训练9 用空间向量研究距离问题-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教A版2019）

训练九用空间向量研究距离问题 基础练 巩固应用 1.(漳 州 一中月考)已知直线 l过定点 A(2,3,1),n=(0,1,1)为直线l的一个方 向向量，则点 P(4,3,2)到直线l的距离为 () 3√2 √10√2A. B. C. D.√22 2 2.已知三棱锥 O-ABC中，OA⊥OB,OB⊥ OC,OC⊥OA,且OA=1,OB=2,0C=2, 则点 A到直线 BC的距离为 () A.√2 B.√3 C.√5 D. 3 3.在长方体 ABCD-A?B?C?D?中，底面是边 长为2的正方形，高为4,则点 A?到平面 AB?D?的距离为 () 83 43 314A. B.音 C. D. 4.(浙江绍兴高二期末)在空间直角坐标系 中，A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,0,0), D(-1,2,1),其中A∈a,B∈a,C∈β,D∈ β,已知平面α//平面β,则平面α与平面β 间的距离为 () √326 13 √5A. B. C. D.26 13 3 5 5.(徐州一中月考)如图，点 P为矩形ABCD P 所在平面外一点，PA ⊥平面 ABCD,Q为线 D段 AP的中点，AB= 3,BC=4,PA=2,则点 B C P到平面BQD的距离为 6.如 图所示，在长 方体 ABCD-A?B?C?D?中， D? C? At B? GAA?=AB=2,AD=1, DL点 F,G分别是AB,CC 的中点，则点 D?到直线 GF的距离为 c A' F B 7.(重庆名校联盟月考)底面为矩形 ABCD 的长方体被截面AEC?F所截得到的多面 体如图所示，其中 AB= Ci F4,BC=2,CC?=3,BE= 1,四边形 AEC?F为平行 /D). cE 四边形. BA (1)求线段 BF的长； (2)求点C到平面AEC?F的距离. 能力练迁移运用 8.(河北部分名校高二期中)在三棱柱 ABC- A?B?C?中，AB=(0,2,-3),AC= (-2√3,0,-3),AA;=(-√3,0.2),则该 三棱柱的高为 () 94 32A. B. C.2 D.4 9.(安徽六安中学高二期中)正三棱柱 ABC- A?B?C?的所有棱长都为2,则B?C到平面 A?BC的距离是 () B.2红√21A. 7 c.3T p.4/红 17 ?高中数学·选择性必修 第一册 10.(多选)如图，在正方体 ABCD-A?B?C?D? 中，P为对角线 BD?的三等分点，则点 P 到各顶点的距离的不同取值有 () D C? A.√3 BA?B.2√3 C.√6 D;- cP、 D. 3 A B 11.设正方体 ABCD-A?B?C?D?的棱长为2, 则点 D?到平面A?BD的距离是 12.如图，棱长为1的正方体 D? G ABCD-A?B?C?D?中，E, BA?f FGF分别为BB?,C?C的中 F cHF 点，G为线段 DD?上的 /D A B 点，且DG=÷DD,过E, 创新练 素能培优 14.如图，三棱柱 ABC-A?B?C?的所有棱长都 是2,AA?⊥平面ABC,D,E分别是AC, CC?的中点. (1)求证：平面BAE⊥平面A?BD; (2)在线段 B?B(含端点)上是否存在点 ??M,使点 M到平面A?BD的距离为 请说明理由. B ,B A? C E >c D A F,G的平面交AA?于点H,则A?D?到 平面 EFGH 的距离为 13.如图所示，在直三棱 柱 ABC-A?B?C?中，∠ABC FB C? GA?f E =90°,BC=2,CC?=4,点 E在线段 BB?上，且 EB D =1,D,F,G分别为CC?, C?B?,C?A?的中点. B C A (1)求证：B,D⊥平面ABD; (2)求证：平面 EGF//平面ABD; (3)求平面 EGF与平面ABD的距离. 18 所以AE·BE=0,AE·BC=0, 所以 AE⊥BE,AE⊥BC. 又因为 BC∩BE=B,BC,BEC平面 BCE, 所以 AE⊥平面 BCE. (2)由题意可知，平面ABCD的法向量为OE=(1,0,0). 易知BF=(子，一号，学),BD=(0,-2,2), 设平面BDF的法向量为m=(x,y,z), 则 取x=1, 则 x=0,y=1,所以m=(0,1,1). 因为m·O它=0,所以平面 BDF⊥平面ABCD. 创新练素能培优 14.解 (1)证明∵平面ADEF⊥平面ABCD, 平面 ADEF∩平面ABCD=AD,AF⊥AD, AFC平面ADEF,∴AF⊥平面 ABCD. ∵ACC平面ABCD,∴AF⊥AC.过A作AH⊥BC于 H(图略),则BH=1,AH=√3,CH=3, ∴AC=2√3,∴AB2+AC2=BC2,∴AC⊥AB. ∵AB∩AF=A,AB,AFC平面FAB, ∴AC⊥平面 FAB.∵BFC平面 FAB,∴AC⊥BF. (2)存在.理由：由(1)知，AF, 2 E AB,AC两两垂直。以A为坐标 原点，AB,AC,AF的方向分别 代 D 为x轴、y轴、z轴正方向，建立 如图所示的空间直角坐标系 B Axyz, ☆ y* 则 A(0,0,0),B(2,0,0), C(0,2√3,0),E(-1,√3,2). 假设在线段 BE上存在一点 P满足题意，则易知点P不与 点B,E重合，设器=x.则o<x<1,p() 设平面 PAC的法向量为m=(x,y,z). 由Ap=(2二.),AC=(0,2√5,0),得 是一 =1=即 所以m=(1.0,^云2)为平面PAC的一个法向量. 同理，可求得n=(1.叠1)为平面 BCEF的一个法向量. 当m·n=0,即A=号：时，平面 PAC⊥平面 BCEF,故 照一号.存在满足题意的点 P,此时 训练九用空间向量研究距离问题 基础练巩固应用 1.A FA=(-2.0,-1),IFA|=√5、|PA,一 a=√irxr-|t;|-点P到直线l的距离 √5-2-F. 则 2.B 以O为坐标原点，建立如图所示 的空间直角坐标系Oxyz.由题意可知 Z C A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2), ∴AB=(-1,2,0),BC=(0,-2,2),取 0 yB a-Xb-(-1.2.0),W-- (0.一竖誓): .则点A到直线 BC的距离为√a2—(a·u)2 =√5-2=√3. 3.C如图，建立空间直角坐标系 2D C Dxyz,则 A(2,0,0),A?(2,0,4), A( B B(2,2,4),D,(0,0,4),∴D,B=(2, 2,0),D,A=(2,0,-4),AA?=(0,0, CD 子AE 4).设n=(x,y,z)是平面AB,D?的法 B 向量，则n⊥D,B,,n|D.A. 12.+2=0:即{ 令x=1,则平面AB,D?的一个法向量为n=(2,—2,1). a-nm故点 A,到平面 AB,D,的距离为 4.A 由已知得AB=(1,1,1),CD=(-2,2,1),AC=(1, 0,0).设向量n=(x,y,z)与向量AB,CD都垂直，则 n·AB=0, (22!即 取x=1,则n=(1,n·Cb=0, 3,—4).又平面α//平面β,则平面α与平面β间的距离 pu-it D#- √26.故26 选 A. 5.解析如图，以 A 为坐标 +z P 原点，AB,AD,AP所在直 线分别为x轴、y轴、z轴， A. D建立空间直角坐标系，则 y B(3,0,0),D(0,4,0),P(0, 0,2),Q(0,0,1),所以QB=xB C (3,0,-1),BD=(-3,4,0),QP=(0,0,1).设平面 BQD的法向量为n=(x,y,z),由 得 67 令x=4,则y=3,z=12,所以取n=(4, a=03,12).所以点 P到平面 BQD 的距离 12 13· 1答案 6.解析 如图，以D为坐标原 ↑z D? C?点，DA,DC,DD,所在的直 B?A?线分别为x轴、y轴、z轴建 G立如图所示的空间直角坐标 系，则 D(0,0,2),F(1,1,0), D C yG(0,2,1),于是有GF= F B(1,-1,-1),GB=(0,-2,1), Ax |1-5.所以 所以点 √5-÷=√D?到直线GF的距离为 华答案 7.解 (1)因 为 四 边 形 Ciz AEC?F为平行四边形，所 F 以AF=EC.设 DF=a.建 立如图所示的空间直角坐 /D. C E y 标系，则 B(2,4,0),A(2,0, A 0),E(2,4,1),C(0,4,3),·X. B F(0,0,a).所以AF=(-2,0,a),EC=(-2,0,2),所以 (-2,0,a)=(-2,0,2),所以a=2,所以F(0,0,2).所以 BF=(-2,-4,2).所以|BF|=2√6,即线段 BF的长为 2√6. (2)易知C(0,4,0),又C(0,4,3),A(2,0,0),E(2,4, 1),所以CC=(0,0,3),AE=(0,4,1). 设平面AECF的法向量为n=(x,y,z), 则 令x=1,则y=-÷*=1, 所以n=(1,-是·1). a所以点C到平面AEC,F的距离， =4√33 11—· 能力练迁移运用 8.B设平面 ABC的法向量为n=(x,y,z),则 .加 {2-0所以 令x=2,则x= -√3,y=3,所以n=(-√3,3,2)是平面ABC的一个法 |AA?·n| 向量.所以点A?到平面ABC的距离d=! |n| 音，放该三被往的高为是。.故选 B. C?9.B 设 O,O,分别是 AC,A,C?的 中点，连接OO?,OB. z4 0? 根据正三棱柱的几何性质可知 B?Ai OB,OC,0O两两相互垂直，建立 y 如图所示的空间直角坐标系，则 B(√3,0,0),C(0,1,0),A?(0,-1, 0 2),C(0,1,2), A B 则CB=(√3,-1,0),CA?=(0,-2,2),CC=(0,0,2). 设平面A?BC的法向量为n=(x,y,z), 则< 令x=1,可得平面A?BC的 一个法向量n=(1,√3,√3). 由于B?C?//BC,B?C±平面 A?BC,BCC平面 A?BC, 所以B?C?//平面 A?BC.所以 B,C?到平面 A,BC的距“离即点C?到平面A,BC的距离，即为 2√2I .故选 B. 10.ABCD 建立如图所示的空间直 zD Ci 角坐标系，不妨设正方体的棱长 B/为3,则点A(3,0,0),B(3,3,0),A?f C(0,3,0),D(0,0,0), A?(3,0,3),B(3,3,3), |C.D}- 法户 y C(0,3,3),D?(0,0,3), 所以BD?=(-3,-3,3). Bx 设点 P(x,y,z), Bp-÷BD;=(-1,-1,1),因为 所以DP=DB+BP=(3,3,0)+(-1,-1,1)=(2,2,1). 所以 P(2,2,1), 所以 PA=PC=PB?=√12+22+1=√6, PD=PA?=PC=√2?+2?+1^=3, PB=√3,PD?=√22+22+(-2)2=2√3. 故点P到各顶点的距离的不同取值有√6,3,√3,2√3, 共4个. 2111.解析 如图，建立空间直角坐 D? C? 标系，则 D(0,0,2),A?(2,0,2), B? D(0,0,0),B(2,2,0),所以 Ai DA=(2.0,0),DA=(2,0,2), C DB=(2.2.0).设平面 A,BD 的一个法向量为n=(x,y,.z),则< D yA] B'x 令x=1,则n=(1,-1,-1),所以点 D?到平面 A,BD 68 a=Dm的距离 2√3答案 3 12.解析以点 D 为坐标原点，直线 2+ D? G DA,DC,DD?分别为x轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示. A? BF 心则E(1,1,号),F(0,1,号), EFD Cj c(0.0,子),D,(0.0,1),A,(1,0,1), B ∴EF=(-1.0,0),FC=(0,-1,-÷),DA=(1, 0,0), ∴D?A//EF. 又∵EFC平面 EFGH,D?A?亡平面 EFGH, ∴D?A?//平面 EFGH. ∴A,D?到平面EFGH的距离， 即为点 D,到平面 EFGH的距离. 设平面 EFGH的一个法向量为n=(x,y,z), 则 令z=6,则 y=-1,∴n=(0,-1,6). 又∵D,F=(0,1,-÷), ∴点 D?到平面 EFGH的距离 u-4. 4√37 ∴A?D?到平面 EFGH的距离为 37 4 √37答案 37 13.解(1)证明如图所示，由条件 知，BA,BC,BB,两两互相垂直，以 B为坐标原点，BA,BC,BB,所在 A? 直线分别为x轴、y轴、z轴建立空 间直角坐标系Bxyz. 42 B? F C G 可 D 则 B(0,0,0),D(0,2,2),B(0,0,4), 设BA=a,则A(a,0,0). B 方C ∴BA=(a,0,0),Bb=(0,2,2), A) B,D=(0,2,-2), ∴B,D·BA=0, B.D·BD=0+4-4=0. ∴B,D⊥BA,B,D⊥BD. 又∵BD∩BA=B,BD,BAC平面ABD, ∴B,D⊥平面ABD. (2)证明 由题意知 E(0,0,3),G(兰，1,4),F(0,1,4), ∴EC=(2,1,1),EF=(0,1,1), ∴B,D·EG=0+2-2=0,B,D·EF-0+2-2=0. ∴B?D⊥EG,B,D⊥EF.又EG∩EF=E,EG,EFC平 面 EFG,∴B,D⊥平面 EFG,结合(1)可知，平面 EGF//平面ABD. (3)由(1)(2)知，BF=(0,1,4),B,D=(0,2,-2)是平 面ABD的法向量， ∴点F到平面ABD的距离为 由(2)知，平面 EGF与平面ABD的距离等于点F到 平面ABD的距离， ∴两平面间的距离为 创新练素能培优 14.解 (1)证明 取 A?C?的 tz B? 中点 O,连接 B,O,OD,可 得 OA?,OD,OB?两两垂 C E 直.如图，以 O 为原点， c OA?,OD,OB,所在直线分 D y 别为x轴、y轴、z轴建立x,A? A 空间直角坐标系，则 A(1,2,0),B(0,2,√3),D(0,2, 0),A,(1,0,0),E(-1,1,0),A,b=(-1,2,0),A,B= (-1,2√3),BA=(1,0,-√3),BE=(-1,-1,-√3). 设n?=(x?,y?,≥?),n?=(x?,y?,≈g)分别为平面A?BD 和平面BAE的法向量. Ab·n.=0; 二+2?得由 A?B·n?=0, 取y?=1,则x?=2,z?=0,所以n?=(2,1,0)是平面 A?BD的一个法向量. ·n.=0,得-由 ,n.=0 取xz=1,则x?=√3,y?=-2√3,所以n?=(√3,-2√3,1) 是平面 BAE的一个法向量. 因为n?·n?=0,所以平面 BAE⊥平面A,BD. (2)假设在线段 B,B(含端点)上存在点M,使点 M到 25平面 A.BD的距离为 设M(0,a,√3)(O≤a≤2),则BM=(0,a-2,0), 由25_lbM,nl-la 解得a=4(舍去)或a=0. 故在线段 B?B(含端点)上存在点M,且点 M与点B 2√5.重合时，点M到平面A,BD的距离为 训练十用空间向量研究夹角问题 基础练巩固应用 1.A设1与a 所成的角为0,则 sin 0=|cos(m.n)1=号. ∴0=30°. 69 B