立体问题常思降维化平面，几何最值莫忘函数不等式讲义——2024届高三数学三轮复习之一题多解

第29题 立体问题常思降维化平面，几何最值莫忘函数不等式 （2017·全国·高考真题）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 ． 本例为平面图形折叠成空间图形，当折叠终止时，几何体是一个正三棱锥，这个正三棱锥底面边长是一个变元，从而导致三棱锥体积的变化.此类问题解答的基本方向有二：①代数方法：建构函数关系式，针对函数关系式的特点选择求最值的方法；②几何方法：通过构造图形求解．在运用代数方法的过程中，由于选定的“变元”不同，建立的函数模型也不尽相同，从而有不同解法.在建立体积表达式的函数模型之后，结合函数思想求最值，解法也会有所不同，通常用函数性质法、导数法，也可能应用基本不等式法．这里思路一是，以动正三角形AEC的边长为变元建立函数关系式，运用导数法求其最大值. 由题意可知，折起后所得三棱锥为正三棱锥，当的边长变化时，设的边长为cm，则的面积为． 的高为，则正三棱锥的高为 ， ∴，∴． ∴所得三棱锥的体积． 令，则，由，得． 此时所得三棱锥的体积最大，为cm3． （2023·全国·模拟预测） 1．在三棱锥中，平面，，且．若，则当三棱锥的体积最大时，的面积为（    ） A． B． C． D． 本例为平面图形折叠成空间图形，当折叠终止时，几何体是一个正三棱锥，这个正三棱锥底面边长是一个变元，从而导致三棱锥体积的变化.此类问题解答的基本方向有二：①代数方法：建构函数关系式，针对函数关系式的特点选择求最值的方法；②几何方法：通过构造图形求解．在运用代数方法的过程中，由于选定的“变元”不同，建立的函数模型也不尽相同，从而有不同解法.在建立体积表达式的函数模型之后，结合函数思想求最值，解法也会有所不同，通常用函数性质法、导数法，也可能应用基本不等式法．这里思路二是，连接DO交BC于点G，设D，E，F重合于S点，正三角形的边长为x（x>0），运用导数法求其最大值. 如下图，连接DO交BC于点G，设D，E，F重合于S点，正三角形的边长为x（x>0），则. ， ， 三棱锥的体积. 设，则， 令，即，得，易知在处取得最大值. ∴. （2024·广东·模拟预测） 2．将边长为2的正三角形沿某条线折叠，使得折叠后的立体图形有外接球，则当此立体图形体积最大时，其外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 本例为平面图形折叠成空间图形，当折叠终止时，几何体是一个正三棱锥，这个正三棱锥底面边长是一个变元，从而导致三棱锥体积的变化.此类问题解答的基本方向有二：①代数方法：建构函数关系式，针对函数关系式的特点选择求最值的方法；②几何方法：通过构造图形求解．在运用代数方法的过程中，由于选定的“变元”不同，建立的函数模型也不尽相同，从而有不同解法.在建立体积表达式的函数模型之后，结合函数思想求最值，解法也会有所不同，通常用函数性质法、导数法，也可能应用基本不等式法．这里思路三是，以动正三角形ABC的中心到边的距离为变元建立函数关系式，运用导数法求其最大值. 如图所示，连接OD交BC于点G， 由题意知，，易得， ∴OG的长度与BC的长度成正比． 设，则，， ， 则所得三棱锥的体积． 令，． 则，令，即，得． 则当时，， ∴． ∴所求三棱锥的体积的最大值为cm3． （2024·河北邢台·二模） 3．如图，四边形和是两个相同的矩形，面积均为300，图中阴影部分也是四个相同的矩形，现将阴影部分分别沿，，，折起，得到一个无盖长方体，则该长方体体积的最大值为 ． 本例为平面图形折叠成空间图形，当折叠终止时，几何体是一个正三棱锥，这个正三棱锥底面边长是一个变元，从而导致三棱锥体积的变化.此类问题解答的基本方向有二：①代数方法：建构函数关系式，针对函数关系式的特点选择求最值的方法；②几何方法：通过构造图形求解．在运用代数方法的过程中，由于选定的“变元”不同，建立的函数模型也不尽相同，从而有不同解法.在建立体积表达式的函数模型之后，结合函数思想求最值，解法也会有所不同，通常用函数性质法、导数法，也可能应用基本不等式法．这里思路四是，以动正三角形ABC的中心到边的距离为变元建立函数关系式，运用基本不等式求最大值，注意等号成立的条件. 如图所示，连接OE交AC于点H，连接AO、OC，设． 则，，三棱锥的高为，， ． 当且仅当，即时取等号． ∴所求三棱锥的体积的最大值为cm3． （2022·全国·高考真题） 4．已知球O的半径为1，四棱锥的