训练6 空间中点、直线和平面的向量表示-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教A版2019）

训练六空间中点、直线和平面的向量表示 基础练 巩固应用 1.若A(0,2,1),B(3,2,-1)在直线l上，则 直线l的一个方向向量为 () A.(一3,0,-6) B.(9,0,-6) C.(-2,0,2) D.(-2,1,3) 2.(多选)(湖北十堰六校高二期中)如图，在 正方体 ABCD-A?B?C?D?中，E为棱CC? 上不与C,C重合的任意一点，则能作为直 线 AA?的方向向量的是 () D? C Ayr B? 7.(宜昌一中月考)如图，在正方体 ABCD- A?B?CD中，P是 DD?的中点，O为底面 ABCD的中心.求证：OB?是平面 PAC的 一个法向量. D Ci BAy P A ·D 0 B c E cD A B C.ABA.AA? B.C D.A?AE 3.已知平面内的两个向量a=(2,3,1),b= (5,6,4),则该平面的一个法向量为() A.(1,—1,1) B.(2,—1,1) C.(-2,1,1) D.(-1,1,-1) 4.已知平面α内有一个点A(2,—1,2),α的 一个法向量为n=(3,1,2),则下列各点中， 在平面α内的是 () 能力练 近移运用 8.已知A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1),则 平面ABC的一个单位法向量是() B.海得A.(1,1,1) c.(言高导) 得得，-图D. 9.(多选)已知点 P是平行四边形ABCD 所 在的平面外一点，如果AB=(2,-1,-4), B.Q(1.3.是)A.P(1,-1,1) c.M(1,-3.号) D.N(-1,3,-2) 5.棱长为1的正方体 ABCD- A?B?C?D?在空间直角坐标系 中的位置如图所示，则直线 DB? 的一个方向向量为 I C? A? B y /C B fx 6.已知向量b=(—2,1,1),点A(-3,-1, 4),B(-2,-2,2),若在直线 AB上存在一 点E,使得OE⊥b(O为原点),则点E的坐 标为_ AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1),则下列 结论正确的是 () A.AP|AE B.AP⊥AD C.AP是平面ABCD的一个法向量 D.AP//BE 10.(多选)已知平面α内两向量a=(1,1,1), b=(0,2,-1),且c=ma+nb+(4,-4,1), 若c为平面α的一个法向量，则() A.m=-1 B.m=1 C.n=2 D.n=-2 11 ?高中数学·选择性必修 第一册 11.已知空间直角坐标系Oxyz中的点A(1, 1,1),平面α过点A并且与直线 OA 垂 直，动点 P(x,y,z)是平面α内的任一点， 则直线 OA的一个方向向量为 点P的坐标满足的条件为 · 12.(济宁高二月考)如图，四棱柱ABCD- A?B?C?D?的底面ABCD是正方形，O为 底面中心，A?O⊥平面ABCD,AB=AA? =√2.则平面 OCB?的一个法向量n= z A? D 加， C; A D ? B 王 C 子 13.求证：点 P在直线AB上的充要条件是对 空间任意一个确定的点O,存在实数t使 得OP=(1-)OA+tOB. 创新练 素能培优 14.(河北石家庄十七中月考)设全体空间向 量组成的集合为V,a=(a?,ag,ag)为V 中的一个单位向量，现建立一个“自变量” 是向量，“因变量”也是向量的“向量函数” f(x):f(x)=-x+2(x·a)a,x∈V. (1)设u=(1,0.0),w=|-去，0,一图 ,若 f(u)=v,求向量a; (2)对于V中的任意单位向量x,求|f(x) 一x|的最大值和此时x和a的夹角. 12 训练六空间中点、直线和平面的向量表示 基础练巩固应用 1.B AB=(3.0,-2)=5(9,0,-6),故选B. 2.ABD 因为C,E//AA?//A,A,所以AA?,C,E,A,A都能 作为直线AA?的方向向量.故选ABD. 3.C 显然a与b不平行，设平面的法向量为n=(x,y,z), 6:-则有 令x=1,得x= -2,y=1,∴n=(-2,1,1). 4.B 对于B,Aà=(-1,4,一去),则n·Aδ=(3,1,2)· (-1,4,一去)=0,∴n⊥A0.则点Q(1,3,毫)在平面 α内. 5.解析由题意知 D(0,0,0),B,(1,1,1),所以DB,=(1 1,1),即直线 DB,的一个方向向量是(1,1,1). 答案 (1,1,1)(答案不唯一) 6.解析 OE=OA+AE=OA+1AB=(-3,-1,4)+ t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),因为OE⊥b,则 OE·b=0,所以-2(-3+1)+(-1-1)+(4-21)=0, 解得1=号，,因此存在点 E,使得OE⊥b,此时点E的坐 (-言，-号，号).标为 (一5,-号，号)答案 7.证明 如图，以D为坐标原点， ↑zDJ C? 分别以 DA,DC,DD,所在直线 BAi 为x轴、y轴、z轴建立空间直 P# 角坐标系.不妨设正方体的棱长 c 为2,则 A(2,0,0),P(0,0,1), D y-?C(0,2,0),B?(2,2,2),0(1,1,A B 0),于是OB,=(1.1.2),AC= (-2,2,0),AP=(-2,0,1),所以OB·AC=-2+2+ 0=0,OB·AP=-2+0+2=0,所以OB⊥AC,OB⊥ AF,所以OB,⊥AC,OB⊥AP.因为AC∩AP=A,AC C平面 PAC,APC平面 PAC,所以 OB,⊥平面 PAC. 所以OB,是平面 PAC的一个法向量. 能力练迁移运用 8.B 设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),又AB=(0, :-1,1),BC=(-1,1,0),则{ ∴x=y=z.又单位向量的模为1,故只有B正确。 9.ABC∵AB·AP=0,AD·AP=0,∴AB⊥AP, AD⊥AP,则A,B正确；又AB与AD不平行，∴AP是平 面ABCD的一个法向量，则C正确；由于BD=AD-AB =(2,3,4),AP=(-1,2,-1),∴BD与AP不平行，故 D 错误. 10.AC c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n, -n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1),由c (00为平面α的一个法向量，得 (2c42-0-(-+- {-2得 解得· 11.解析 由题意知，OA⊥a,直线OA的一个方向向量为 OA=(1,1,1).因为 P∈a,所以OA⊥AP,所以(1,1,1)· (x-1,y-1,z-1)=0,所以x+y+x=3. 答案(1,1,1)x+y+x=3 12.解析 ∵ABCD是正方形，且AB=√2, ∴AO=OC=1,∴OC=(0,1,0). ∵A(0,-1,0),B(1,0,0), ∴AB=(1,1,0),∴A,B=(1,1,0). ∵OA=1,AA?=√2,∴OA?=√2-1=1. 故OA?=(0,0,1), 故OB?=OA?+A,B?=(1,1,1). ∵向量n=(x,y,z)是平面OCB,的法向量， 故 y=0,x=-z,取x=1,故x=-1, 故平面OCB?的一个法向量n=(1,0,-1). 答案 (1,0,一1)(答案不唯一) 13.证明必要性：如图，根据直线的向量 是P 表示可知点 P在直线 AB上等价于 A 存在实数t,使得AP=tAB 又因为AP=OP-OA,AB= δ OB-OA, 所以OP-OA=t(OB-OA). 整理，得OP=(1-)OA+1OB 充分性：因OP=(1-DOA+1OB,则OP=OA- tOλ+iOB, ∴OP-OA=r(OB-OA, 即AP=tAB, ∴P,A,B三点共线，即P在直线上. 创新练素能培优 14.解 (1)设a=(x,y,z),由f(x)=-x+2(x·a)a且 f(u)=v,可得一(1,0,0)+2x·(x,y,x)= (-号.0,一鲁),即(22-1,2zy,2x)=(-号.0,-竖), 解得x=2,y=0,g=一竖或x=-号，y=0,=竖， 故a=(云.0.一鲁)或a-(-号.0,婚). (2)设x和a的夹角为α,由于a,x均为单位向量，所以 x·a=|x||a|cosa=cosa,则|f(x)-x|=|2x-2(x· a)a|=√(2x-2cosaa)2=√4-4cos2a≤2,当且仅当 cos^a=0,即a=吾时，|f(x)-x|取得最大值，为2. 63