2.7 正多边形与圆 课件 2023—2024学年湘教版数学九年级下册

第2章 圆 2.7 正多边形与圆 1．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系. （重难点） 2．会通过等分圆心角的方法，画出所需的内接正多边形. 3．能够用尺规作图，作出圆的内接正方形和内接正六边形.（重难点） 4．探索正多边形的轴对称性质和中心对称性质. （重难点） 学习目标 知识回顾 圆内接四边形的性质： 1.对角互补； 2.四个内角的和是360°； 3.任一外角与其相邻的内角的对角相等(即外角等于内对角)． 课时导入 说一说 观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？ 每个多边形的各边都相等，各内角也相等. 等边三角形 正方形 正五边形 正六边形 知识讲解 各边相等，各内角也相等的多边形叫作正多边形. 如果一个正多边形有 n (n ≥ 3) 条边，那么这个正多边形叫作正 n 边形. 动脑筋 如何作一个正多边形呢？ · A B C D E O 解： ∴ AB = BC = CD = DE = EA. 同理 ∠B = ∠C = ∠D = ∠E. ∴ ∠A = ∠B.　 ∴ 五边形 ABCDE 是正五边形. 如图，把 ☉O 分成相等的 5 段弧，即 ，依次连接各等分点，所得五边形 ABCDE 是正五边形吗？ ∵ ∴ ， ， 探究 弦相等 (多边形的边相等) 圆周角相等 (多边形的角相等) 所得的多边形是正多边形 将圆 n (n ≥ 3) 等分，依次连接各等分点，所得到的多边形是正多边形吗？ 弧相等 将一个圆 n (n ≥ 3) 等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正 n 边形的各顶点 n 等分其外接圆. O A B C D E F G H R r 正多边形外接圆的圆心，称其为正多边形的中心. 外接圆的半径叫作正多边形的半径. 中心到正多边形一边的距离叫作正多边形的边心距. 正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫作正多边形的中心角. 正 n 边形的中心角怎么计算？ C D O B E F A P 正 n 边形的边长 a，半径 R，边心距 r 之间有什么关系？ a R r 边长 a，边心距 r 的正 n 边形的面积如何计算？ 其中 l 为正 n 边形的周长. 探究 用量角器画☉O 的内接正六边形. 方法归纳 用量角器画正 n 边形的一般方法： （1）作圆； （2）用量角器作 的中心角，得圆的 n 等分点； （3）依次连接各等分点，得圆的内接正 n 边形. 分析：关键是用量角器画 60°的中心角. 60º 思考 还有其它的方法可以作出☉O的内接正六边形吗？ 做一做 已知☉O 的半径为 r ，求作☉O 的内接正六边形. 分析：因为正六边形每条边所对的圆心角为 ， 所以正六边形的边长与圆的半径 . 因此，在半径为 r 的圆上依次截取等于 的弦， 即可将圆六等分. 60° 相等 r A B C D E F 作法：(1) 在☉O 上以任意一点 A 为圆心、以 r 为半径画弧，连续截取点 B、C、D、E、F； (2) 依次连接 AB、BC、CD、DE、EF、FA，则六边形 ABCDEF 即为所求. 例 如图，已知☉O 的半径为 r，求作☉O 的内接正方形. 分析：作两条互相垂直的直径，就可以将☉O 四等分. 作法：(1) 作直径 AC 与 BD，使 AC⊥BD； (2) 依次连接 AB、BC、CD、DA，则四边形 ABCD 就是所求作的☉O 的内接正方形，如图. O A B C D O 做一做 正三角形、正方形、正五边形、正六边形是否为轴对称图形？如果是轴对称图形，试画它们所有的对称轴. 正三角形 (奇数边) 正方形 (偶数边) 正五边形 (奇数边) 正六边形 (奇数边) 1. 正 n 边形 轴对称图形，共有 条对称轴； 2. n 为奇数时，n 条对称轴过中心与 ； (如图中蓝色直线) 3. n 为偶数时，n 条对称轴中： 条过中心与 ； (如上图中蓝色直线) 条过中心与边的 点. (如上图中红色直线) 是 n 顶点 顶点 中 下列正多边形中哪些是中心对称图形？哪些是旋转对称图形？ 如果是旋转对称图形，绕中心最少旋转多少度所得图形与原图形重合？ O O O O 正 n 边形 ( n 为偶数) 是中心对称图形，它