专题1.4 基本不等式及其应用【九大题型】-2025年高考数学一轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

专题1.4 基本不等式及其应用【九大题型】 【新高考专用】 【题型1 基本不等式及其应用】 2 【题型2 直接法求最值】 3 【题型3 配凑法求最值】 4 【题型4 常数代换法求最值】 4 【题型5 消元法求最值】 4 【题型6 齐次化求最值】 5 【题型7 多次使用基本不等式求最值】 5 【题型8 利用基本不等式解决实际问题】 5 【题型9 与其他知识交汇的最值问题】 8 1、基本不等式及其应用 考点要求 真题统计 考情分析 (1)了解基本不等式的推导过程 (2)会用基本不等式解决最值问题 (3)理解基本不等式在实际问题中的应用 2020年天津卷：第14题，5分 2021年乙卷：第8题，5分 2022年I卷：第12题，5分 2023年新高考I卷：第22题，12分 基本不等式及其应用是每年高考的必考内容，从近几年的高考情况来看，对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题；同时要注意基本不等式在立体几何、平面解析几何等内容中的运用. 【知识点1 基本不等式】 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 3．常见的求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成 立； (3)模型三：，当且仅当时等号成立； (4)模型四：，当且仅当时 等号成立. 4．利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【题型1 基本不等式及其应用】 【例1】（2023·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·湖南长沙·一模）已知，则m，n不可能满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·山东枣庄·一模）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】（2023·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【题型2 直接法求最值】 【例2】（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数，则当时，有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【变式2-1】（2023·北京东城·一模）已知，则的最小值为（    ） A．－2 B．0 C．1 D． 【变式2-2】（22-23高三下·江西·阶段练习）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二下·山东潍坊·阶段练习）函数（）的最大值为（    ） A． B．1 C． D．5 【题型3 配凑法求最值】 【例3】（2023·山西忻州·模拟预测）已知，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式3-1】（2024·辽宁·一模）已知，则 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023·河南信阳·模拟预测）若，则函数有（    ） A．最小值1 B．最大值1 C．最小值 D．最大值 【变式3-3】（23-24高三下·河南·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【题型4 常数代换法求最值】 【例4】（2024·江苏南通·二模）设，，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．3 【变式