训练4 空间直角坐标系-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教A版2019）

训练四空间直角坐标系 AI伴学助手 在线答疑 基础练╱现固应周 1.(多选)在空间直角坐标系Oxyx中，下列 说法不正确的是 () A.向量AB的坐标与点B的坐标相同 B.向量AB的坐标与点A的坐标相同 C.向量AB与向量OB的坐标相同 7.在棱长为1的正方体 ABCD-A?B?C?D? 中，E,F分别是D?D,BD的中点，G在棱 CD上，且CG=+CD,H为C;G的中点， 建立适当的坐标系. (1)写出E,F,G,H的坐标； (2)写出向量EF,GH的坐标. D.向量AB与向量OB-OA的坐标相同 2.(多选)(河北沧州部分学校高二联考)关于 点 P(1,-1,2),下列说法正确的是() A.点 P关于xOy平面的对称点P?的坐 标为(1,-1,-2) B.点 P关于x轴的对称点 P。的坐标为 (-1,-1,2) C.点 P关于yO≈平面的对称点P?的坐标 为(一1,-1,2) D.点 P关于y轴的对称点P?的坐标为 (-1,-1,—2) 3.在空间直角坐标系中，一定点 P到三个坐 标轴的距离都是1,则该点到原点的距离是 () A.雪 c.雪 615B.√3 D.` 4.如图，在长方体 OABC- O?A?B?C?中，OA=3, 24 0 G? P A? B OC=5,0O?=4,点 P是 B?C?的中点，则点 P的 坐标为 () 0- yC B B.(差、3.4)A.(3,5,4) D.(5,2,2)c.(差，5,4) 5.(辽阳高二检测)若向量a=(2,0,-1),b= (0,1,-2),则2a-b= 126.如图所示，在长方体 AB- CD-A?B?C?D?中建立空 间直角坐标系.已知 AB= A? ,D? B C? A b B CAD=2,BB?=1,则AD?的 坐标为 ,AC?的坐标为 x 能力练 近移运用 8.(多选)(三明高二期末)如图，在长方体 ABCD-A?B?CD?中， D,2 C? AB=5,AD=4,AA?= A? B? 3,分别以 DA,DC, DD?所在直线为x轴、 y轴、z轴，建立空间直 角坐标系，则 C.D →y Bx () A.点 B?的坐标为(4,5,3) B.点C?关于点 B对称的点为(5,8,-3) C.点A关于直线BD?对称的点为(0,5,3) D.点 C关于平面 ABB?A?对称的点为 (8,5,0) 9.已知点A在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6, 4),其中O为坐标原点，a=i+j,b=j+k, c=k+i,则点A在基底{i,j,k}下的坐标是 () A.(12,14,10) B.(10,12,14) C.(14,12,10) D.(4,3,2) 7 ?高中数学·选择性必修 第一册 10.如图，在空间直角坐标系中，正方体 ABCD- A?B,C?D,的棱长为1,B,E=÷A,B,则 BE等于 () 12 D? C? EAyf (B? D C y x B A.(o,÷,-1) B.(-÷,0,1) c.(0,-÷·1) D.(÷.0,-1) 11.如图所示，正四面体 AB- 2+A CD 的棱长为 1,G 是 △BCD 的中心，建立如 < 图所示的空间直角坐标 系，则AG的坐标为 ,AB的坐标 为 D 12.正方体 ABCD-A?B?C?D?中，点E,F分 别是底面A?C?和侧面 CD?的中心，若 EF+λA?D=0(λ∈R),则A= 13.如图，已知平行六面体 ABCD-A'B'C'D', E,F,G,H分别是棱 A'D',D'C',C'C和AB 的中点，求证：E,F,G,H四点共面. p F G E A? GB CD A* H B 创新练 素能增优 14.已知a=(3,4,5),e?=(2,-1,1),e?= (1,1,-1),e?=(0,3,3),用e?,e?,e?表 示 a. 8 ÷B,B=0,∴B,D⊥BA,B,D⊥BD,又BA,BDC平 面ABD,BA∩BD=B,∴B,D⊥平面ABD. (2)连接BG.易得EC=B,G-B,E=?(B,C+B,A -÷B,B=÷BC+÷B,A-+BB,FC=÷BA, ∴B,D·EC=(B,C+÷B,B)·(÷BC+÷B,A -÷B,)=÷BC-=0.ED·= (BC+÷BB)·÷BA=0, ∴B,D⊥EG,B,D⊥FG. 又 EG,FGC平面 EFG,EG∩FG=G, ∴B,D⊥平面 EFG.又由(1)知 B,D⊥平面 ABD,平面 ABD与平面EFG不重合，∴平面 EFG//平面ABD. 创新练素能培优 14.解 (1)证明 设CB=a,CD=b,CE=c, 则|a|=|b|,a·b=b·c=c·a=0. 依题意得DE=c-b,CA=a+b,CF=÷a+÷e, 设DE=xCA+yCF(x,y∈R), 则c-b=x(a+b)+y(÷a+2c) =(x+号y)a+xb+÷se, x+y=0, (-2x=-1,因此 解得 ÷y=1, 从而DE,CA,CF共面，又直线 DE不在平面ACF内， 因此 DE//平面 ACF. (2)证明 依题意得BD=b-a,AE=c-a-b, 则BD·AE=(b-a)·(c-a-b)=-b+a2=0, 因此BD⊥AE,从而 BD⊥AE. (3)存在.由AB=√2CE,设|a|=|b|=2,则|c|=√2, 假设在线段 EO上存在点G,使CG⊥平面 BDE, 由O,G,E三点共线， 设CG=(1-)CF+1C =≥da+÷db+(1-2>c(o≤a≤1), 由CG⊥平面BDE知CG⊥DE,而DE=c-b, 因此CC·DE=[÷da+÷xb+(1-λ)e]·(c-b) =(1-λ)c2-≥2b2=2-4a=0, 解得a=,即点G是线段 EO的中点时，满足题意， 此时-2. 训练四空间直角坐标系 基础练巩固应用 1.ABC 因为A点不一定为坐标原点，所以A,B,C都不 正确；由于AB=OB-OA,所以D正确. 2.ACD 点(x,y,z)关于x轴的对称点为(x,-y,-z), 关于y轴的对称点为(一x,y,-z),关于平面 yOz的对 称点是(一x,y,z),关于平面xOy的对称点是(x,y, 一z),故 A选项点P关于xOy平面的对称点P?的坐标 为(1,-1,-2),故 A正确；B选项点P关于x轴的对 称点P?的坐标为(1,1,-2),故B错误；C选项点 P关 于yO≈平面的对称点P?的坐标为(-1,-1,2),故 C 正确；D选项点P关于y轴的对称点P?的坐标为(-1, -1,-2),故 D正确.故选 ACD. 3.A 设P(x,y,z),由题意可知 ∴x2+y2+g=2∴√F+y+x=F. 4.C 由题图知，点P在x轴、y轴、z轴上的射影分别为 2,5,4,故点P?,P?,P?,它们在坐标轴上的坐标分别是 (2.5,4).P的坐标是 5.解析 因为向量a=(2,0,-1),所以2a=(4,0,-2). 又向量 b=(0,1,—2),所以2a-b=(4,0,-2)-(0,1, -2)=(4,-1,0). 答案 (4,-1,0) 6.解析 根据已建立的空间直角坐标系，知A(0,0,0), C?(2,2,1),D,(0,2,1),则AD?的坐标为(0,2,1),AC 的坐标为(2,2,1). 答案(0,2,1)(2,2,1) 7.解(1)以 D为原点建立如图 Dl ,C?所示的空间直角坐标系.点E在 A? B?≥轴上，它的x坐标、y坐标均为 E+ 0,而 E为DD?的中点，故其坐 D(O) N K (0.0,号). M标为 CAl B 由F作FM⊥AD,FN⊥DC,垂 x 足分别为 M,N, FM=2,FN=2,由平面几何知识知j (去·去0),点G在y轴上，其x轴×轴故 F点坐标为 坐标均为0, 又GD=章，故G点坐标为 (0,二.0). 由H作HK⊥CG于K,由于H为C?G的中点， 故 HK=去，CK=言，所以 DK=子， (0.吾去).故 H点坐标为 (2)E=OF-oE=(÷,÷,-÷), GH=OH-OG=(0,,) 60 能力练迁移运用 8.ACD 由题意知点 B,的坐标为(4,5,3),A正确；点 B 的坐标为(4,5,0),点C?的坐标为(0,5,3),故点C?关 于点B对称的点为(8,5,-3),B错误；点A关于直线 BD?对称的点为C(0,5,3),C正确；点C(0,5,0)关于 平面ABB,A?对称的点为(8,5,0),D正确. 9.A OA=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)= 12i+14j+10k. 10.C 由题意可得B(1,1,0),E(1,子，1)· :OB=(1,1,0),OE=(1,,1) ∴-0-0B=(1.一，1)-(1,1,0)=(0,-÷.1). 11.解析 设{i,j,k}为所建空间直角坐标系的一个单位 正交基底，由题意可知，BG=号BE=号×雪-得， 所以AG=√AB2-BG-婚， 所以AG=-Fk=(0.0,一唇), Ab-cb-cA=--Fx=(o,-5.-5). (0.0,一婚)(0.一唇.一堰)答案 12.解析 如图，连接A?C,C?D,A?D,则E在A?C?上，F 在C?D上， D? C? 马 A? B? F D c A B 易知EF∠÷A,D∴EF=÷A,b, HEF-÷A,D=0,∴x=-2 -2答案 13.证明 取ED=a,EF=b,EH=c, 则HG=HB+BC+CG =DF+2 ED+-AA =b-a+2a+÷(Ah+HE+EA) =b+a+÷(b-a-c-a)=2b-2e, 所以HG与b,c共面.即E,F,G,H四点共面. 创新练素能培优 14.解 由题意得e,e?,e?不共面. 设a=αe?+βe?+λe?, 即(3,4,5)=(2a+β,-a+β+3λ,a-β+3λ), a=子， (2a+β=3, --a+β+3λ=4,解此方程组得所以 α-β+3λ=5, a=2. 所以a=Ce+3e?+2e 训练五空间向量运算的坐标表示 基础练巩固应用 1.B 由题意得ka-b=(k-1,k,-2),2a+b=(3,2,2). ∵ka-b与2a+b互相平行，∴43=-22,,解得 k 二—2.故选B 2.D 由题意得m·n=-1×1+3x+2y=0,即3x+2y= 1.因为x>0,y>0,所以1=3x+2y≥2√3x×2y,解得 xy<,当且仅当3x=2y=云，即x=6,y=-时取 等号.故选 D. 3.C 由题意得AB中点M(2,言.3),又C(0,1,0),所以 c-(2.号.3),,故M到C的距离为CM=1CM|= √2+(÷)+8= 4.C 以D为原点，DA,DC,DD,的方向分别为x轴、 y轴、2轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz,设正方 体 ABCD-A?B?C?D?的棱长为2,则 A?(2,0,2),M(0, 1,0),D(0,0,0),N(0,2,1),∴A,M=(-2,1,-2),DN =(0,2,1),∴A,M·DN=0,∴A,M⊥DN,又DNC平 面DCC?D?,A?M←平面DCC?D?,M∈平面DCC?D?,且 M∈DN,∴直线 A?M与DN 异面垂直.故选 C. 5.解析∵A,B.C三点共线，∴AB=AAC. 即(1,-1,3)=λ(a-1,-2,b+4) =(λ(a-1),-2λ,λ(b+4)). 解得- 答案 1 6.解析 由已知，AB=(-1,-1,-1),AC=(2,0,1), PA=(-x,1,-x),由 #{-2=). {=2.∴.P(-1.0,2).解得 答案 (-1,0,2) 7.解 (1)由题得AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2), ∴|AB|=√14,|AC|=√14, :⋯s∠BAC-高：-÷⋯∠BAC-60, s=2×÷×√T×√T×∴所求平行四边形的面积 sin60°=7√3. 61