精品解析：湖南省长沙市明德中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

明德中学2024年上学期期中考试 高一年级数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确答案） 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 4. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 6. 在直三棱柱中，为等边三角形，，则三棱柱的外接球的体积为（ ） A B. C. D. 7. 已知函数，若关于的方程有4个不同的实根、，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角的对边分别为，且，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，每小题有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分．） 9. 如果，那么下面结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，A为点，下列说法不正确的是（ ） A B. 为异面直线 C. D. 11. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的表达式可以写成 C. 的图象向左平移个单位长度后得到的新函数是偶函数 D. 若方程在上有且只有6个根，则 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则______． 13. 勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知为弧（含端点）上的一点，则的范围为______． 14. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高球体被平面截下的一部分几何体叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体．如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是，与之对应的球缺的体积公式是．如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为______，体积为______． 四、解答题（本題共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步㪙） 15. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）求在上的值域． 16. 如图，在菱形中，分别是边中点，与交于点，设． （1）用表示； （2）求的余弦值． 17. 已知锐角的内角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若为的中点，的面积为，求的长． 18. 如图，在正方体中，为的中点． （1）求证：平面； （2）连接交于点，求三棱锥的体积； （3）已知点为中点，点为平面内的一个动点，若平面，求长度的最小值． 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”． （1）试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由； （2）若，为，的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围； （3）函数表示不超过的最大整数，如．若为的“2024重覆盖函数”，求正实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 明德中学2024年上学期期中考试 高一年级数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确答案） 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘、除法运算即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：D 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由得或，结合充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】由，得或， 所以“”是“或”的充分不必要条件， 即“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】将直观图还原为原图，如图所示，进而求解. 【详解】将直观图还原为原图，如图所