函数的周期性与对称性专题讲义-2024届高三数学一轮复习

函数的周期性及其图像的对称性 函数的周期性及其图像的对称性 【课前预习】 一、知识梳理 1. 函数的周期性 如果对于函数, 如果_____________________, 使得当x取定义域D内的任意值时, 都有___________________成立, 那么函数叫做周期函数, 常数T叫做函数的________. 对于一个周期函数来说, 如果在所有的周期中存在一个最小的正数, 那么这个最小的正数就叫做函数的最小正周期. 2. 函数图像的对称性 (1) 轴对称 函数的图像关于直线成轴对称图形的充要条件是______________________(或者____________________). (2) 中心对称 函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是______________________(或者____________________). 一般地, 函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是_____________________ (或者________________________). 二、基础练习 1. 若函数的图像关于直线对称, 则_____. 2. 若函数的图像关于直线对称, 则实数_______. 3. 函数的图像关于 答 [ ] A. y轴对称 B. x轴对称 C. 原点对称 D. 直线对称 4. 若函数定义在上的偶函数, 又是以2为周期的周期函数, 若在上是减函数, 那么在上的单调性是 答 [ ] A. 单调递增 B. 单调递减 C. 先增后减 D. 先减后增 5. 定义在上的函数的图像关于直线对称, (1) 若是偶函数, 且, 则___________; (2) 若是奇函数, 则___________. 6. 已知定义在上的函数满足, 若函数恰有四个零点, 则这四个零点的和为________________. 【例题解析】 例1. 设函数的图像关于对称, 且当时, , 求函数的解析式. 例2. 设定义域为的偶函数满足. 当时, . (1) 求在区间上的解析式; (2) 求在区间上的解析式. 例3. 定义在上的函数满足: 对于任意, , (1) 求证: 是周期函数, 并指出它的一个周期; (2) 若当时, , 求在上的解析式; (3) 在(2)的条件下, 若函数在区间上有两个零点, 求实数k的取值范围. 例4. 设是定义在R上, 以1为周期的函数. 若函数在区间上的值域为, 求在区间上的值域. 【巩固练习】 1. 设满足, 则与的大小关系是______________. 2. 定义在上的奇函数满足, 且时, 则_______. 3. 定义在上的函数满足, 则函数的图像关于直线___________对称. 4. 已知是定义在上以2为最小正周期的周期函数, 且当时, , 则函数在区间上有____________个零点. 5. 已知是定义在上以2为周期的周期函数, 且是偶函数. 若当时, , 则____________. 6. 对于函数, 给出以下四个命题: (1)当时, 是奇函数; (2)当时, 该函数只有一个零点; (3)函数的图像关于点对称; (4)该函数至多有两个零点; 其中正确的命题的序号是_______________. 7. 定义在上的偶函数满足: , 且在上是增函数, 下面关于的命题: (1)是周期函数; (2)的图像关于直线对称; (3)在上是增函数; (4)在上是减函数; (5); 其中真命题的序号是______________. 8. 已知是定义在上以2为周期的周期函数, 且是偶函数. 当时, . (1) 求在区间上的解析式; (2) 试问方程的实数解有多少个? 请画示意图说明. 【提高练习】 9. 已知函数的定义域为, 且对任意, 都有, 求证: 函数是周期函数. 10. 定义函数, 则函数在区间内的所有零点的和为____________. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$高三第一轮复习 函数的周期性及其图像的对称性 函数的周期性及其图像的对称性 【课前预习】 一、知识梳理 1. 函数的周期性 如果对于函数, 如果_____________________, 使得当x取定义域D内的任意值时, 都有___________________成立, 那么函数叫做周期函数, 常数T叫做函数的________. 对于一个周期函数来说, 如果在所有的周期中存在一个最小的正数, 那么