训练5 空间向量运算的坐标表示-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教A版2019）

训练五空间向量运算的坐标表示 基础练 巩固应用 1.(安徽黄山屯溪一中月考)已知向量a=(1, 1,0),b=(1,0,2),且 ka—b与 2a+b互相 平行，则k= () A.1 B.-2 C.-1 D. 2 (2)若向量a分别与AB,AC垂直，且|a|= /3,求a的坐标. 2.(福建 A佳大联考)已知空间向量m=(一 1,x,2),n=(1,3,y),其中x>0,y>0,若 m⊥n,则xy的最大值是 () √9 16 12 12A. B. C. D. 3.设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB 的中点M到C的距离CM的值为() 53 /53 √13A. B. C. V D.2 2 24 4.如图，在正方体 ABCD-A?B?C?D?中，M, N分别是CD,CC?的中点，则直线 A?M与 DN 的位置关系是 () D? Ci Ai B? N D: cΩ A B A.平行 B.垂直 C.异面垂直 D.异面不垂直 5.如果A(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2) 三点共线，那么a-b= 6.已知点 A,B,C的坐标分别为(0,1,0), (-1,0,—1),(2,1,1),点P的坐标为(x, 0,z),若 PA⊥AB,PA⊥AC,则点P的坐 标是 7.(广东佛山三水华侨中学月考)已知空间三 点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5). (1)求以 AB,AC为邻边的平行四边形的 面积； 能力练 迁移运用 8.(多选)已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1, 0),|λa+b|=√29,则λ的值为() A.2 B.—2 C.3 D.-3 9.已知 A(3,3,3),B(6,6,6),O为原点，则 OA与BO的夹角是 () 2xC.A.0 B.π D.2π 10.(北京理工大学附中高二期中)在棱长为2 的正方体 ABCD-A?B?C?D?中，E为BC 的中点，点 P在底面ABCD上移动，且满 足B?P⊥D?E,则线段 B?P长度的最大值 为 A.2B.3 C.2√2 D. 11.已知向量a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2, y),并且a,b同向，则x,y的值分别为 9 ?高中数学·选择性必修 第一册 12.(重庆十一中月考)已知O为坐标原点， OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1, 2),点Q在直线OP上运动，则当QA· QB取 得 最 小 值 时，点 Q 的 坐 标 为 13.(河南郑州四校联考)在直三棱柱 ABC- A?B?C?中，AC=BC=1,∠BCA=90°, AA?=2,Q为A?A的中点. (1)求BO的模： (2)求cos<BQ,CB>,cos<BA?,CB),并 比较(BQ,CB)与<BA?,CB>的大小. 创新练 素能培优 14.如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD.四边形 ABCD中， P AB⊥AD,AB+AD=4, >D B CCD=√2,∠CDA=45°.设 AB=AP,在线段 AD上是否存在一个点 G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相 等?并说明理由. 10 能力练迁移运用 8.ACD 由题意知点 B,的坐标为(4,5,3),A正确；点 B 的坐标为(4,5,0),点C?的坐标为(0,5,3),故点C?关 于点B对称的点为(8,5,-3),B错误；点A关于直线 BD?对称的点为C(0,5,3),C正确；点C(0,5,0)关于 平面ABB,A?对称的点为(8,5,0),D正确. 9.A OA=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)= 12i+14j+10k. 10.C 由题意可得B(1,1,0),E(1,子，1)· :OB=(1,1,0),OE=(1,,1) ∴-0-0B=(1.一，1)-(1,1,0)=(0,-÷.1). 11.解析 设{i,j,k}为所建空间直角坐标系的一个单位 正交基底，由题意可知，BG=号BE=号×雪-得， 所以AG=√AB2-BG-婚， 所以AG=-Fk=(0.0,一唇), Ab-cb-cA=--Fx=(o,-5.-5). (0.0,一婚)(0.一唇.一堰)答案 12.解析 如图，连接A?C,C?D,A?D,则E在A?C?上，F 在C?D上， D? C? 马 A? B? F D c A B 易知EF∠÷A,D∴EF=÷A,b, HEF-÷A,D=0,∴x=-2 -2答案 13.证明 取ED=a,EF=b,EH=c, 则HG=HB+BC+CG =DF+2 ED+-AA =b-a+2a+÷(Ah+HE+EA) =b+a+÷(b-a-c-a)=2b-2e, 所以HG与b,c共面.即E,F,G,H四点共面. 创新练素能培优 14.解 由题意得e,e?,e?不共面. 设a=αe?+βe?+λe?, 即(3,4,5)=(2a+β,-a+β+3λ,a-β+3λ), a=子， (2a+β=3, --a+β+3λ=4,解此方程组得所以 α-β+3λ=5, a=2. 所以a=Ce+3e?+2e 训练五空间向量运算的坐标表示 基础练巩固应用 1.B 由题意得ka-b=(k-1,k,-2),2a+b=(3,2,2). ∵ka-b与2a+b互相平行，∴43=-22,,解得 k 二—2.故选B 2.D 由题意得m·n=-1×1+3x+2y=0,即3x+2y= 1.因为x>0,y>0,所以1=3x+2y≥2√3x×2y,解得 xy<,当且仅当3x=2y=云，即x=6,y=-时取 等号.故选 D. 3.C 由题意得AB中点M(2,言.3),又C(0,1,0),所以 c-(2.号.3),,故M到C的距离为CM=1CM|= √2+(÷)+8= 4.C 以D为原点，DA,DC,DD,的方向分别为x轴、 y轴、2轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz,设正方 体 ABCD-A?B?C?D?的棱长为2,则 A?(2,0,2),M(0, 1,0),D(0,0,0),N(0,2,1),∴A,M=(-2,1,-2),DN =(0,2,1),∴A,M·DN=0,∴A,M⊥DN,又DNC平 面DCC?D?,A?M←平面DCC?D?,M∈平面DCC?D?,且 M∈DN,∴直线 A?M与DN 异面垂直.故选 C. 5.解析∵A,B.C三点共线，∴AB=AAC. 即(1,-1,3)=λ(a-1,-2,b+4) =(λ(a-1),-2λ,λ(b+4)). 解得- 答案 1 6.解析 由已知，AB=(-1,-1,-1),AC=(2,0,1), PA=(-x,1,-x),由 #{-2=). {=2.∴.P(-1.0,2).解得 答案 (-1,0,2) 7.解 (1)由题得AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2), ∴|AB|=√14,|AC|=√14, :⋯s∠BAC-高：-÷⋯∠BAC-60, s=2×÷×√T×√T×∴所求平行四边形的面积 sin60°=7√3. 61 (2)设a=(x,y,z),∵a⊥AB,a⊥AC,且|a|=√3, 解得< ∴a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1). 能力练迁移运用 8.BC ∵a=(0,-1,1),b=(4,1,0),∴a+b=(4,1-a,λ). ∵|λa+bl=√29,∴16+(1-λ)2+a2=29.∴λ2-λ-6 =0,解得 λ=3或 λ=-2. 9.B 因为OA·OB=3×6+3×6+3×6=54, 且|O?|=3√3,|OB|=6√3,所以 cos<Oλ,OB)= 3X?=1;因为<OA,OB)∈[0,k],所以<OA,OB =0.所以(OA,B?)=π 10.B 以D为原点，DA,DC,DD,所在直线分别为x,y, x轴建立如图所示的空间直角坐标系. +z D? C? A?f B? Di. yCP E x,A B 则 D,(0,0,2),E(1,2,0),B,(2,2,2),设P(a,b,0),0 ≤a≤2,0≤b≤2,则B,P=(a-2,b-2,-2),D,E= (1,2,-2). ∵B?P⊥D,E,∴B声·D,E=a-2+2(b-2)+4=0, ∴a+2b-2=0,则易求得O≤b≤1.|B,P|2=(a-2)2 +(b-2)2+4=(-2b)2+(b-2)2+4=5b3-4b+8,由 二次函数的性质可知，当b=1时，5b2—4b+8可取到 最大值9,∴线段 B,P长度的最大值为3.故选 B. 11.解析 由题意知a//b,所以子=22+g-2=号. +y-2-2 ①即 ② 把①代入②得x2+x-2=0,即(x+2)(x-1)=0, 解得x=-2或x=1. 当 x=-2时，y=-6; 当 x=1时，y=3. =-8时，b=(-2,-4,-6)=-2a, a与b反向，不符合题意，所以舍去. 当= {=4:时，b=(1,2,3)=a,a与b同向，所以 答案 1,3 12.解析 因为点Q在直线OP上运动，所以存在实数λ 使得O?=aoP=(a,λ,2A),所以QA=(1-λ,2-λ,3- 22),QB=(2-λ,1-a,2-2λ),所以QA·QB=(1-A) (2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)·(2-2λ)=6x2- 16x+10=6(x-告)-3.,当且仅当A=号日时，上式取 (寺学，学).得最小值，此时点Q的坐标为 (号字学)答案 13.解 (1)以C为坐标原点，建立如 z+ 图所示的空间直角坐标系，则 C B? C(0,0,0),B(0,1,0),Q(1,0,1),Aif B?(0,1,2),A?(1,0,2), ∴BQ=(1,-1,1) Q ∴|BO|=√12+(-1)2+l2=√3. C* By (2)由(1)得CB=(0,1,2),BA;= (1,-1,2). x ∵B0·CB=1,1B0|=√3,ICB,|=√O2+12+2= 后∴s(0,cB)-厅后一下 ∵BA·CB?=3,|BAI=√6,ICB|=√5, :c,由)-万义万-. :o<F<<1, :(bō.CB)∈(0,否),<BA,CB)∈(0,吾). ∵y=cos x在(0.否)内单调递减， ∴<BQ,CB?)><BA,CB). 创新练素能培优 14.解∵PA⊥平面ABCD,且ABC平面 ABCD,ADC 平面 ABCD, ∴PA⊥AB,PA⊥AD. 又 AB⊥AD,∴AP,AB,AD两两垂直. 以 A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz. 在平面 ABCD内，作 CE//AB P 交AD于点E,则CE⊥AD. 在 Rt△CDE 中，DE=CD· A 方jcos 45?=1,CE=CDsin 45°=1. CBx 设AB=AP=t,则P(0,0,t). 由AB+AD=4,得AD=4-t, ∴E(0,3-t,0),C(1,3-t,0),D(0,4-t,0). 假设在线段 AD上存在一个点G,使得点G到点P,B, C,D的距离都相等，设G(0,m,O)(其中0≤m≤4-t), 则Gc=(1,3-l-m,O),GD=(0,4-1-m,0), GP=(0,-m,t) 由|GC|=|GD,得12+(3-t-m)2=(4-t-m)2, 即 t=3-m. ① 由|GD|=|GP|,得(4-t-m)2=m2+t2. ② 由①②消去t,化简得m2-3m+4=0. ③ 由于方程③没有实数根，∴在线段 AD上不存在一个 点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等. 62