4.5（第2课时） 垂线段与点到直线的距离 课件 2023-2024学年 湘教版数学七年级下册

第4章 相交线与平行线 4.5（第2课时） 垂线段与点到直线的距离 学习目标 1.了解垂线段最短的性质；（重、难点） 2.理解点到直线的距离的意义； 3.能度量点到直线的距离. 新课导入 做一做 用三角尺或量角器过一点P画已知直线l的垂线，如图4-42. （1）经过直线l上一点P画l的垂线a; （2）经过直线l外一点P画l的垂线b. 这样的直线分别可以画出几条呢？ 图4-42 假设过点P还有一条直线c⊥l，则c∥a（或c∥b），但是c与a（或b）有公共点P，这是不可能的. 我们有如下基本事实： 如图4-43，设PO垂直于直线l，O为垂足，线段PO叫做点P到直线l的垂线段.经过点P的其他直线交l与A，B，C，D，…，线段PA，PB，PC，PD，…，都不是垂线段，称为斜线段. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. B A P l O C D 图4-43 观察图4-43，PA，PB，PO，PC，PD哪条线段最短？ 动脑筋 我发现垂线段PO最短. 如图4-44，用圆规比较垂线段PO和斜线段PA，PB，PC，PD的长度，可知线段PO最短. 由此得出： 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. B A P l O C D 图4-44 或者简单地说成：垂线段最短. 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.例如，在图4-43中，垂线段PO的长度叫做点P到直线l的距离. 做一做 1.你能量出图4-45中点P到直线AB的距离吗？ 过点P作直线AB的垂线，垂足是D，量出垂线段PD的长度，即为点P到直线AB的距离. A B P 图4-45 2.如图4-46，某单位要在河岸上l上建一个水泵房饮水到C处，问建在哪个位置才最节省水管？为什么？ 过点C作l的垂线，设D为垂足，水泵房应建在D处，因为垂线段最短. 图4-46 我们可以把点到直线的距离转化为点到点的距离. 【例3】如图4-47，在三角形ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，AB=5，BC=12，AC=13. 求：(1)点A到直线BC的距离； (2)点B到直线AC的距离． 解 （1）因为∠ABC=90°， 所以AB⊥BC，B为垂足. 所以线段AB即为点A到直线BC的垂线段. 因为AB=5， 所以点A到直线BC的距离为5． 图4-47 （2）因为BD⊥AC，垂足为C， 所以线段BD的长度即为点B到直线AC的距离． 因为 ·AB·BC= ·AC·BD， 所以BD= = = . 所以点B到直线AC的距离为 . 练习 1.如图，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，亮亮总结出了如下结论： ①线段AC的长，表示点A到直线BC的距离； ②线段CD的长，表示点C到直线AB的距离； ③线段AD的长，表示点A到直线CD的距离； ④∠ACD是∠BCD的余角． 亮亮总结的结论正确的有（       ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 C 2.如图，点P是直线a外一点，过点P作PA⊥a于点A，在直线a上取一点B，连接PB，使PB=PA，C在线段AB上，连接PC．若PA=4，则线段PC的长不可能是（       ） A. 3.8 B. 4.9 C. 5.6 D. 5.9 解析：因为过点P作PA⊥a于点A，在直线a上取一点B，连接PB，使PB= PA，C在线段AB上，连接PC．若PA＝4， 所以PB＝6， 所以4≤PC≤6，故PC不可能是3.8. A 解析：因为PO⊥AB， 所以PO为垂线段. 因为垂线段最短， 所以PC≥PO. 3.P是直线AB外一点，过点P作PO⊥AB，垂足为O，若C为直线AB上任意一点，则线段PC与线段PO的大小关系是（ ） A. PC＞PO B. PC ＜ PO C. PC≥PO D. PC≤ PO C 4. 如图，从直线 l 外一点 P 向 l 引三条线段PA、PB、PC，其中最短的线段为 ，理由是 ． PB 垂线段最短 l 5.一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，C、D 是分别位于公路AB两侧的加油站. A B C D M N （1）设汽车行驶到公路AB上点M的位置时，距离加油站C最近；行驶到点N的位置时，距离加油站D最近，请在图中分别画出点M、N的位置； （2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离C、D两加油站都越来越近？在哪一段路上距离加油站D越来越近，而离加油站C却越来越远？ A B C D M N （2）在公路AB的AM段距离C、D两加油站都越来越近，在MN段距离