3.3.1向量的数乘运算课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

§3 从速度的倍数到向量的数乘 3.1 向量的数乘运算 高一数学组 赵忠保 亳州五中 情境导入 情境：打雷下雨的时候，为什么总是先看到闪电，后听到雷声？ 因为光速远大于声速。光速约为， 声速大约为，光速约为声速的倍。 相对于观察者，光速和声速方向相同。 自由下落的物体，速度会越来越大，1s末和2s末的速度大小 分别为和 ，， 并且方向都是竖直向下。 结论：两个共线的向量，之间具有倍数关系。 亳州五中 抽象概括 1、向量的数乘 实数与向量的乘积是一个向量，记作，满足： （1）当时，向量与向量同向； 当时，向量与向量反向； 当时，，方向任意。 （2）。 实数与向量的乘积称为向量的数乘，简称数乘向量。 亳州五中 抽象概括 2、数乘向量的几何意义 （1）当时，表示向量在原方向上伸长或缩短为 原来的倍； （2）当时，表示向量在反方向上伸长或缩短为 原来的||倍。 亳州五中 问题探究 问题：（1）实数0与任意向量的乘积是实数0， 还是零向量？ （2）任意实数与零向量的乘积是实数0， 还是零向量？ 结论：若，则或。 亳州五中 问题探究 问题：（1）与非零向量同向的单位向量如何表示？ （2）与非零向量向的单位向量如何表示？ 结论：（1）与非零向量同向的单位向量为称为 向量方向上的单位向量； （2）与非零向量反向的单位向量为称为向量 反方向上的单位向量。 亳州五中 抽象概括 3、数乘向量的运算律 设为实数，为向量，则 （1）第一分配率： ； （2）第二分配率： ； （3）结合律：。 注意：（1）向量的加法、减法、数乘还是向量； （2）向量的加法、减法、数乘，统称线性运算（或线性组合）。 亳州五中 典例讲解 例1 设为向量，化简下列各式： （1）； （2）； （3）（为实数）。 注意：向量的加法、减法、数乘运算满足与实数相同的运算律， 化简向量的线性组合，可类比多项式的化简。 亳州五中 典例讲解 例2 （1）设为未知向量，解方程 。 （2）已知向量为，未知向量为，满足 ， 求向量。 亳州五中 典例讲解 例3 如图，已知点是△所在平面内一点，点为边 的中点，且，说明向量与 的关系。 思考：条件“点为边的中点”怎么应用？ 亳州五中 练习巩固 1、（P94练习1）已知向量，说出下列向量与的关系： （1）； （2） ；（3）。 2、（P94练习2）化简下列各式： （1）； （2）。 3、（P94练习5）已知非零向量，，， 画图并说明是∠的平分线。 亳州五中 课堂小结 本节课学习了： 1、数乘向量的定义 实数与向量的乘积是一个向量，记作，满足： （1）当时，向量与向量同向； 当时，向量与向量反向； 当时，，方向任意。 （2）。 2、数乘向量的几何意义 （1）当时，表示向量在原方向上伸长或缩短为 原来的倍； （2）当时，表示向量在反方向上伸长或缩短为原来的||倍。 亳州五中 作业布置 1、P94 练习 第3题； 2、P94 练习 第4题； 3、P97 习题A组 第3题。 亳州五中 $$