几何分析曲径通幽，代数推演水到渠成 讲义——2024届高三数学三轮复习之一题多解

第30题 几何分析曲径通幽，代数推演水到渠成 在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（－1，1）关于原点O对称.P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于. （1）求动点P的轨迹方程； （2）设直线AP和BP分别与直线交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 本例第（1）小题，设出动点坐标，由直线AP与BP的斜率之积等于易得轨迹方程，注意限制x的取值.难点在第（2）问，探究在题设条件下由两个三角形的面积相等的定点是否存在，最关键处是如何表示△PAB与△PMN的面积，将P点坐标与M、N点坐标紧密相连.三角形面积的求法通常有多种途径，其中容易想到且轻车熟路的是底底边上的高，但是如果得到的等式含有多个参数，计算起来肯定繁杂，深入分析题设所提供的几何特征就显得非常重要，具体的有三种思路，思路一是，根据易得.写出点P到直线AB的距离d，得到.同理.点P到直线的距离易求，写出.由结合点P在曲线上解方程组，求点P坐标. （1）设点，由点B与点A关于原点对称，则. 于是（显然），化简得. （2） 如图所示，在△PAB中，∵点B与点关于原点对称.∴. ∴.设，直线AB的方程为，则点P到直线AB的距离. 于是.直线AP的方程为， 直线BP的方程为.令得，. 于是. 由得：， 又，∴，解得.∵，∴. 故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为. 1．已知椭圆的焦距为2，且经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)经过椭圆右焦点F且斜率为的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由． 本例第（1）小题，设出动点坐标，由直线AP与BP的斜率之积等于易得轨迹方程，注意限制x的取值.难点在第（2）问，探究在题设条件下由两个三角形的面积相等的定点是否存在，最关键处是如何表示△PAB与△PMN的面积，三角形面积的求法通常有多种途径，其中容易想到且轻车熟路的是底底边上的高，但是如果得到的等式含有多个参数，计算起来肯定繁杂，深入分析题设所提供的几何特征就显得非常重要，具体的有三种思路，思路二是，由且得，进一步利用平面几何知识转化为坐标之比，求点P坐标. （1）设点，由点B与点A关于原点对称，则. 于是（显然），化简得. （2）如图所示.∵，且. ∴.∴. 过点P作直线l垂直于y轴交直接MN于点Q，分别过点A，B作于点C，于点D，则由. 可得，又，得， ∴，解得，∵，∴. 故存在点P使得△PAB与△PMC的面积相等，此时点P的坐标为. （23·24上·绍兴·阶段练习） 2．已知双曲线，过点的直线与该双曲线的左、右两支分别交于点． (1)当直线的斜率为时，求； (2)是否存在定点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 本例第（1）小题，设出动点坐标，由直线AP与BP的斜率之积等于易得轨迹方程，注意限制x的取值.难点在第（2）问，探究在题设条件下由两个三角形的面积相等的定点是否存在，最关键处是如何表示△PAB与△PMN的面积，三角形面积的求法通常有多种途径，其中容易想到且轻车熟路的是底底边上的高，但是如果得到的等式含有多个参数，计算起来肯定繁杂，深入分析题设所提供的几何特征就显得非常重要，具体的有三种思路，思路三是，延长AB交MN于点S.得，进一步由图形挖掘隐含的数据，研究图形特征得到点P为△ASN的重心，从而确定点P的坐标. （1）设点，由点B与点A关于原点对称，则. 于是（显然），化简得. （2）如图所示，延长AB交MN于点S，.点A到NS的距离为4，则，而，故B为AS的中点，设点，由，得，，点M为NS的中点，∴点P为△ASN的重心，可得. ∵，∴. 故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为. （22·23上·镇江·期中） 3．已知椭圆：，点、分别是椭圆的左焦点、左顶点，过点的直线（不与x轴重合）交椭圆于A，B两点．    (1)求椭圆M的标准方程； (2)若，求的面积； (3)是否存在直线，使得点B在以线段为直径的圆上，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【点评】 解析几何是用代数方法研究几何问题，但是用代数的方法也少不了对几何图形的分析与构造，不同的分析与构造，运用代数的解题方向也不尽相同.数形结合，贵在结合，要充分发挥两者的优势.“形”有直观、形象的特点，但需通过具体的运算和证明.本例中意在通过△PAB与△PMN面积相等，确定得到符合条件的P点的存在性，而三角形面积的求法通常有多种途径，易于想到的是底底边上的高，深入分析题设所提供的几何特征发现，题中的△PAB与△PMN有一对对顶角.由势必会得到线段长度的比例式，结合平面几何知识求解使之转化为坐标之比，且点P在