训练11 倾斜角与斜率-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教A版2019）

训练十一倾斜角与斜率 基础练 现固应用 1.(多选)(广东广州中学高二期中)下列说法 正确的是 () 7.已知两点 A(一3,4),B(3,2),过点P(1,0) 的直线l与线段AB有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围. ①直线的倾斜角α的取值范围是[0,π]; ②平面直角坐标系中的任意一条直线都有 倾斜角，但不一定有斜率； ③直线的倾斜角越大，其斜率就越大. A.① B.②③ C.①③ D.①② 2.(山师附中高二上月考)过点 P(-1,2)的直 线l与x轴、y轴分别交于A,B两点，且 P 恰好是AB的中点，则 AB的斜率为 () B.一L2A. C.—2 D.2 3.(湖南常德临澧一中高二上段考)已知直线 l的斜率为k,且-1≤k≤√3,则直线l的倾 斜角α的取值范围是 () [否，年] [0.][0,] U(,π)A. B. c.[0.晋]U(,章) D.[0,音]U(,x) 4.已知直线l经过点A(1,2),且不经过第四 象限，则直线l的斜率k的取值范围是 () A.(-1,0) B.「0,1 C.[1,2] D.[0,2] 5.(重庆调研)将直线l沿y轴的负方向平移 a(a>0)个单位长度，再沿x轴正方向平移 (a+1)个单位长度得直线l,此时l'与l重 合，则直线l的斜率为 6.设坐标平面内三点A(m,-m-3),B(2, m—1),C(-1,4),直线 AC的斜率等于直 线 BC 的斜率的三倍，则实数 m的值为 能力练 迁移运用 8.如图，直线l?,l?,l?的斜率分别为k,k?,k?,则 () ty h L2 l? 主 A.k?<k?<k? B.k。<k?<k C.k?<k,<k D.k?<k?<k? 9.(河北邢台高二上月考)某县相邻两镇在平面 直角坐标系下的坐标分别为A(-3,-4), B(6,3),计划经过交通枢纽C(0,-1)修建 一条公路l(l看成一条直线，l的斜率为 k).若A,B两镇位于公路l的两侧，则k的 取值范围为 () A.(音·1) B.(-~,号)U(1,+~) c.(1.2) D.(-≈,1)U(言，+~) 21 ?高中数学·选择性必修 第一册 10.(湖北荆州沙市中学高二上月考)1949年 公布的《国旗制法说明》中就五星的位置 规定：大五角星有一个角尖正向上方，四 颗小五角星均各有一个角尖正对大五角 星的中心点.如图，以大五角星的中心点 为原点建立直角坐标系，0O?,00?,0O?, OO?分别是大五角星中心点与四颗小五 角星中心点的连线，α≈16°,则第三颗小 五角星的一条边 AB所在直线的倾斜角 约为 () ty O? 02 0 AB/ & A.0°B.1° C.2° D.3° 11.斜率为2的直线过(3,5),(a,7),(-1,b) 三点，则a+b= 12.(遵义中学期中)已知实数x,y满足2x+ y=8,当 2≤x≤3 时，y的最大值与最小x 值的差为 13.设A(x?,y?),B(x?,y?),C(x?,y?)是函数 y=x3的图象上任意三个不同的点.求 证：若A,B,C三点共线，则x?+x?+x? =0. 创新练 素能培优 14.如图所示，菱形 OBCD的顶点O与坐标 原点重合，一边在x轴的 yt D< C 正半 轴上，已知∠BOD =60°,求菱形 OBCD各 可 主B 边和两条对角线所在直线的倾斜角和 斜率. 22 设平面 A,B?C?的法向量为n=(x?,y?,z?),则 {-+-即 不妨令 y?=√5,则n=(0,√5,√2)为平面 A?B?C?的一个法 向量. 所以 cos(m.n)=1m1m一万文万一号. 所以 sin(m.n)=3乒. 所以平面 AA?C与平面 A?CB?夹角的正弦值 为： 创新练素能培优 14.解 假设存在点E,设AE=a(O≤ 12 D, ,C?a≤4) B 如图，以D为原点，DA,DC,DD,所在 A?r yD C 直线分别为x轴、y轴、z轴的正 A) 亡B方向建立空间直角坐标系 Dxye, 则有 E(3,a,0),C(0,4,2),D(0,0,0).设平面 DEC的法 向量为n=(x,y,z),又DC?=(0,4,2),DE=(3,a,0),. (+2-0:所以 即{故 令y=1,得x=-3,x=-2,即n=(-3,1,-2). 又易知平面 DEC的一个法向量为m=(0,0,1), 由题意知- 解得 a=3, 所以在线段 AB上存在点E,使平面 CDE与平面 C?DE的夹角的余弦值为) ,此时 AE=3.的向 训练十一倾斜角与斜率 基础练巩固应用 1.D 对于①,直线的倾斜角α的范围为(0,π),①正确； 对于②,平面内所有直线都有倾斜角，当倾斜角为 90°时 没有斜率，②正确；对于③,倾斜角为锐角时斜率为正， 倾斜角为钝角时斜率为负，③错误.故选 D.-2.D 设A(a,0),B(0,b),则- 解得 所 kw=0-C-2=2.以 A(—2,0),B(0,4),所以， 3.B 因为-l≤k≤√3,所以-l≤tana≤√3,又直线l的 倾针角a∈(0,π),所以a∈[0,弯]U(,k). 4.D 由图，可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内 (包括边界)时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤ k≤2.故选 D. y+ /l A(1,2) -1 0 x 5.解析 设直线l上一点A(x,y),其沿y轴负方向平移 a(a>0)个单位长度，再沿x轴正方向平移(a+1)个单位 长度后的坐标为(x+a+1,y-a).因为平移后的点仍然 y-a-y在直线l上，所以直线l的斜率k=- x+a+1-x -a+i 答案 一 牛2=3·4=m-2,6.解析由k=3k,得- ,解得 m=1或m=2,经验证均符合题意，故m的值是1或 2. 答案 1或 2 7.解 如图，由题意可知m==3÷ ty A(-3,4) >B(3,2)=-1,km=3=Y=1, 0P(1,0) x (1)要使l与线段AB有公共点，则直 线l的斜率k的取值范围是(-～,-1)U[1,+~). (2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的 倾斜角之间，又 PB的倾斜角是45°,PA的倾斜角是 135°,∴a的取值范围是[45°,135°]. 能力练迁移运用 8.D 直线l?,l?的倾斜角为锐角，且直线l?的倾斜角大 于直线l?的倾斜角，所以0<k。<k?.直线l?的倾斜角 为钝角，斜率k<0,所以k?<kg<k?. 9.B若 A,B两镇位于公路 ty l 的两侧，则 k<kx或 k> 4 k,如图. 2 又k==1+4=1,k=: 0-2C 24 6x 21 3-子，,故 k的取值范围 A 为(-?)U(1,+~) 10.C 因为O,O?分别为大五角星和第三颗小五角星的 中心点， 所以 OO?平分第三颗小五角星的一个角， 又由五角星的角尖为36°知∠BAO?=18°. 过O。作x轴的平行线O?E,如图，则∠OO?E=a≈16°, 所以直线 AB的倾斜角约为18?-16?=2°. y O1 0 E- 72 B 2==3=“二=3∴a=4.b=-3,11.解析 由题意，得： ∴a+b=1. 答案 1 12.解析如图所示，设点 P(x,y)在 yi A 线段 AB上运动，其中点 A(2,4), P B(3,2), B 则2=￥二0:可看作直线 OP的斜 0 x 率，由图可知，kog≤kop≤kax, km=2=8-÷-k==8-2,所以(一)=2,因为 (÷)_-. 兴的最大值与最小值的差为2-号一号.所以- 答案 43 13.证明 ∵A,B,C是三个不同的点， ∴x?,x?,xg互不相等. ∵A,B,C三点共线， ∴km=kc·P二-2二， : 整理，得xí+x?x?+x2=x2+x?x?+x, 即(x?-x?)(x?+x?+x?)=0. ∵x≠x?! ∴x?+x?+x?=0. 创新练素能培优 14.解 在菱形OBCD中，OD//BC,∠BOD=60°, 所以直线 OD,BC的倾斜角相等，都为60°, 所以斜率k=k=tan 60?=√3; ∵CD//OB,且OB在x轴上，所以直线OB,CD的倾 斜角相等，都为0°,所以斜率ku=kcp=0; 由菱形的性质知，∠COB=≥×60°=30°,∠OBD=60°, 所以直线OC,BD的倾斜角分别为30°,120°, 所以两对角线的针率分别为ka=tan 30°=每， kw=tan 120°=-√3. 训练十二两条直线平行和垂直的判定 基础练巩固应用 1.A 由A,B两点的坐标知l?的斜率不存在，又l?//l?, 所以l?的斜率也不存在，所以x=2. 的2.C 由题意可得直线l?的斜率为 由直线l?⊥l?,得直 线l?的斜率为一√3. 3.C 由直线l?,l?的斜率k,k?与方程x2+mx-2=0的 两个根分别相等，可知k·k?=-2, ∴l?与l?不垂直. 又△=m2+8>0,所以方程x2+mx-2=0有两个不等 实根，所以l与l?不平行，故l?与l?相交但不垂直. 4.B 如图所示，易知km=-3,kg= y B6 C 0.ko=-3.kwo=0.k=-+·h 2 A D -20246810 =章，,所以kAB=kc,kx=kAn,kam kx=0,kwkm=-1s,,故 AD//BC,AB//CD,AB与 AD不垂直，BD与AC不垂直，所以四边形ABCD为平 行四边形. 5.解析由题意知直线 AD,BC的斜率均存在且AD⊥ BC,则有ko·kx=-1, --1,解得m-3.即 答案 3 -2,解得x=3.所以6.解析因为l?//l?,所以 1og-3=-2.-答案 7.解 (1)设 Q(x,y),由题意知PQ,MQ的斜率存在，kxw =3,kpx=-2, 由PQ⊥MN,得k·kw=-1,即==3×3=-1,① 由PN//MQ,得kw=kg,即==-2,② 由①②,得x=0,y=1,所以Q(0,1). (2)设Q(x,0), 因为∠NQP=∠NPQ,所以k=-k,H?2=2, 解得x=1,所以Q(1,0), 又 M(1,-1),所以 MQ⊥x轴， 故直线 MQ的倾斜角为 90°. 能力练迁移运用 8.D 由k,k?是方程2x2-3x-2=0的两根，解方程得 (-÷÷又4//1,所以k=点，所以 k+k?+k?=1或子. 9.D 直线l经过A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点，则直线l 的斜率k=2-=1-m2≤1. 10.D 设D(x,y),由CD⊥AB,且CB//AD,知kk= 偿亮“-1,kc=ka,则 {-解得 即 D(-2,3),故选 D. 十2,11.解析 由题意可得，直线l?的斜率为 又直线l?的斜率为—2,且l?//l?, 所以第一2=—2,解得m=-8. 73