训练20 直线与圆的位置关系-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教A版2019）

训练二十直线与圆的位置关系 基础练现固应周 (1)求m的取值范围； (2)若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于 1.(绵阳中学期中)已知直线l:3x-4y+2=0 与圆C:(x-4)2+(y-1)2=9,则直线l与 圆C的位置关系是 () M,N两点，且|MN|=4y5 ,求m的值. A.相切 B.相交且过C的圆心 C.相交但不过C的圆心 D.相离 2.圆x2+y2-4x+4y+6=0截直线l:x- y-5=0所得的弦长等于 (\ 2向A.√6 B. C.1 D.5 3.(浙江宁波北仑中学期中)若直线x-y-3 =0被圆x2+y2-2x+4y+m=0所截得 的弦长为6,则实数m的值为 () A.-1B.-2 C.-4 D.-31 4.(杭州二中期末)与圆C:x2+y2-4x+2= 0相切，且在x轴、y轴上的截距相等的直 线共有 () A.1条B.2条C.3条D.4条 5.若点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则 该圆在点 P处的切线方程为_ 6.某圆拱桥的水面跨度是 20 m,拱高为4 m. 现有一船宽9m,在水面以上部分高3 m, 通行无阻.近日水位暴涨了1.5m,为此， 必须加重船载，降低船身，当船身至少降低 m时，船才能安全通过桥洞.(结 能力练 迁移运用 8.在平面直角坐标系Oxy中，以点(0,1)为圆 心且与直线x-by+2b+1=0相切的所有圆 中，半径最大的圆的标准方程为 () A.x2+(y-1)2=4B.x2+(y-1)2=2 C.x2+(y-1)2=8D.x2+(y-1)2=16 9.(潍坊一中期中)(多选)已知圆C:x2+y2 =4,直线l:x+y+m=0,则下列结论正确 的有 () A.当 m=2时，直线l与圆C相交 B.若 P(x?,y?)为圆C上的点，则(x?-1)2 +(y?-2√2)2的最大值为9 C.若圆C上有且仅有两个不同的点到直线l 的距离为1,则m的取值范围是(√2,3√2) D.若直线l上存在一点P,圆C上存在两 点A,B,使∠APB=90°,则m的取值范 果精确到0.01 m) 7.(临沂质检)已知圆C的方程：x2+y2-2x -4y+m=0. 围是[-4,4] 10.(北京模拟)已知直线l:y=k(x+4)与圆 (x+2)2+y2=4相交于A,B两点，M是 39 ?高中数学·选择性必修 第一册 线段AB的中点，则点 M到直线 3x-4y —6=0的距离的最大值为 () 创新练 素能培优 A.2 B.3 C.4 D.5 11.(北京一零一中学期中)已知直线l:kx-y +k=0,若直线l与圆x2-2x+y2-4y+ 3=0在第一象限内的部分有公共点，则k 的取值范围是 12.过点P(-2,4)作圆(x-2)2+(y-1)2=25 的切线 l,直线 l:ax+3y+2a=0与l平 行，则实数 a= ,l?与l间的距 离为 13.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线 14.如图，某市有相交于点O的一条东西走向 的公路l与南北走向的公 Q 路m,这两条公路都与一 块半径为1(单位：千米)的 圆形商城 A 相切.根据市 民建议，欲再新建一条公 m A 十 lP 路 PQ,点P,Q分别在公路l,m上，且要 求 PQ与圆形商城A 也相切. (1)当 P距O处4千米时，求 OQ的长； (2)当公路 PQ长最短时，求 OQ的长. l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R). (1)求证：不论 m取什么实数，直线l与圆 恒交于两点； (2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l 的方程. 40 4.D 以点A为坐标原点，射线 AB为x轴的非负半轴建 立直角坐标系，则 A(0,0),B(3,0).设点 M(x,y),则 √x2+y2=2√(x-3)2+y2,化简并整理得(x-4)2+ y2=4.于是得点 M的轨迹是以点(4,0)为圆心，2为半 径的圆，其面积为4π.故选 D. 5.解析 因为方程x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0表示 圆，所以(-2a)2+[2(a-2)]2-4×2=8(a-1)2>0,即 a≠1.易知圆心坐标为(a,2—a),且a≠1.设圆心坐标 {3=2-a为(x,y),则有 消去a,得 x+y-2=0(x≠ 1),即为所求圆心的轨迹方程. 答案 x+y-2=0(x≠1) ∵r=2√R+4-4k=≥√4-3k,∴当k=06.解析 时，r最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为x2+ y2+2y=0,即x2+(y+1)2=1,圆心坐标为(0,-1).半 径 r=1,圆的面积最大值为π. 答案(0,一1)n 7.解 设该圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 令 y=0,得x2+Dx+F=0,所以x?+x?=-D; 令x=0,得y2+Ey+F=0,所以y?+y?=-E. 所以x?+x?+y?+y?=-(D+E)=2, 所以 D+E=-2.① 又 A(4,2),B(—1,3)两点在圆上， 所以16+4+4D+2E+F=0,② 1+9-D+3E+F=0.③ 由①②③,得 D=-2,E=0,F=-12. 故所求圆的方程为 x2+y2-2x-12=0. 能力练迁移运用 8.D 圆心M的坐标(x,y)应满足y=x或y=-x,等价 于x2-y2=0. 9.D 圆C:x2+y2+2x-2my-4-4m=0(m∈R), 即(x+1)2+(y-m)2=m2+4m+5, 其圆心为C(-1,m),设其半径为r(r>0), 则 r2=m2+4m+5=(m+2)2+1. 当圆C的面积最小时，必有m=—2,此时r2=1, 圆C的方程为(x+1)2+(y+2)2=1. 圆心C(-1,-2)到原点的距离d=√1+4=√5, 则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为d+r=√5+ 1.故选 D. 10.C 把圆C的方程化为标准方程为(x-2)2+(y+1)2 =5,∴圆心C(2,-1).设圆心C关于直线y=x+1的 对称点为C′(x?,y?),则 解得 =3.故 C'(-2,3),∴圆C关于直线y=x+1对 称的圆的方程为(x+2)2+(y-3)2=5. 11.解析 圆的方程x2+y2-2x-3=0,化为标准方程为 (x-1)?+y2=4,圆心坐标为(1,0),由km=—号，得 .且过图心，从而所来在AB的垂直平分线的斜率为 线方程为y-0=号(x-1),即3x-2y-3=0. 答案 3x-2y-3=0 ty12.解析 由y=√8-x2+2x得(x- 1)2+y2=9(y≥0),它表示以(1,0) 为圆心，3为半径的在x轴上方的 BC 0 半圆(含与x轴的交点),故t可以 A 看作半圆上的动点(x,y)与定点 (-1,一3)连线的斜率.如图：A(-1,-3),B(4,0), C(-2,0), 则km=号，kw=-3,∴1≤-3或之言 (-~,-3)U「言，+~)答案 13.解 (1)设AP的中点为M(x,y),x≠2, 则点 P的坐标为(2x-2,2y). 因为点 P在圆x2+y2=4上， 所以(2x-2)2+(2y)2=4, 整理，得(x-1)2+y2=1. 故线段 AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠2). (2)设 PQ的中点为N(x,y). 在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|. 连接ON,则ON⊥PQ, 所以|OPI2=|ONI2+|PNI2=|ONI2+|BN|2, 所以 x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4, 即 x2+y2-x-y-1=0. 故线段 PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0. 创新练素能培优 14.解 (1)由两点式可知，对角线 AC所在直线的方程为 =222-6-4. ,整理得 x-y-2=0. (2)设G为矩形 ABCD外接圆的圆心，则G为AC的 中点， :G(°#4,=2+2),即 C(2.0). r=号Acl.设r为外接圆半径，则 又|AC|=√(4-0)2+(2+2)2=4√2,∴r=2√2. ∴矩形 ABCD外接圆的方程为(x-2)2+y2=8. (3)设点P的坐标是(x?,y?),线段PN中点M的坐标 是(x,y), 则a=22,y=2⋯=2x+2,y.=2y. ∵P为外接圆上一点，∴(x?-2)2+y)=8. 将x?=2x+2,y?=2y代入并整理得x2+y2=2. ∴该轨迹是以原点为圆心，√2为半径的圆，轨迹方程为 x2+y2=2. 训练二十直线与圆的位置关系 基础练巩固应用 1.c很题卷得，图心到直线的班费4-1章 =15-2.1因为0<d<3,所以直线l与圆C相交但不过 82 C 的圆心. 2.A 圆的方程可化为(x-2)2+(y+2)2=2,则圆的半径 r=√2,圆心(2,-2)到直线l的距离d=12+2-51 √2 ,所以直线l被圆截得的弦长为2√F-d=尚 2√2-2=16. 3.C 圆的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=5-m, ∴其圆心为(1,—2),设圆心到直线的距离为d,则d= 1+2=0.5-m-(号)=-4.故进C. 4.C 圆C的方程可化为(x-2)2+y2=2.可分为两种情 况讨论：①直线在x轴、y轴上的截距均为0,易知直线 √-区，解斜率必存在，设直线方程为y=kx,则- 得k=±1;②直线在x轴、y轴上的截距均不为0,则可 +=1(a≠0),即x+y-a=0(a≠设直线方程为 一√5,解得a=4(a=0合去),因此满足条0),则」 件的直线共有3条. 5.解析由题意可得OP和切线垂直，故切线的斜率为 2=--.,故切线的方程为y-2=-号(x-1),即 1-0 x+2y-5=0. 答案 x+2y-5=0 6.解析 以水位未涨前的水面 AB的中 y+ C 点为原点，建立平面直角坐标系，如图 of BE所示，设圆拱所在圆的方程为 x2+ A (y-b)2=r2,因为圆经过点B(10,0),C(0,4), (4-0=: (,二1..5所以 解得 所以圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52(0≤y≤4), 令x=4.5,得y≈3.28,故当水位暴涨1.5m后，船身至 少应降低1.5-(3.28-3)=1.22(m),船才能安全通过 桥洞. 答案 1.22 7.解(1)方程x2+y2-2x-4y+m=0可化为(x-1)2 +(y-2)2=5-m,因为此方程表示圆，所以5-m>0, 即m<5.故m的取值范围是(一，5). (2)因为圆的方程可化为(x-1)2+(y-2)2=5-m,所以 圆心为C(1,2),半径r=√5-m,则圆心C(1,2)到直线 d=I1+z×2-4-唇l:x+2y-4=0的距离为 ,由于 IMNI-45,故÷1MN1-22.又因为 r2=d+ (÷IMN1),所以 5-m=(辱)+(2豆) ,解得 m =4. 能力练迁移运用 8.B 直线x-by+2b+1=0过定 身 点P(-1,2),如图.所以圆与直 R 线 x-by+2b+1=0相切于点 P 0 时，以点(0,1)为圆心的圆的半径 主 最大，此时半径r为√2,此时圆的 标准方程为 x2+(y-1)2=2.故 选 B. 9.AD 当m=2时，直线l:x+y+2=0.圆心C到直线l 的距高d一12=√E<2,所以直线1与团C相交，故A 正确；圆心C(0,0)到点(1,2√2)的距离为√12+(2√2)2 =3,则圆上的点P到点(1,2√2)的距离的最大值为5, 所以(x?-1)2+(y?-2√2)2的最大值为 25,故B错误； 要使圆C上有且仅有两个不同的点到直线l的距离为 1,则圆心C到直线l的距离大于1,且小于3,即1< 解存-AECm<一后线ECm<E此C# 误；因为直线l上存在一点P,圆C上存在两点A,B,使 ∠APB=90°,所以只需在直线l上存在点P,使得P到 O(0,0)的距离等于2√2,即点O(0,0)到直线l的距离 小于成等于2/巨，故<2,,解得-4≤m≤4,所以实 数m的取值范围是[—4,4],故 D正确.故选 AD. 10.C 设A(x?,y?),B(x?,y?),M(x?,y?),直线与圆的方 (4+)-1.程组成方程组 消去y得(1+k2)x2+ (8k+41x+16k=0.则x?+x?==+4,y?+y, =A(x+x+8)=万#,所以。 消去k得(x?+3)2+yó=1,即 M的轨迹是圆心为 (-3,0),半径为1的圆.圆心(-3,0)到直线3x-4y-6 =0的距离d=L-151=3.所以所求最大值为d+r=4. 11.解析 圆x2-2x+y2-4y+3=0可化为(x-1)2+(y -2)2=2,∴圆心为C(1,2),半径 r=√2. 由直线l:kx-y+k=0即y=k(x+1),可得直线l过 定点(-1,0),记A(-1,0). yi 如图，当直线与圆相切于点 M B时，其斜率最小，当直线过点 B时，其斜率最大. c 由共一，可得A-2 A M0 ±√3,结合图形可知km=2- k=8-1=3,√3;由A(-1,0),B(0,3),可得 ∴k的取值范围是(2-√3,3). 答案 (2-√3,3) 83 12.解析 由题意，知直线4,的斜率k=一含，,则设直线 l 的方程为y-4=-2(x+2),即ax+3y+2a-12= 2a+3+2a-12\ 0.由Z与圆C相切，得上 √a2+9 —4,所以l的方程为4x-3y+20=0,l?的方程为4x- -￥3y+8=0,则两直线间的距离为- 答案 -4 ￥ 13.解 (1)证明 l的方程可化为(x+y-4)+m(2x+ (2+y-(-0 {=1:y-7)=0(m∈R),由 解得 即l恒过定点A(3,1). 因为圆心为C(1,2),|AC|=√5<5(半径), 所以点A在圆C内， 从而直线l与圆C恒交于两点. (2)由题意可知弦长最小时，l⊥AC. 因为kw=-,,所以l的斜率为 2. 又I过点A(3,1),所以l的方程为2x-y-5=0. 创新练素能培优 14.解 (1)以O为原点，直线l,m分别为x,y轴建立平 面直角坐标系. 设 PQ与圆A相切于点B,连接AB,以1千米为单位 长度，则圆A的方程为(x-1)2+(y-1)2=1, 4+#=1,由题意可设直线 PQ的方程为- 即bx+4y-4b=0(b>0), V0+=1,解得b=3,∵PQ与圆A相切.. 故当P距O处4千米时，OQ的长为3千米. (2)设 P(a,0),Q(0,b)(a>2,b>2), 则直线PQ方程为合+方=1,即bx+ay-ab=0. :PQ与图A相切=1, 化简得ab-2(a+b)+2=0,即ab=2(a+b)-2; ∵PQ=√a2+b2=√(a+b)2-2ab =√(a+b)2-4(a+b)+4=√(a+b-2), ∴a>2,b>2,∴a+b>4,于是 PQ=(a+b)-2. 又ab=2(a+b)-2<(“), 解得0<a+b≤4-2√2,或a+b≥4+2√2. ∵a+b>4,∴a+b≥4+2√2, PQ=(a+b)-2≥2+2√2, 当且仅当a=b=2+√2时取等号， ∴PQ最小值为2+2√2,此时a=b=2+√2. 故当 P,Q两点距离两公路的交点O都为2+√2(千米) 时，新建公路 PQ最短. 训练二十一圆与圆的位置关系 基础练巩固应用 1.B 圆(x-2)2+(y-2)2=1的圆心坐标为(2,2),半径 为1;圆(x+1)2+(y+2)2=25的圆心坐标为(-1, -2),半径为 5, 则两圆圆心距为√(2+1)2+(2+2)2=5. 又 5-1<5<5+1, 所以圆(x-2)2+(y-2)2=1与圆(x+1)2+(y+2)2= 25的位置关系是相交.故选 B. 2.D 由题意，知√a+1=2+1,a>0,所以a=2√2,圆心 M(2√2,0)到直线x-y-√Z=0的距离d=12N2 =1,所以直线x-y-√2=0被圆M截得的线段的长度 为2√4-1=2√3,故选 D. 3.C 由题意知圆C?的圆心为(-3,1),半径r?=2;圆C? 的圆心为(1,-2),半径r?=2,所以两圆的圆心距d= √[1-(-3)]+(-2-1)2=5>r+r?=4,所以两圆 外离，从而|MN|的最大值为5+2+2=9.故选C. 4.D 圆O?:x2+y2-4x+6y+2=0可化为(x-2)2+(y +3)2=11,其圆心为O?(2,-3); 圆 O?:x2+y2-2x=0可化为(x-1)2+y2=1,其圆心 为O?(1,0). 由于O?O?垂直平分弦 AB,所以所求直线即为直线 0,0,因为koo=z3-?=-3, 所以两圆的公共弦AB的垂直平分线的方程为y-0= -3(x-1),即3x+y-3=0.故选 D. 5.解析 由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a, 0),√2和(0,b),1,因为两圆相离，所以√a2+b>√2+ 1,即a2+b2>3+2√2. 答案 a2+b2>3+2√2 6.解析 设动圆圆心C的坐标为(x,y),半径为r.由已 知，得圆C?的圆心C(3,0),半径r?=2,圆C?的圆心 C?(-3,0),半径r?=2.依题意，得 所以|CCI-|CC?|=4或|CC|-|CC?|=-4. 即√(x-3)2+(y-0)2-√(α+3)2+(y-0)2=±4, 整理得5x2-4y2-20=0,所以所求动圆圆心C的轨迹 方程为5x2-4y2-20=0. 答案 5x2-4y2-20=0 7.解 (1)∵圆 M与圆O有交点， ∴|r-2|≤6≤r+2,r>0, ∴4≤r≤8. (2)∵直线l过点H(4,3)且与圆M相切， ∴①当直线l垂直于x轴时， 直线l的方程为x=4,满足题意； ②当直线l不垂直于x轴时， 设直线l的方程为y-3=k(x-4), 84