幂函数与对勾型函数专题讲义-2024届高三数学一轮复习

高三第一轮复习 幂函数与对勾型函数 幂函数与双曲线型函数 【课前预习】 一、知识梳理 1. 幂的有关概念 (1) 正整数指数幂: ; (2) 零指数幂: _____________(其中__________); (3) 负整数指数幂: _______________(其中, ); (4) 分数指数幂: ______________(其中, 且m, n既约). 2. 幂的运算性质 (1) _____________(, ); (2) _____________(, ); (3) _____________(, ). 3. 幂函数的概念、图像与性质 幂函数的定义 形如, k为常数, k为有理数的函数叫做幂函数. 幂函数 图像 幂函数 图像 幂函数的性质 时, 在上是增函数; 时, 在上是减函数. 4. 函数的图像与性质 函数在区间部分函数的图像如右图所示, 它是一条双曲线. 主要性质如下: (1) 定义域:________________; (2) 奇偶性: ______________; (3) 单调性: 在中, 在区间__________上单调递减, 在区间_________上单调递增; (4) 值域与最值: 在上时, 函数值的取值范围是____________, 当_______时, 取到最小值______. 5. 函数的图像与性质 函数在区间部分函数的图像如右图所示, 它是一条双曲线. 主要性质如下: (1) 定义域: ________________; (2) 奇偶性: ______________; (3) 单调性: 在_________________________单调递增; (4) 值域与最值: _________________________________; (5) 零点: _________________. 二、基础练习 1. 幂函数的图像经过点, 则_________. 2. 下列函数中, 既是偶函数又是上的增函数的是 答 [ ] A. B. C. D. 3. 下列命题中, 正确的是 答 [ ] A. 当时, 函数的图像是一条直线 B. 幂函数的图像都经过点和 C. 当时且是奇函数时, 是减函数 D. 幂函数的图像不可能过第四象限 4. 函数的值域是______________. 5. 函数在定义域上的最小值是, 则实数a的取值范围是_______________. 6. 函数在上单调递增, 则实数c的取值范围是________________. 【例题解析】 例1. 将下列函数图像的标号, 填入相应函数后面的横线上. (1): _________; (2): _________; (3): _________; (4): _________. 例2. 已知函数在区间上是减函数, 求m的最大值. 例3. 根据下列条件, 求实数a的取值范围. (1); (2). 例4. 设函数的定义域为区间, 其中常数a为实数. (1) 当时, 求函数的最小值; (2) 若函数在区间上是减函数, 求实数a的取值范围; (3) 当时, 求函数的最小值. 例5. 设函数, 函数, 其中a为常数, 且. 令为函数和的积函数. (1) 求函数的表达式, 并求出其定义域; (2) 当时, 求函数的值域; (3) 是否存在自然数a, 使得函数的值域恰为? 若存在, 试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合; 若不存在, 说明理由. 【巩固练习】 1. 设, 已知幂函数是奇函数, 且在区间上是减函数, 则满足条件的的值是________________. 2. 要得到函数的图像, 可以先将函数的图像向______平移1个单位, 再以_____轴为对称轴做对称变换. 3. 已知幂函数(p,q为互质整数)的图像如图所示, 则 答 [ ] A. p, q均为奇数 B. p是奇数, q是偶数, 且 C. p是偶数, q是奇数 D. p是奇数, q是偶数, 且 4. 已知, 求实数m的取值范围. 5. 幂函数为偶函数, 且在上是减函数, 求的解析式, 并讨论函数的奇偶性. 6. 函数的值域是_______________. 7. 函数的值域是______________. 8. 若当时, 函数的图像总在直线的上方 , 则实数k的取值范围是_______. 9.