则，∵，. ∴，① ∴，即或时①式成立.故. 3．已知椭圆，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点． (1)若直线垂直于轴，求； (2)当时，在轴上方时，求、的坐标； (3)若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【点评】 求解一个数学问题，一般情况下总是从常规解法考虑，就是我们常讲的通性通法，但若能找到一种快捷的解法则更好.如何才能找到简捷方便的求三角形面积最值的最优方法呢？一是在解析几何内部寻找，单位圆是一个非常好的解题载体，通过换元使椭圆化圆，把椭圆中三角形面积最大问题转化为单位圆中三角形面积的最大值问题.而在单位圆中以原点为顶点的三角形面积当与垂直时取最大值.几何关系明确，图形直观，解题过程一定简单多了.这是通过解思结合，寻找到的一种妙解，二是突破解析几何的范畴，从外部去寻找简捷的解法，比如可以把解析几何问题与三角函数联系起来，即椭圆上的点用椭圆的参数方程形式表示，顺势推出三角形面积计算的“行列式”形式运用三角变换求解，又比如把三角形的面积公式与平面向量联系起来，得到又一种巧妙的解法，读者可以一试身手！所以我们讲解题首先要审题，而审题不应简单地、孤立地去寻找条件和结论之间的联系.而要从知识体系的角度寻找联系，理顺关系，才能在新的关系下按图索骥，找到更为简捷的解题途径. 4．已知、是椭圆上的两点，且满足，为的中点