训练7 空间中直线、平面的平行-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教A版2019）

AI伴学助手 训练七空间中直线、平面的平行 =E 在线答疑 ? 配套答案 称最 基础练/现固应周 7.(佛山一中月考)如图所示，在四面体 ABCD A中，AD⊥平面 BCD,BC⊥ 1.已知两平行直线的方向向量分别为a= (4-2m,m-1,m-1),b=(4,2-2m,2- 2m),则实数m的值为 () A.1 B. 3 CD,AD=2,BD=2√2, M M是AD的中点，P是BM P 0 的中点，点 Q在线段 AC B' D C 上，且 AQ=3QC.求证：PQ //平面 BCD. C.1或 3 D.以上答案都不正确 2.(海南海口高二期中)在空间直角坐标系 中，a=(1,2,1)为直线l的一个方向向量， n=(2,t,4)为平面α的一个法向量，且 l//α,则t= () A.3 B.-3 C.1 D.-1 3.(北京通州区高二期中)已知n?,n?分别是平 面α,β的法向量，其中n?=(1,y,-2), 能力练 进移运用 n?=(x,-2,1).若a//β,则x+y=() A.一号 B.一 D.2C.3 4.已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0), C(1,0,0),平面β的一个法向量为n=(-1, 一1,-1),且β与α不重合，则 () A.α//β B.a⊥β C.α与β相交但不垂直 D.以上都不对 5.已知直线l的方向向量v=(2,-1,3),且 过A(0,y,3)和B(一1,2,z)两点，则y= ,≈=_ 6.(襄阳五中期中)已知直线l的方向向量为 (1.2,2),(2,m,1),平面α的法向量为 ,且 l//α,则m= 8.已知向量AB=(1,5,-2),BC=(3,1,2), DE=(x,-3,6).若 DE//平面ABC,则x 的值是 () A.5 B. 3 C.2 D.-1 9.如图，正方体 ABCD-A?B?GD 的棱长为a,M,N 分别为 BK A?B和AC上的点，A,M= AN=晋a.则MN与平面 BB?C?C?的位置关系是 C ,D N A C M D? B A? () A.相交但不平行 B.平行 C.相交且垂直 D.不能确定 10.如图，正方形 ABCD与矩 zE 形 ACEF 所在平面互相 M G 垂直，以 CD,CB,CE 所 7B y 在直线分别为x轴、y轴、 D A x z轴建立空间直角坐标 13 ?高中数学·选择性必修 第一册 系，若AB=√2,AF=1,M在EF 上，且 AM//平面 BDE,则M点的坐标为() 1语.吾小B.A.(1,1,1) 竖.誓. D.[空..C. 11.设直线l的方向向量为a,平面α的法向 量为n=(2,2,4),若a=(1,1,2),则直线 l与平面α的位置关系为 ;若a= (-1,-1,1),则直线l与平面α的位置关 系为 D?12.如图所示，在正方体 ABCD- C? A?B?C?D?中，O是底面 A? BPi ABCD的中心，P是DD? D c 的中点，则 OP与BD?的 o BA 位置关系是 13.如图所示，ABCD为矩形，PA⊥平面AB- CD,PA=AD,M,N,Q分别是 PC,AB, CD的中点.求证： (1)MN//平面PAD; (2)平面QMN//平面PAD. P A N∠ B2 M D Q C 创新练 素能增优 14.如图，已知四边形 ABCD为菱形，且∠A =60°,E为AD 的中点.现将四边形 EB- CD沿BE折起至四边形 EBHG的位置， 且∠AEG=90°.若点F满足AF=λAB, 当 EF//平面AGH时，求实数λ的值. D H E G A< C NE B A F B 14 训练七空间中直线、平面的平行 基础练巩固应用 1.C 由题意知a//b.因为b=(4,2-2m,2-2m)≠0,所 以“a//b的充要条件是a=λb”,即 (m-1=x(2-2m), 显然m=1符合题意，当m≠1时，由m-1=λ(2-2m), 得A=一言，代入4-2m=42,得m=3.综上，m的值为 1或 3. 2.B 因为l//α,所以a·n=2+2t+4=0,解得t=-3.故 选 B. 3.D ∵a//β,且n?,n?分别是平面α,β的法向量，∴n?// ÷=-2,故x=-2,y=4,则x+y=n?,则有 子故选 D. 4.A ∵AB=(0,1,-1),AC=(1,0,-1),n·Ab= (-1)×0+(-1)×1+(-1)×(-1)=0,n·AC=(-1) ×1+(-1)×0+(-1)×(-1)=0,∴n⊥AB,n⊥AC. 又AB∩AC=A,AB,ACC平面α,∴n是平面α的一个 法向量.又∵平面α与平面β不重合，∴a//β. 5.解析 因为v//AB,且AB=(-1,2-y,z-3), 22-2二一3,解得y=言，一所以- 音立答案 6.解析因为l//α,所以l的方向向量与a的法向量垂 直.所以(2,m,1)·(1.号，2)=2+号m+2=0,解得m =—8, 答案 -8 7.证明 如图，取 BD的中点O,以O为坐标原点，OD, OP所在射线分别为y轴、轴的正半轴，建立空间直角 坐标系 Oxyz.由题意知，A(0, Az+ √2,2),B(0,-√2,0),D(0,√2, 0).设点C的坐标为(x?,y?,O), M 则AC=(xs,y?-√Z,-2). P; 因为AQ=3C, B? ;o D y 所以A0-=AC=(二x,》 xf C -3F.-2), a(x.+号).所以 因为M为AD的中点，所以M(0,v2,1). 又因为 P为BM的中点，所以P(0,0,一), 所以F0-(2x.,+二xo). 又因为平面 BCD的一个法向量为a=(0,0,1), 所以PO·a=0, 又因为 PQ±平面 BCD,所以 PQ//平面 BCD. 能力练迁移运用 8.A 设平面ABC的法向量为n=(a,b,c),则 |1++2=0;即 取 n=(6,-4,-7). 因为 DE//平面ABC,所以n·DE=6x+(-3)×(-4) +6×(-7)=0,解得x=5. a.A,M=AN=E,9.B ∵正方体棱长为a ∴MB-=A,B.CN-÷CA, MN=MB+BC+CN=2A,B+BC+÷C =3(B,B-BA?)+EC+3(BA?-B,C) =2B,B+÷B,C. 又∵CD是平面 B,BCC,的法向量， BMN·Cb-(÷B.B+÷B,C)·Cb=0, ∴MN⊥Cb,∴MN//平面BB,C;C.故选 B. 10.C 由已知得A(√2,√2,0),B(0,√2,0),D(√2,0,0), E(0,0,1).设M(x,x,1),则AM=(x-√2,x-√2,1), BD=(V2,-√2,0),BE=(0,-√2,1).设平面BDE的 法向量为n=(a,b,c),则 (.-解得 取b=1,则n=(1,1,√2). 又AM//平面 BDE,所以n·AM=0, 即2(x-√②)+√E=0,得x=竖， (竖.誓，1).所以 Ml .故选 C. ,a=÷m,则t⊥a:当a=(-1,11.解析 当a=(1,1,2)时 -1,1)时，a·n=(-1,-1,1)·(2,2,4)=0,则l//a 或lCa. 答案 l⊥a l//α或lCa 12.解析 如图所示，分别以 DA,DC,DD?所在直线为x 轴、y轴、之轴，建立空间直角坐标系 Dxyz, 设正方体的棱长为1, 12D C; 则0(去，去，0),C(o,1,0), A?f B?P C;(0.,1,1),P(0.0,去), D C j0 A(1,0,0),B(1,1,0),D(0,0,1). x,A B 则oP=(一号，一去，去), BD,=(-1,-1,1) ∴0b=÷BD,OP/BD∴OP//BD. 答案 平行 64 (p4-B-13.证明(1)如图，以 A 为原 +2 AB=0,BP·BC=0,则 解得< P 点，AB,AD,AP所在直线为 x轴、y轴、轴建立空间直 角坐标系， M A火设 B(b,0,0),D(0,d,0), bj N Q则P(0,0,d),C(b,d,0). B∠ C因为 M,N,Q分别是 PC, 4.ABC 因为AB·AP=0,AD·AP=0,所以AB⊥AP, AD⊥AP,所以 A,B正确；又因为AB与AD不平行，所 以A卢是平面ABCD的一个法向量，所以C正确；因为 BD=AD-AB=(2,3,4),AP=(-1,2,-1),所以Bb 与A户不平行，所以 D错误 AB,CD的中点， 所以M(告，告，告),N(签.0.0)·Q(音·d,o), 所以MN=(0,一兰，一兰). 5.解析因为a·b=(0,1,1)·(1,1,0)=1≠0,a·c=因为平面 PAD的一个法向量为m=(1,0,0), (0,1,1)·(1,0,1)=1≠0,b·c=(1,1,0)·(1,0,1)= 且MN·m=0,即MN⊥m. 1≠0,所以a,b,c中任意两个都不垂直，即a,β,γ中任意 两个都不垂直. 又 MN不在平面PAD内，故 MN//平面 PAD. (2)QN=(0,-d,0),QN⊥m, 答案 0 又QN不在平面PAD内，所以QN//平面 PAD. 又因为 MN∩QN=N, 所以平面 MNQ//平面 PAD. 6.解析 以A为原点，分别以AB,AD,AA,所在直线为x 轴、y轴、轴，建立空间直角坐标系(图略),设正方体的 棱长为1,则A(0,0,0),0(云，云0),N(云，0,1).创新练素能培优 14.解 令菱形ABCD的边长为2,由题意可知折起后AE 设 M(0,1,a)(O≤a≤1), ⊥GE,AE⊥BE,GE⊥BE.以E为原点，EA,EB,EG 则AM·ON=(0,1,a)·(0,-号，1)=-÷+a=0, :a=号∴当D,一÷时，ON与AM垂直. 所在直线分别为x轴、y轴、 H2+ z轴，建立如图所示的空间 G 直角坐标系，则 A(1,0,0), E B(0,√3,0),E(0,0,0), 12答案 下G(0,0,1),H(0,√3,2),所 & A B y 7.证明 如图，以C为坐标原点，CA, 24 EC B?以AE=(-1,0,0),AB=(-1,√3,0),AG=(-1,0, CB,CC?所在直线分别为x,y, z轴，建立空间直角坐标系，则1),AH=(-1,√3,2).设平面AGH的法向量为n= (x,y,z), :帝_? (二原2则 即 取x=1, A?D C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0), A?(2,0,2),E(0,1,2),D(0,0,1), B c<所以CA=(2,0,0),AE=(-2,1, y 2),DA?=(2,0,1),DB=(0,2, A \x则y=-昼，s=1,所以n=(1.一唇，1)是平面 AGH 的一个法向量. -1).设平面 A?BD的法向量为m :=(x,y,z),则 令x=-1, 可得平面A?BD的一个法向量m=(-1,1,2).设平面 ACE的法向量为n=(a,b,c),则 即 由题知AF=λAB=(-λ,√3λ,0),所以EF=AF-AE =(-λ,√3a,0)-(-1,0,0)=(1-λ,√3λ,0). 因为 EF//平面AGH,所以n·EF=0, 所以1-A一唇×/③x=0,所以A=号. (-2+2-0:令b=2,可得平面 ACE的一个法向 训练八空间中直线、平面的垂直 量n=(0,2,-1).因为m·n=-1×0+1×2+2× 基础练巩固应用 (-1)=0,所以m⊥n,所以平面ACE⊥平面 A,BD. 1.B α⊥β→u·v=0→-6+y+z=0,即y+z=6. 能力练迁移运用 2.C 由题意a·b=-28+4x+5y=0,即4x+5y=28, 代入各选项中的值计算，只有C满足2×4+4×5=28. 故选 C. 8.B以 D点为坐标原点，以 2D? C DA,DC,DD?所在直线分别为 x轴、y轴、2轴建立空间直角 坐标系，设正方体的棱长为1, BA 3.B∵AB⊥BC,∴AB·BC=0,即3+5-2z=0,得x= E D. C 则 A?(1,0,1),D(0,0,0), F y4.又BP⊥平面ABC,∴BP⊥AB,BP⊥BC,∴BP. B“x 65