专题09 外接球、内切球与棱切球 十二个重难点归类-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第二册）

专题09外接球、内切球与棱切球 【重难点01正方体与长方体的外接球】 例1．正方体的外接球与内切球的表面积之比是（    ） A． B．3 C． D． 例2．若长方体的长、宽、高分别为，则长方体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 长（正）方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半，即 【跟踪练习】 练习1．长方体的所有顶点都在一个球面上，长､宽､高分别为，那么这个球体的体积为（    ） A． B． C． D． 练习2．已知一个正方体的外接球的体积为，则正方体的体积为 . 练习3．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为8，体积为64，则这个球的表面积是（    ） A． B． C． D． 练习4．一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为，则该四棱柱的高为（    ） A． B．2 C． D． 【重难点02柱体模型】 例3．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 例4．已知圆柱的高为2，侧面积为，若该圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． .柱体模型：外接球半径公式：（为柱体的高，为底面（外接）圆的半径） 【跟踪练习】 练习1．已知正六棱柱的每个顶点都在球O的球面上，且，，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 练习2．（多选）已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积不可能为（    ） A． B． C． D． 练习3．直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若 ，则此球的表面积等于 . 练习4．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的体积为 . 【重难点03补成长方体模型】 例5．已知三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直，且，，则此三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 例6．已知是球O表面上不同的点，平面，，，，若球的体积为，则（    ） A． B．1 C． D． 模型1：三棱锥的三条侧棱两两互相垂直 模型2：有一侧棱垂直于底面，底面为直角三角形的三棱锥 模型3：若三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图，则外接球直径公式为（其中为三组对棱的长度） 模型1： 模型2： 模型3： 【跟踪练习】 练习1．如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 练习2．已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，平面，，，，若球O的表面积为，则（    ） A． B．1 C． D． 练习3．四面ABCD中，共顶点A的三条棱两两相互垂直，且其长分别为2，3，4．若四面体ABCD的四个顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为 ． 练习4．三棱锥中，，，，那么该三棱锥外接球的表面积是 ． 练习5．若四面体中，，，则四面体的外接球的表面积为 ． 练习6．《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，已知“鳖臑”中，平面，，，，则“鳖臑”外接球体积的最小值为 ． 【重难点04共斜边模型】 例7．在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为 ． 例8．已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 三棱锥中，有两个直角三角形有公共的斜边，则斜边的中点即外接球的球心，该斜边球的直径 【跟踪练习】 练习1．如图，在四面体中，，，则四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 练习2．在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 练习3．三棱锥的四个顶点都在球面上，是球的直径，，，则该球的表面积为　　 A． B． C． D． 练习4．已知矩形的边长分别为，沿对角线折起，使四个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为 ． 【重难点05线面垂直模型（补成柱）】 例9．已知四面体ABCD的所有顶点在球O的表面上，平面BCD，，，，则球O的体积为 . 例10．已知三棱锥的外接球的体积为，平面，，，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 线面垂直模型一般可补成柱体模型进行求解 【跟踪练习】 练习1．在三棱锥中，平面，，为边长等于的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 练习2．已知三棱锥所在顶点都在球的球面上，且平面，若，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 练习3．已知三棱锥中，平面，，异面直线与所成角的余弦值为