训练8 空间中直线、平面的垂直-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教A版2019）

训练八空间中直线、平面的垂直 基础练 巩固应用 1.两平面α,β的法向量分别为u=(3,-1, x),y=(-2,一y,1),若α⊥β,则y+x的 值是 () A.-3 B. 6 C.-6 D.-12 2.(浙江温州多校高二期中)已知向量a=(4, 4,5),b=(-7,x,y)分别是直线l?,l?的方 向向量，若l?⊥l?,则下列几组解中可能正 确的是 () A.x=1,y=3 B.x=4,y=3 C.x=2,y=4 D.x=0,y=2 7.(河北部分学校高二期中联考)如图所示， 在直三棱柱 ABC-A?B?C中，CC=CB= CA=2,AC⊥BC,D,E分别为棱C?C, B?C?的中点.证明：平 面 ACE ⊥平 面 A?BD. EC? B? DL A c B A 3.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,x),若 AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3),且BP⊥平 面ABC,则实数x,y,z分别为() A.弩，一写，4 B.,一，4 c.,-2,4 D.4,号，-15 4.(多选)已知点 P是平行四边形 ABCD 所 在的平面外一点，AB=(2,-1,-4),AD =(4,2,0),AP=(-1,2,-1),则下列结 论中正确的有 () A.AP⊥AB B.AP⊥AD C.AP是平面ABCD 的一个法向量 D.AP//BD 5.已知a=(0,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1) 分别是平面α,β,γ的一个法向量，则α,β,γ 三个平面中互相垂直的有 对. A,6.如图所示，在正方体 ABCD- A?B?C?D?中，O是底面正B? 方形 ABCD 的中心，M是 棱 D?D上一点，N是A?B?-的中点，则当 时，ON⊥AM. D? N C? M A D 0. B C 能力练 迁移运用 8.如图所示，在正方体 ABCD-A?B?C D 中，E,F 分别在 A?D, D B? AC上，且A?E=3A?D, A? EjiD_ AF=÷AC,则 () FA' B A.EF至多与A?D,AC之一垂直 C? c B.EF⊥A?D,EFLAC C.EF与BD?相交 D.EF与BD?异面 15 ?高中数学·选择性必修 第一册 9.(多选)(上海安亭高级中学高二上期中)在 正方体 ABCD-A?B?C?D?中，Q为AA?上 一动点，则 () A.存在点Q使得BQ与平面B?CD垂直 B.不存在点 Q使得BQ与平面B?CD垂直 C.存在点Q使得D?Q与平面B?CD垂直 D.不存在点 Q使得 D?Q与平面B?CD 垂直 10.如图所示，以等腰直角三角形斜边 BC上 的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折 成互相垂直的两个平面后，某学生得出如 下四个结论：①AB·AC≠0;②AB⊥DC; ③BD⊥AC;④平面ADC的法向量和平 面ABC 的法向量互相垂直.错误的结 论是 () A A (1)求证：AE⊥平面 BCE; (2)求证：平面BDF⊥平面ABCD. +z D ,C D ,C F F A E 图1 B A x, 20. 管 图2 By D B C B CD A.① B. ② C.③ D.④ 11.给出下列命题： ①直线l的方向向量为a=(1,—1,2),直 线m的方向向量为b=(2,1,-立)·,则 l 与m 垂直； ②直线l的方向向量为a=(0,1,-1),平 面α的法向量为n=(1,-1,-1),则 l⊥α; ③平面α,β的法向量分别为n?=(0,1, 3),n?=(1,0,2),则a//β; ④平面α经过三点A(1,0,-1),B(0,1, 0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面 α的法向量，则u+t=1. 其中真命题是 .(把你认为是正 确命题的序号都填上) 12.已知长方体 ABCD-A?B?C?D?内接于球 O,底面ABCD是正方形，E为AA?的中 A-点，OA⊥平面 BDE,则 13.如图1所示，在直二面角D-AB-E 中，四 边形 ABCD是边长为2的正方形，AE= EB,F为CE上的点，且 BF⊥平面 ACE. 创新练 素能培优 14.如图，正方形 ADEF所在平面和等腰梯 形 ABCD 所在的平面互相垂直，已知 BC=4,AB=AD=2. (1)求证：AC⊥BF; F ,E (2)在线段 BE上是否存在 一点 P,使得平面 PAC⊥ 平面 BCEF?若存在，求 出器 D B 的值；若不存在，请 说明理由. 16 C (p4-B-13.证明(1)如图，以 A 为原 +2 AB=0,BP·BC=0,则 解得< P 点，AB,AD,AP所在直线为 x轴、y轴、轴建立空间直 角坐标系， M A火设 B(b,0,0),D(0,d,0), bj N Q则P(0,0,d),C(b,d,0). B∠ C因为 M,N,Q分别是 PC, 4.ABC 因为AB·AP=0,AD·AP=0,所以AB⊥AP, AD⊥AP,所以 A,B正确；又因为AB与AD不平行，所 以A卢是平面ABCD的一个法向量，所以C正确；因为 BD=AD-AB=(2,3,4),AP=(-1,2,-1),所以Bb 与A户不平行，所以 D错误 AB,CD的中点， 所以M(告，告，告),N(签.0.0)·Q(音·d,o), 所以MN=(0,一兰，一兰). 5.解析因为a·b=(0,1,1)·(1,1,0)=1≠0,a·c=因为平面 PAD的一个法向量为m=(1,0,0), (0,1,1)·(1,0,1)=1≠0,b·c=(1,1,0)·(1,0,1)= 且MN·m=0,即MN⊥m. 1≠0,所以a,b,c中任意两个都不垂直，即a,β,γ中任意 两个都不垂直. 又 MN不在平面PAD内，故 MN//平面 PAD. (2)QN=(0,-d,0),QN⊥m, 答案 0 又QN不在平面PAD内，所以QN//平面 PAD. 又因为 MN∩QN=N, 所以平面 MNQ//平面 PAD. 6.解析 以A为原点，分别以AB,AD,AA,所在直线为x 轴、y轴、轴，建立空间直角坐标系(图略),设正方体的 棱长为1,则A(0,0,0),0(云，云0),N(云，0,1).创新练素能培优 14.解 令菱形ABCD的边长为2,由题意可知折起后AE 设 M(0,1,a)(O≤a≤1), ⊥GE,AE⊥BE,GE⊥BE.以E为原点，EA,EB,EG 则AM·ON=(0,1,a)·(0,-号，1)=-÷+a=0, :a=号∴当D,一÷时，ON与AM垂直. 所在直线分别为x轴、y轴、 H2+ z轴，建立如图所示的空间 G 直角坐标系，则 A(1,0,0), E B(0,√3,0),E(0,0,0), 12答案 下G(0,0,1),H(0,√3,2),所 & A B y 7.证明 如图，以C为坐标原点，CA, 24 EC B?以AE=(-1,0,0),AB=(-1,√3,0),AG=(-1,0, CB,CC?所在直线分别为x,y, z轴，建立空间直角坐标系，则1),AH=(-1,√3,2).设平面AGH的法向量为n= (x,y,z), :帝_? (二原2则 即 取x=1, A?D C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0), A?(2,0,2),E(0,1,2),D(0,0,1), B c<所以CA=(2,0,0),AE=(-2,1, y 2),DA?=(2,0,1),DB=(0,2, A \x则y=-昼，s=1,所以n=(1.一唇，1)是平面 AGH 的一个法向量. -1).设平面 A?BD的法向量为m :=(x,y,z),则 令x=-1, 可得平面A?BD的一个法向量m=(-1,1,2).设平面 ACE的法向量为n=(a,b,c),则 即 由题知AF=λAB=(-λ,√3λ,0),所以EF=AF-AE =(-λ,√3a,0)-(-1,0,0)=(1-λ,√3λ,0). 因为 EF//平面AGH,所以n·EF=0, 所以1-A一唇×/③x=0,所以A=号. (-2+2-0:令b=2,可得平面 ACE的一个法向 训练八空间中直线、平面的垂直 量n=(0,2,-1).因为m·n=-1×0+1×2+2× 基础练巩固应用 (-1)=0,所以m⊥n,所以平面ACE⊥平面 A,BD. 1.B α⊥β→u·v=0→-6+y+z=0,即y+z=6. 能力练迁移运用 2.C 由题意a·b=-28+4x+5y=0,即4x+5y=28, 代入各选项中的值计算，只有C满足2×4+4×5=28. 故选 C. 8.B以 D点为坐标原点，以 2D? C DA,DC,DD?所在直线分别为 x轴、y轴、2轴建立空间直角 坐标系，设正方体的棱长为1, BA 3.B∵AB⊥BC,∴AB·BC=0,即3+5-2z=0,得x= E D. C 则 A?(1,0,1),D(0,0,0), F y4.又BP⊥平面ABC,∴BP⊥AB,BP⊥BC,∴BP. B“x 65 A(1,0,0),C(0,1,0), E(号，0,号),F(鲁号0), B(1,1,0),D?(0,0,1), A,D=(-1,0,-1),AC=(-1,1,0), EF=(号，号，-÷),BD=(-1,-1,1), 则EF=-÷BD,A,b·EF=AC·EF=0, 从而 EF//BD?,EF⊥A,D,EF⊥AC. 9.BC如图，以 D为原点，以 Z D? Ci DA,DC,DD?所在直线分别为 Ai B? x,y,z轴建立空间直角坐标 系，设正方体的棱长为 1,则 Q D(0,0,0),B(1,1,0),B?(1,1, D C yAl 1),C(0,1,0),D?(0,0,1),所以 B*x DC=(0,1,0),DB=(1,1,1).设平面B,CD的法向量 为m=(x,y,z),则 令x=1, 则m=(1,0,-1)是平面B?CD的一个法向量.设Q(1, 0,t)(O≤t≤1). A × B √ BQ=(0,-1,t),若BQ与平面 B,CD垂 直，则BQ与m共线，则存在唯一的λ,使BQ =λm,则(0,-1,t)=λ(1,0,—1),等式不 可能成立，所以BQ与m 不共线，所以不存 在点Q使得BQ与平面B?CD垂直 C √ D × D,δ=(1,0,t-1),若D,Q与平面B,CD垂 直，则D,Q与m共线，则存在唯一的μ,使 D,à=pm,则(1,0,t-1)=μ(1,0,-1),得 μ=1,t=0,所以当Q的坐标为(1,0,0)时， D,&与m共线，此时 D?Q与平面 B,CD 垂直 10.D 建立以D为坐标原点，以 DB,DC,DA所在直线 为x轴、y轴、≥轴的空间直角坐标系，设等腰直角三角 形 ABC斜边BC=2,则B(1,0,0),C(0,1,0),A(0,0, 1),则AB=(1,0,-1),AC=(0,1,-1),DC=(0,1, 0),BD=(-1,0,0),从而有AB·AC=0+0+1=1, 故①正确，AB·DC=0,故②正确，BD·AC=0,故③ 正确，易知平面ADC的一个法向量为向量BD=(-1, 0,0),平面ABC的法向量设为n=(x,y,z),由AB·n =z-z=0,AC·n=y-g=0,令y=1,则x=1,z=1, 故n=(1,1,1),Bb·n=-1,故④错误. 11.解析 对于①,因为a=(1,-1,2),b=(2,1,-号), 所以a·b=1×2-1×1+2×(一号)=0,所以a⊥b, 所以直线l与m垂直，①正确；对于②,a=(0,1,-1), n=(1,-1,-1),所以a·n=0×1+1×(-1)+ (-1)×(-1)=0,所以a⊥n,所以l//α或lCα,②错 误；对于③,因为n?=(0,1,3),n?=(1,0,2),所以n 与n?不共线，所以α//β不成立，③错误；对于④,因为 点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),所以AB= (-1,1,1),BC=(-1,1,0),向量n=(1,u,1)是平面a: g.即的法向量，所以 则 u+ t=1,④正确.综上，真命题的序号是①④. 答案 ①④ 12.解析以 D为原点，建立如图所示的空间直角坐 标系， 2 D? Ci A?f E D A) x 0 B? C y B 设AB=a,AA,=c,则A(a,0,0),E(a,0,),D(0,0,0), B(a,a,0),D,(0,0,c),0(2,,), DE-(a.0,号),DB=(aa.0,0x=(告，一兰，一台), 因为 OA⊥平面 BDE,所以 解得c=/Za,所以AA=E=√2. 答案√2 13.证明因为四边形 ABCD为正方形，所以 BC⊥AB. 因为二面角 D-AB-E 为直二面角，所以 BC⊥平面 AEB.以线段AB的中点O为坐标原点，OE所在直线 为x轴，AB所在直线为y轴，过O点且平行于AD的 直线为之轴，建立如图2所示的空间直角坐标系，则 A(0,-1,0),B(0,1,0),C(0,1,2),D(0,-1,2).设 E(x?,0,0)(x?>0),则EC=(-x?,1,2).因为F为CE 上的点，所以设EF=AEC=(-λxn,λ,2A),所以F((1 -λ)x?,λ,2λ), 所以BF=((1-λ)x.,λ-1,2x),AC=(0,2,2),AE= (x?,1,0). 因为BF⊥平面ACE,所以BF·AC=2(a-1)+4λ= 0,且E·AE=(1-A)x+A-1=0,解得z?=1或-1 (含去),x=号，所以 E(1,0.0),F(音，寺晋). (1)因为AE=(1,1,0),BE=(1,-1,0),BC=(0,0,2), 66 所以AE·BE=0,AE·BC=0, 所以 AE⊥BE,AE⊥BC. 又因为 BC∩BE=B,BC,BEC平面 BCE, 所以 AE⊥平面 BCE. (2)由题意可知，平面ABCD的法向量为OE=(1,0,0). 易知BF=(子，一号，学),BD=(0,-2,2), 设平面BDF的法向量为m=(x,y,z), 则 取x=1, 则 x=0,y=1,所以m=(0,1,1). 因为m·O它=0,所以平面 BDF⊥平面ABCD. 创新练素能培优 14.解 (1)证明∵平面ADEF⊥平面ABCD, 平面 ADEF∩平面ABCD=AD,AF⊥AD, AFC平面ADEF,∴AF⊥平面 ABCD. ∵ACC平面ABCD,∴AF⊥AC.过A作AH⊥BC于 H(图略),则BH=1,AH=√3,CH=3, ∴AC=2√3,∴AB2+AC2=BC2,∴AC⊥AB. ∵AB∩AF=A,AB,AFC平面FAB, ∴AC⊥平面 FAB.∵BFC平面 FAB,∴AC⊥BF. (2)存在.理由：由(1)知，AF, 2 E AB,AC两两垂直。以A为坐标 原点，AB,AC,AF的方向分别 代 D 为x轴、y轴、z轴正方向，建立 如图所示的空间直角坐标系 B Axyz, ☆ y* 则 A(0,0,0),B(2,0,0), C(0,2√3,0),E(-1,√3,2). 假设在线段 BE上存在一点 P满足题意，则易知点P不与 点B,E重合，设器=x.则o<x<1,p() 设平面 PAC的法向量为m=(x,y,z). 由Ap=(2二.),AC=(0,2√5,0),得 是一 =1=即 所以m=(1.0,^云2)为平面PAC的一个法向量. 同理，可求得n=(1.叠1)为平面 BCEF的一个法向量. 当m·n=0,即A=号：时，平面 PAC⊥平面 BCEF,故 照一号.存在满足题意的点 P,此时 训练九用空间向量研究距离问题 基础练巩固应用 1.A FA=(-2.0,-1),IFA|=√5、|PA,一 a=√irxr-|t;|-点P到直线l的距离 √5-2-F. 则 2.B 以O为坐标原点，建立如图所示 的空间直角坐标系Oxyz.由题意可知 Z C A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2), ∴AB=(-1,2,0),BC=(0,-2,2),取 0 yB a-Xb-(-1.2.0),W-- (0.一竖誓): .则点A到直线 BC的距离为√a2—(a·u)2 =√5-2=√3. 3.C如图，建立空间直角坐标系 2D C Dxyz,则 A(2,0,0),A?(2,0,4), A( B B(2,2,4),D,(0,0,4),∴D,B=(2, 2,0),D,A=(2,0,-4),AA?=(0,0, CD 子AE 4).设n=(x,y,z)是平面AB,D?的法 B 向量，则n⊥D,B,,n|D.A. 12.+2=0:即{ 令x=1,则平面AB,D?的一个法向量为n=(2,—2,1). a-nm故点 A,到平面 AB,D,的距离为 4.A 由已知得AB=(1,1,1),CD=(-2,2,1),AC=(1, 0,0).设向量n=(x,y,z)与向量AB,CD都垂直，则 n·AB=0, (22!即 取x=1,则n=(1,n·Cb=0, 3,—4).又平面α//平面β,则平面α与平面β间的距离 pu-it D#- √26.故26 选 A. 5.解析如图，以 A 为坐标 +z P 原点，AB,AD,AP所在直 线分别为x轴、y轴、z轴， A. D建立空间直角坐标系，则 y B(3,0,0),D(0,4,0),P(0, 0,2),Q(0,0,1),所以QB=xB C (3,0,-1),BD=(-3,4,0),QP=(0,0,1).设平面 BQD的法向量为n=(x,y,z),由 得 67