数列不等式变化多端，求和灵活证明方法多 讲义——2024届高三数学三轮复习之一题多解

第17题 数列不等式变化多端，求和灵活证明方法多 （2021·全国·统考高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． （1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；（2）按“差比法”确定不等式两边之差，利用错位相减法求“新数列”的和.. （1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列， 所以，所以， 即，解得，所以， 所以. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和 ， ， ． 设， ⑧ 则． ⑨ 由⑧-⑨得． 所以． 因此． 故． （2024·广东佛山·二模） 1．已知数列满足，，且． (1)证明为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，证明：当时，． （1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；（2）先利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可. （1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列， 所以，所以， 即，解得，所以， 所以. （2）【最优解】证明：由（1）可得， ，① ，② ①②得 ， 所以， 所以， 所以. （23-24高三下·河南濮阳·开学考试） 2．已知等比数列的首项为，公比为整数，且. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，比较与的大小关系，并说明理由. （1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；（2）由（Ⅰ）知，令，且，求得. 而，作差证明即可. （1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列， 所以，所以， 即，解得，所以， 所以. （2）证明： 由（Ⅰ）知，令，且，即， 通过等式左右两边系数比对易得，所以． 则， 由（1）可得， 所以， 所以. （2024·山西·模拟预测） 3．已知数列的前项和为，且． (1)探究数列的单调性； (2)证明：． （1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；（2）利用导数方法求和，代替错位相减求和．设， 可得． 结合， ，再求Sn作差证明即可. （1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列， 所以，所以， 即，解得，所以， 所以. （2）设， 由于， 则． 又， 所以 ， 由（1）可得， 所以， 所以. （2017年高考数学浙江卷第22题） 4．已知数列满足：， 证明：当时， （I）； （II）； （III）. 【点评】 1.数列与不等式知识的交汇，是高考命题的一个热点，且涉及数列不等式的证明、数列中的最值问题、数列不等式恒成立条件下的参数问题、解有参数参与的不等式以及比较大小问题等． 2.在解决这些问题时，一是要充分利用数列自身的特点，比如在涉及数列中项的问题需要用到数列的单调性时，可以通过比较相邻两项的大小进行判断，也就是不等式证明中的比较法；二是涉及数列求和问题，要关注数列的特征，灵活选择求和方法，如公式法、裂项相消法、错位相减法等，至于不等式证明，可灵活选择“比较法”、放缩法、数学归纳法等；三是许多数列与不等式的综合题，破解的方法是利用数列知识建立不等式模型，然后运用放缩法或数学归纳法证明不等式问题，或者用求某函数最值的方法证明不等式问题；四是注意数列的函数特性，必要时通过构造函数，利用函数的性质或导数求解.构造函数模型常常是解决数列与不等式能力型问题的一个重要突破环节． （2021·浙江·统考高考真题） 5．已知数列满足.记数列的前n项和为，则（    ） A． B． C． D． （23-24高二下·四川成都·阶段练习） 6．已知等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列. (1)求； (2)设，是数列的前n项和，求； (3)设，是的前n项的积，求证：，． （2022·全国·统考高考真题） 7．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． （23-24高三上·湖南衡阳·期末） 8．在数列中，且. (1)证明：是等差数列； (2)设的前项和为，证明：. （23-24高三上·安徽·期末） 9．在数列中，，，且数列是等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，证明：． （2021·天津·统考高考真题） 10．已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，． （I）求和的通项公式； （II）记， （i）证明是等比数列； （ii）证明 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）利用等比数列的定义证明数列是等比数列. （2）先把数列进行适当的放缩，再用分组求和的方法求满足的关系，并证明. 【详解】（1）因为，， 所以，，. 易知，所以， 因为． 所以是等比数列，首项，公比，所以． （2）由（1）可得， 先证明左边：即证明， 当时，， 所以， 所以， 再证明右边：， 因为， 所