基本不等式及其应用专题讲义-2024届高三数学一轮复习

高三第一轮复习 基本不等式及其应用 基本不等式及其应用 【课前预习】 一、知识梳理 1. 基本不等式 若, 则, 当且仅当__________时, 等号成立. 若, 则, 当且仅当__________时, 等号成立. 2. 公式变形与推广 (1) 公式变形 若, 则有, 当且仅当时, 等号成立. (2) 公式推广 , 当且仅当__________时, 等号成立. 设, 则,当且仅当时, 等号成立. 3. 基本不等式的应用 在应用基本不等式求函数的最值的时候, 切记口诀“一正, 二定, 三相等”. 二、基础练习 1. 若矩形的面积为4, 则其周长的最小值为______________. 2. 已知, 且, 则的最大值为_____________. 3. 若, 则的取值范围是_____________________. 4. 设, 则从小到大的排列是______________________________. 5. 若, 则的最小值是_____________. 6. 某厂产量第二年的增长率为a, 第三年增长率为b, 这两年的平均增长率为x, 则 答 [ ] A. B. C. D. 【例题解析】 例1. 已知, , 求的最大值及此时x, y的值. 例2. 已知, 且满足, 求: 的最大值以及的最小值. 例3. 已知, 满足, (1) 求的最小值; (2) 在求的最小值时, 某学生给出解法如下: 由得①, 即②, 又因为③, 由②③得④, 即所求最小值为8⑤. 请指出这位同学错误的原因, 并给出正确的解法. 例4. 求函数的值域. 例5. 经过长期观测得到: 在交通繁忙的时间段内, 某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度(千米/小时)之间的函数关系为. (1) 在该时间段内, 当汽车的平均速度v为多少时, 车流量最大? 最大车流量为多少(精确到0.1千辆/小时)? (2) 若要求在该时间段内车流量超过10千辆/小时, 则汽车的平均速度应在什么范围内? 【巩固练习】 1. 已知不等式对一切正实数x都成立, 则实数a的取值范围是________________. 2. 设实数a, b满足, 且, 则从小到大排列为____________________. 3. 当________时, 函数取到最小值, 为__________. 4. 给出下列四个函数: ①; ②; ③; ④, 其中最小值为2的函数有________________. 5. 设是椭圆第一象限部分上的一点, 过P分别向x轴, y轴作垂线, 垂足分别为M, N, 则矩形OMPN的面积的最大值为_______________. 6. 已知x非零实数, 则下列不等式中恒成立的是 答 [ ] A. B. C. D. 7. 若, 那么xy是否存在最小值或最大值? 说明理由. 8. 已知直角三角形的周长为定值, 求这个直角三角形的面积的最大值. 9. 已知, , 分别求的最小值. 10. 某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室. 如图所示, 在温室内 沿左右两侧与后侧内侧各保留1m宽的通道, 沿前侧内保留3m宽的空地, 则矩形蔬菜温室的边长分别为多少m时, 可种植蔬菜的面积最大? 最大种植面积为多少? 【巩固练习】 11. 若, 且, 求证: . 12. 已知命题: 若, , 那么. (1) 证明此命题是真命题; (2) 由已知条件还能得到什么不等式, 试写出两个, 并加以证明; (3) 如果, , 推广上述命题, 能得到什么不等式? 4 学科网（北京）股份有限公司 $$高三第一轮复习 基本不等式及其应用 基本不等式及其应用 【课前预习】 一、知识梳理 1. 基本不等式 若, 则, 当且仅当__________时, 等号成立. 若, 则, 当且仅当__________时, 等号成立. 2. 公式变形与推广 (1) 公式变形 若, 则有, 当且仅当时, 等号成立. (2) 公式推广 , 当且仅当__________时, 等号成立. 设, 则,当且仅当时, 等号成立. 3. 基本不等式的应用 在应用基本不等式求函数的最值的时候, 切记口诀“一正, 二定, 三相等”. 二、基础练习 1. 若矩形的面积为4, 则其周长的最小值为______________. 2. 已知, 且, 则的最大值为________