数列函数谓同宗，应用性质法无穷 讲义——2024届高三数学三轮复习之一题多解

第16题 数列函数谓同宗，应用性质法无穷 （全国高考真题）设等差数列的前n项和为，已知且，； （1）求公差的范围； （2）该数列前几项的和最大？说明理由． 第（1）问的解法实质是解一个不等式组而第（2）问是探究数列最大项问题或多少项的和最大问题，由条件设法确定前n项为正，或者是否有零项，那么所有非负数项的和最大，若有零项，会有两个和相等并且最大．本题由且确定． （1）解：根据题意，有整理，得 解之得． （2）由可知为一个递减数列，因此，在中，必存在一个自然数n，使得，，此时对应的就是中的最大值． 由于于是，从而，因此最大． ∴该数列前6项的和最大． （2023·陕西西安·模拟预测） 1．已知数列满足：对恒成立，且，其前n项和有最大值，则使得的最大的n的值是（        ） A．10 B．12 C．15 D．17 第（1）问的解法实质是解一个不等式组而第（2）问是探究数列最大项问题或多少项的和最大问题，由解出n的范围，从而确定此范围中的自然数n，当然第（1）问求出的取值范围用于放缩确定n的值 （1）解：根据题意，有整理，得 解之得． （2）由（1）易知是递减数列，解关于n的不等式组得 由，可得∴，故n＝6． 即最大，该数列前6项的和最大． （22-23高二·全国·课堂例题） 2．已知数列的前n项和公式为： (1)求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列； (2)求的最小值，并求取得最小值时n的值. 第（1）问的解法实质是解一个不等式组而第（2）问是探究数列最大项问题或多少项的和最大问题，根据等差数列前n次和公式，显然是二次函数形式．故可以通过确定前n项和的表达式，利用配方法，确定其最值． （1）解：根据题意，有整理，得 解之得． （2）利用等差数列前n项和公式，得 ∵，当最小时，最大． 由于，则． ∴当n＝6时，最小，因此，最大，该数列前6项的和最大． （2022·全国·高考真题） 3．记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 【点评】 1.数列是自变量为正整数的一类函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，我们可以用函数的观点来研究数列，比如研究数列的单调性、周期性，可以通过研究其通项公式所对应函数的单调性、周期性来实现．函数有最大值最小值的探究，数列也有这方面的问题，可以这样说：数列函数同根同宗．牢牢抓住对其性质的研究也就抓住了根本. 2.等差数列与等比数列是数列学习中两类最基本的数列，等差数列的通项公式可整理为．如果，是常数；如果，是n的一次函数，其前n项和公式可整理为，是关于n的二次函数且常数项为0．在等比数列的通项公式（且）中，和n的关系类似于指数函数，所以等差数列与一次函数、二次函数，等比数列与指数函数有着密切的关系，我们不仅要了解这种关系，而且要能够利用数列与函数的这种关系解决问题．图像是函数的一种重要表示形式，图像法解题当然是解函数问题一种重要的解题策略．有些数列问题借助其对应的图像可以得到直观形象的解答，如等差数列中，，可看作开口向下的抛物线，离对称轴最近的自然数n是取得最大值的n，特别提醒：若对称轴为，则与同时取得最大值，对于二次函数的最值一般需要运用配方法有些函数问题，比如求函数解析式可以借助数列中的相关知识进行求解等. （22-23高二·全国·课堂例题） 4．已知等差数列的前n项和为，若，公差，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由． （22-23高二·全国·随堂练习） 5．已知数列是等差数列，其中，． (1)求数列的通项公式，并画出它的图象． (2)数列从哪一项开始小于0． (3)求数列前n项和的最大值，并求出对应n的值． （四川·高考真题） 6．已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立． （1）求数列的通项公式； （2）设，，当为何值时，数列的前项和最大？ （2021·全国·高考真题） 7．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． （2019·全国·高考真题） 8．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5． （1）若a3=4，求{an}的通项公式； （2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围． 9．在数列中，已知，求中的最大项． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】由等差中项性质可得数列为等差数列，再由，其前n项和有最大值可得，即可求得，即可知所求结果为. 【详解】由数列满足对恒成立可知，数列为等差数列； 设数列的首项为，公差为，则， 若前n项和有最大值，则可知，因此， 又，所以，可得， 所以，即 ； 所以，使得的最大的n的值是. 故选：C 2．(1)，是等差