训练18 圆的标准方程-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教A版2019）

AI伴学助手 训练十八圆的标准方程 在线答疑 ? 配套答案 称最 基础练巩固应用 7.已知圆N的标准方程为(x-5)2+(y-6)2 =a2(a>0). 1.(浙江杭州期中)圆(x+2)2+(y-3)2=5 的圆心坐标、半径分别是 () A.(2,-3),5 B.(-2,3),5 C.(-2,3),√5 D.(3,—2).√5 (1)若点 M(6,9)在圆N上，求半径a; (2)若点 P(3,3)与 Q(5,3)有一点在圆 N 内，另一点在圆N外，求实数a的取值 范围. 2.(四川成都期中)在平面直角坐标系中，圆 心为(1,-3),半径为2的圆的标准方程为 () A.(x-1)2+(y+3)2=4 B.(x-1)2+(y+3)2=2 C.(x+1)2+(y-3)2=4 D.(x+1)2+(y-3)2=2 3.若直线3x+y+a=0过圆(x+1)2+(y- 能力练概移运用 2)2=5的圆心，则a的值为 () A.-1B.1 C.3 D.—3 4.圆心在直线x+y=0上，且与x轴交于点 A(一3,0)和 B(1,0)的圆的方程为() A.(x+1)2+(y-1)2=5 8.(湖北高二期末)若原点在圆(x-3)2+(y +4)2=m的外部，则实数m的取值范围是 () A.(一～,25) B.(一，5) C.(0,25) D.(0,5) B.(x-1)2+(y+1)2=√5 C.(x-1)2+(y+1)2=5 D.(x+1)2+(y-1)2=√5 5.如果圆(x-m)2+(y-2m)2=r2关于直线 x+y-3=0对称，则圆的圆心坐标为 9.(安徽合肥期中)过坐标原点O作单位圆 x2+y2=1的两条互相垂直的半径 OA, OB,若在该圆上存在一点 C,使得OC= aOá+bOB(a,b∈R),则以下说法正确 的是 () A.点 P(a,b)一定在单位圆内 6.已知圆C:(x-2)2+(y+m-4)2=1,当m 变化时，圆C上的点到原点的最短距离 是 . B.点 P(a,b)一定在单位圆上 C.点 P(a,b)一定在单位圆外 D.当且仅当ab=0时，点 P(a,b)在单位 圆上 35 ?高中数学·选择性必修 第一册 10.(浙江绍兴市第一中学期中)已知直线 ax +by-1=0(ab>0)过圆(x-1)2+(y- +方2)2=2 023的圆心，则 的最小值为 () A.3+2√2 B.3-2√2 C. 6 D.9 11.已知圆C:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C? 与圆C?关于直线x-y=0对称，则圆C? 的标准方程为 12.(辽宁沈阳高二上月考)已知三点A(3,2), B(5,—3),C(一1,3),以点P(2,-1)为圆 心作一个圆，使A,B,C三点中一点在圆 外，一点在圆上，一点在圆内，则这个圆的 标准方程为_ 13.已知圆C经过点A(-1,0)和B(3,4),且 圆心C在直线x+3y-15=0 上. (1)求圆C的标准方程； (2)设点 Q(-1,m)(m>0)在圆C上，求 △QAB 的面积. 创新练 素能培优 14.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,点A(0, 一1),B(0,1),设 P是圆C上的动点，令 d=|PAl2+|PB|2,求d的最大值及最 小值. 36 此时点 P不满足条件①,应舍去. 音解得<由· 此时点 P也满足 条件①. 所以 P(奇.语):为同时满足三个条件的点. 训练十八圆的标准方程 基础练巩固应用 1.C 由(x+2)2+(y-3)2=5,得[x-(-2)]2+(y-3)2 =(√5)2,∴圆(x+2)2+(y-3)2=5的圆心坐标为 (-2,3),半径是√5.故选C. 2.A 圆的方程：(x-xo)2+(y-yo)2=r2(r>0),其中 (x?,y?)为圆心，r为半径.所以圆心为(1,-3),半径为 2的圆的标准方程为(x-1)2+(y+3)2=4. 3.B 圆(x+1)2+(y-2)2=5的圆心为C(-1,2),又直 线3x+y+a=0过圆心，∴3×(-1)+2+a=0, ∴a=1. 4.A 由题意得圆心在直线x=-1上，又圆心在直线x+ y=0上，所以圆心 M的坐标为(-1,1).又A(-3,0), 半径 r=|AM|=√(-1+3)2+(1-0)=√5.则圆的 方程为(x+1)2+(y-1)2=5. 5.解析圆的圆心为(m,2m),由题意，圆心在直线上，即 m+2m-3=0,解得m=1,所以圆心坐标为(1,2). 答案 (1,2) 6.解析由题意可得，圆C的圆心坐标为(2,4—m),半径 为1,圆C上的点到原点的最短距离是圆心到原点的距 离减去半径1.即d=√22+(4-m)2-1,当m=4时， d最小，dmn=1. 答案 1 7.解(1)因为点M(6,9)在圆N上，所以(6-5)2+(9- 6)2=a2,即a2=10. 又a>0,所以a=√10. (2)因为 N(5,6),所以|PN|=√(5-3)2+(6-3)2= √13,|QN|=√(5-5)2+(6-3)2=3, 所以|PN|>|QN|,故点P在圆N外，点Q在圆N内， 所以 3<a<√13. 故实数a的取值范围是(3,√13). 能力练迁移运用 8.C 根据题意，圆(x-3)2+(y+4)2=m的圆心为(3, 一4),半径为√m,必有m>0.若原点在圆(x-3)2+ (y+4)2=m的外部，则(0-3)2+(0+4)2>m,则有 m<25.综合可得0<m<25.故选 C. 9.B易知|OC|=√a2OA+bOB+2ab·Oλ·OB, ∵OA⊥OB,IOA|=|OB|=1, ∴|OC|=√a2+b. 又∵C在圆上，∴|OC|=1,∴√a2+b=1, ∴|OP|=√a2+b=1.又∵单位圆的半径为1,∴点 P 一定在单位圆上.故选 B. 10.A 由圆的方程知，圆心为(1,2).因为直线ax+by-1 ÷+=0(ab>0)过圆心，所以a+2b=1(ab>0),所以- =(a+2b)(÷+÷)=3+E+≥3+ 2√云·2E=3+2√E,当且仅当方-,,即 a=√2b 时 取等号，此时a=√E-1.b=1-厚，所以÷+云4的最小 值为3+2√2. 11.解析 圆C:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C?与圆C?关于 直线 x-y=0对称，则圆C?的圆心坐标为(1,-1),半 径为1,故圆C?的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=1. 答案 (x-1)2+(y+1)2=1 12.解析 连接 PA,PB,PC.要使 A,B,C三点中一点在 圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是|PA|, |PB|,|PC|中的中间值.因为|PA|=√10,|PB|= √13,|PCl=5,所以|PA|<|PB|<|PC|,所以圆的 半径r=|PB|=√13,故所求圆的标准方程为(x-2)2 +(y+1)2=13. 答案 (x-2)2+(y+1)2=13 13.解 (1)因为圆心在直线x+3y-15=0上， 所以设圆心 C(15—3b,b)。 由|CA|=|CB|=r,得r2=(15-3b+1)2+b2=(15- 3b-3)2+(b-4)2,解得b=6, 则圆心C(-3,6),所以r2=(-3+1)2+62=40. 故圆C的标准方程为(x+3)2+(y-6)2=40. (2)因为点Q(-1,m)(m>0)在圆C上， 所以m=12或m=0(舍去),所以Q(-1,12). 易求得|AQ|=12,点B到直线AQ的距离为4, 所以△QAB的面积S=÷×|AQI×4=÷×12×4=24. 创新练素能培优 14.解 设P(x,y), 则 d=|PA|2+|PB|2=2(x2+y2)+2. ∵圆心 C的坐标为(3,4), ∴|COI2=32+42=25, ∴(5-1)2≤x2+y2≤(5+1)2. 即 16≤x2+y2≤36. ∴d的最小值为2×16+2=34. 最大值为2×36+2=74. 训练十九圆的一般方程 基础练巩固应用 1.D 因为方程表示的图形是圆，所以4+4m>0,解得m >-1.故实数 m的取值范围为(-1,+). 2.A 由圆C:x2+y2+4x-2y+3=0得(x+2)2+(y- 1)2=2,所以圆C的圆心坐标为(-2,1),半径为√2. 3.D 由题意可得∠ACB=120°,连接 CD,因为|CA|= |CB|,D为AB的中点，|CB|=2,所以|CD|=1,所以 点 D的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，所以点D的 轨迹方程是(x-2)2+(y-2)2=1. 81