数与代数——正比例与反比例（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

◉正比例与反比例 探究点1 比的意义、性质、化简比和求比值及比与分数、除法的关系 1、比的基础知识 比 意义 两个数相除又叫做这两个数的比。比表示两个数(　 　) 各部分名称 比由两项组成，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项 基本性质 比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。利用比的基本性质可以化简比 2、求比值和化简比 意 义 计算方法 表示形式 求比值 前项除以后项所得的（         ）。 用前项除以后项。 一个数（整数、小数或分数）。 化简比 把两个数的比化成（                 ）。 前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外）。也可以用求比值的方法，得出一个分数值。 一个比（前项和后项是互质数的最简整数比）。 3、比与分数、除法之间的联系 联 系 比 前项 ∶（比号） 后项 比值 分数 分子 —（分数线） 分母 分数值 除法 被除数 ÷（除号） 除数 商 用字母表示：a∶b=a÷b= （b 不为0） 区 别 除法是一种（           ），分数是一种（          ），而比表示两个数的（          ） 小试牛刀 1．填空。 (1)把∶0.8化成最简整数比是(　 　)，比值是(　　)。 (2)圆的周长和直径的比是(　　)∶(　　)。 (3)∶2.5的比值是(　　)；如果后项除以5，要使比值不变，前项应(　　　)；如果前项除以4，后项不变，比值是(　　　)。 (4) 4∶5＝( ) :15= ＝20÷(　　)＝(　　 )%=( )折=（ ）成 (5)一项工作，甲单独完成要时，乙单独完成要 时，甲、乙二人工作效率之比是(　　　　)。 探究点2 比例的意义、性质和解比例 1、比例的基础知识 比例 意义 表示两个比相等的式子叫做比例。比例是一个(　 　)。 各部分名称 由四项组成，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 基本性质 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。利用比例的基本性质可以解比例联系。 2、解比例：求比例中的未知项，也就是已知比例中的任意三项，运用比例的基本性质，求出未知项。 小试牛刀 2．填空。 (1)在10，25，40这三个数中添上一个数组成比例，这个数可以是(　 　)，(　 　)或(　 　)。 (2)一个比例式，两个外项的和是54，差是30，比值是，这个比例式是(　　　　 　)。 (3)一个比例的两个外项互为倒数，其中一个内项是0.25，另一个内项是(　 　)。 (4)甲数的等于乙数的，甲、乙两数的最简整数比是(　　　　)。 3．解比例。 探究点3 正比例和反比例的意义 1、正比例和反比例的意义、以及区别： 意义 正比例 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的(    　　)一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。用字母表示为     ＝k (一定) 反比例 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的(    　　)一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。用字母表示为x y＝k (一定) 变化规律 图像 正比例 两种量同时扩大、同时缩小 表示正比例关系的图象是一条由点(0，0)引出的(　 　) 反比例 一种量扩大(或缩小)，另一种量反而缩小(或扩大) 表示反比例关系的图象是(　      　) 2、熟记以下两种量的关系： 同时同地的竿高和影长成（ ）比例。 同时同地的竿高和影长的比值一定。 正方形的周长和边长成（ ）比例。 正方形的周长÷边长 = 4 （一定） 正方形的面积和边长（ ）比例。 正方形的面积÷边长 = 边长 长方形的周长一定，长和宽（ ）比例。 （长+宽）× 2 = 面积 长方形的面积一定，长和宽成（ ）比例。 长×宽=面积（一定） 圆的面积和半径（ ）比例 。 圆的面积 ÷ 半径的平方 = π 圆的周长和半径成（ ）比例。 圆的周长 ÷ 半径 = 2 π 圆的周长和直成（ ）比例。 圆的周长 ÷ 直径 = π 平行四边形的面积一定，底和高成（ ）比例。 底