天津市四校联考2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

高二数学 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分． 1．曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A．30° B．45° C．60° D．135° 2．随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则（ ） 0 2 A． B． C． D．1 3．等比数列的前项和为，满足，则的值是（ ） A．20 B．30 C． D．40 4．为丰富学生的课余活动，学校举办“书香临夏、悦享阅读”的读书朗诵比赛．已知参加比赛的男同学与女同学人数比是3∶2，其中有的男同学和的女同学擅长中华诗词朗诵，现随机选一位同学，这位同学恰好擅长中华诗词朗诵的概率是（ ） A．0.28 B．0.24 C．0.26 D．0.30 5．已知函数，且，则的大小关系（ ） A． B． C． D． 6．为迎接劳动节社区编排了一场演出，其中一个节目共有7人参加，其中4名男生3名女生，要求男女相间站成一排，并且女生甲必须站在正中间，则共有（ ）种站队方法． A．144 B．64 C．48 D．56 7．已知的所有项的系数和为3，则的系数为（ ） A．36 B．24 C． D． 8．已知双曲线为坐标原点为其左、右焦点，点在的渐近线上，，且，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．2 9．对，当时，，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将正确的答案填写到答题纸上． 10．的展开式中的系数为____________．（用数字作答） 11．经过点且斜率为的直线与圆相交于两点，若，则的值为____________． 12．为方便广大人民群众就医，普及医疗健康知识，社区组织“义诊下乡行”活动，某医疗队伍有5名医生需分配到3个志愿团队，每个志愿队至少分配一名医生，甲医生被分到志愿队的方法有____________种．（用数字作答） 13．已知点在函数的图象上，点在直线上，则两点之间距离的最小值是____________． 14．一个盒子中有大小相同的4个红球3个白球，若从中任取3个小球，则在“抽取的3个球中至少有一红球”的前提下“抽取的3个球全是红球”的概率是____________；若用表示抽取的三个球中白球的个数，则____________． 15．已知函数的导函数为，对恒成立，（e是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是____________． 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分15分） 已知函数 （Ⅰ）求的单调区间和极值； （Ⅱ）若在单调递增，求实数的取值范围； （Ⅲ）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 17．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，是的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值； （Ⅲ）已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 18．（本小题满分15分） 已知椭圆经过点，离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）点为椭圆上不同的两点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，设，且满足，求点的坐标． 19．（本小题满分15分） 已知是公差为1的等差数列，其前8项和为36．是公比大于0的等比数列，． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）记，求的前项和； （Ⅲ）证明． 20．（本小题共15分） 已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线在处切线的斜率； （Ⅱ）当时，证明：当时，； （Ⅲ）若在上存在零点，求实数的取值范围，并说明在上的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$