解析几何试题精选-《中学生数理化》高考数学2024年4月刊

■广东信宜教育局教研室 王位高 1.已知A,F 分别是双曲线9x2-3y2= 1的左顶点和右焦点,P 是双曲线右支上的 动点。 (1)若△PAF 是直角三角形,求点P 的 坐标。 (2)是 否 存 在 常 数 λ,使 得 ∠PFA= λ∠PAF 对任意的点P 恒成立? 证明你的 结论。 2.已知定点 M(-1,0),圆 N:(x-1)2 +y2=16,Q 为圆N 上的动点,线段 MQ 的 垂直平分线交NQ 于点P,记点P 的轨迹为 曲线C。 (1)求曲线C 的方程; (2)过点 M 与N 作平行直线l1 和l2,分 别交曲线C 于点A,B 和点D,E,求四边形 ABDE 面积的最大值。 3.已知椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)过 点P(2,1),且该椭圆的一个短轴端点与两焦 点F1,F2 为等腰直角三角形的三个顶点。 (1)求椭圆C 的方程; (2)设直线l不经过点P 且与椭圆C 相 交于A,B 两点,若直线PA 与直线PB 的斜 率之积为1,证明:直线l过定点。 4.已知双曲线C: x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b> 0)的左焦点为F,右顶点为A,渐近线方程为 y=± 3x,点F 到渐近线的距离为 3。 (1)求双曲线C 的方程。 (2)若直线l过点F,且与双曲线C 交于 P,Q 两点(异于双曲线C 的两个顶点),直线 x=t与直线AP,AQ 的交点分别为 M,N。 试问:是否存在实数t,使得|FM→+FN→|= |FM→-FN→|? 若存在,求出t 的值;若不存 在,请说明理由。 5.已知椭圆E: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的 左焦点F 为(- 7,0),过椭圆的左顶点和上 顶点的直线的斜率为 3 4 。 (1)求椭圆E 的方程。 (2)若N(t,6)为平面上一点,C,D 分别 为椭圆的上顶点和下顶点,直线 NC,ND 与 椭圆的另一个交点分别为P,Q。试探究:点 F 到直线PQ 的距离是否存在最大值? 如果 存在,求出最大值;如果不存在,请说明理由。 图1 6.如图1,在平面直角 坐标系xOy 中,A,B,C 分 别为椭圆E: x2 a2 +y 2 b2 =1(a >b>0)的三个顶点,F(c, 0)为其右焦点,直线 AB 与 直线CF 相交于点T。 (1)若点T 在直线l:x= a2 c 上,求椭圆E 的离心率。 (2)设直线CF 与椭圆E 的另一个交点 为D,M 是线段CD 的中点,椭圆E 的离心 率为 1 2 ,试探究:|TM| |CD| 的值是否为定值(与 a,b无关)? 若为定值,求出该定值;若不为 定值,请说明理由。 图2 7.如图2, E,F,G, H 分别是矩形 ABCD 四 边 的 中 点,F (2,0), C(2,1),CS→=λCF→,OR→ =λOF→。 (1)求直线 ER 与直线 GS 交点 M 的轨 迹方程; (2)过点I(1,0)任作直线与点 M 的轨 迹交于P,Q 两点,直线 HP 与直线QF 的交 点为J,直线 HQ 与直线PF 的交点为K,求 △IJK 面积的最小值。 8.已知圆A1:(x+1)2+y2=16,直线l1 44 演练篇 核心考点AB卷 高考数学 2024年4月 过点A2(1,0)且与圆A1 交于点B,C,BC 的 中点为D,过 A2C 的中点E 且平行于A1D 的直线交A1C 于点P,记点P 的轨迹为Γ。 (1)求Γ 的方程。 (2)点A1,A2 关于坐标原点O 的对称点分 别为B1,B2,点A1,A2 关于直线y=x 的对称 点分别为C1,C2,过A1 的直线l2 与Γ 交于点 M,N,直线B1M,B2N 相交于点Q。请从下列 结论中,选择一个正确的结论并给予证明。 ①△QB1C1 的面积是定值; ②△QB1B2 的面积是定值; ③△QC1C2 的面积是定值。 参考答案: 1.(1)设点P 的坐标为(x,y),由题意知 A - 1 3 ,0 ,F 23,0 ,则AP→= x+13,y , FP→= x-23,y 。 若∠AFP=90°,则x= 2 3 ,代入9x2- 3y2=1,解得y=±1,所以点 P 的坐标为 2 3 ,±1 。 若 ∠APF = 90°,则 AP→ · FP→ = x+ 1 3 x-23 +y2=0。 联 立 x+ 1 3 x-23 +y2=0, 9x2-3y2=1, 解 得 x= 5 12 , y=± 3 4 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 所以点P 的坐标为 5 12 ,± 3 4 。 综上可得,点 P 的坐标为 23 ,±1 或 5 12 ,± 3 4 。 (