等差等比综合考查，生成数列通项求和讲义——2024届高三数学三轮复习之一题多解

第18题 等差等比综合考查，生成数列通项求和 已知等差数列的公差为2，前n项和为，且、、成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和． 本题把等差等比两类数列交汇在一起，而是的生成数列，对于第（1）问，根据已知条件得出方程求出首项，即可得出等差数列的通项公式；对第（2）问，则可以有多种思路．思路一：归纳——猜想——用数学归纳法证明. （1）∵，，，由题意得，解得．∴． （2）解法一（归纳——猜想——证明） ； ； ； ； …… 于是猜想得出． 下面用数学归纳法证明： （ⅰ）当时，由上述推理可知猜想成立． （ⅱ）假设当（）时猜想成立，即成立，而，于是当时， ． 也就是说时猜想也成立． 综合（ⅰ）和（ⅱ）可知对任意的，猜想都成立，即． （22-23高二下·辽宁大连·期末） 1．记数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列． (1)求的通项公式： (2)若，数列的前项和为，求证：． 解题策略 本题把等差等比两类数列交汇在一起，而是的生成数列，对于第（1）问，根据已知条件得出方程求出首项，即可得出等差数列的通项公式；对第（2）问，则可以有多种思路．思路二：对变形为两项和的形式，分n为奇、偶数两类求和，由正负相间消项而得. （1）∵，，，由题意得，解得．∴． （2） ． 当n为偶数时，． 当n为奇数时，． ∴（或）． （23-24高二下·云南·阶段练习） 2．已知数列中，为的前项和，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 对于第（1）问，根据已知条件得出方程求出首项，即可得出等差数列的通项公式；对第（2）问，则可以有多种思路．思路三：对变形为两项差的形式，分n为奇、偶数两类求和，用裂项相消法. （1）∵，，，由题意得，解得．∴． （2） ． 当n为偶数时， ． ∴． 当n为奇数时， ． ∴，综上得（或）． （23-24高二下·河南·期中） 3．已知等差数列的公差为d（），前n项和为，且满足；，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求． （2024·江苏·模拟预测） 4．已知等差数列和等差数列的前项和分别为，，，. (1)求数列和数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. （2024高三·全国·专题练习） 5．已知等差数列前项和为（），数列是等比数列，，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求. （2006·山东·高考真题） 6．已知，点在函数的图像上，其中． (1)证明数列是等比数列； (2)设，求及数列的通项； (3)记，求数列数列的前项和，并证明． （2024·福建·模拟预测） 7．已知各项均为正数的数列满足，且. (1)写出，，并求的通项公式； (2)记求. （23-24高三上·山东青岛·期末） 8．在各项均为正数的数列中，，，． (1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，记数列的前n项和为． （i）求；（ii）证明：． （2024·天津·一模） 9．已知数列的前项和为，，，数列为正项等比数列，，是与的等差中项. (1)求和的通项公式： (2)若，求数列的前项和； (3)设，求数列的前项和. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由等差数列的通项公和数列的通项与前项和的关系，结合等比数列的通项公式可得结果， （2）讨论时，不等式成立，证明时，，再利用错位相减法求和与不等式的性质，可证得结论. 【详解】（1）当时，， 因为是公差为2的等差数列， 所以， 当时，， 所以， 所以， 所以， 所以数列是以3为公比，3为首项的等比数列， 所以，所以， （2）证明：由（1）可得， 当时，，当时，， 可用数学归纳法证明：当时，，成立， 假设时，成立， 则当时，， 所以当时，， 所以， 令，则 ， 所以 ， 所以， 所以，即 2．(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，推得，且，得到是等比数列，即可求得数列的通项公式； （2）方法一：由（1）求得，结合裂项相消法求和，即可求解； 方法二：由（1）求得，分为奇数和为偶数，结合相消法求和，即可求解. 【详解】（1）解：由数列中，为的前项和，， 当时，，两式相减得， 可得，当时，，则， 所以是等比数列，首项为3，公比为3，所以， 所以数列的通项公式为. （2）解：方法一：由（1）知， 可得 ， 所以 . 方法二：由， 当为奇数时， 当为偶数时， 所以数列的前项和. 3．(1) (2) 【分析】（1）由等差数列前项和公式求得，结合等差数列、等比数列性质求得公差即可得解； （2）由裂项相消法即可求解. 【详解】（1），得，即． 由，，成等比数列，得，，即． 所以，故． （2）， ∴ . 4．(1)，