训练3 空间向量基本定理-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教A版2019）

训练三空间向量基本定理 基础练 现固应用 1.(广东珠海二中高二月考)如果存在三个不 全为零的实数x,y,z,使得xa+yb+zc= 0,则a,b,c () A.两两相互垂直 B.可以作为一个基底 C,共面 D.有两个向量互相平行 2.{e?,e?,e?}是空间的一个基底，向量a= e?+e?+e?,b=e?+e?-e?,c=e?-e?+e?; d=e?+2e?+3e?·若d=xa+yb+xc,则x, y,x的值分别为 () A.吾，-1,一 B.毫小 c.一喜，1,一 D.毫，1,一去 3.(多选)在正方体ABCD-A?B?C?D?中，若 点 F是侧面CDD?C?的中心，且AF= AD+mAB-nAA,则 () 6.如图所示，在四面体 A-BCD 中，G 为 △ABC的重心，E 是 BD 上一点，BE= 3ED,以{AB,AC,AD}为基底，则GE= D E C G B A2 7.如图，在三棱柱 ABC-A?B?C?中，∠ABC= 90°,AB=BC=AA?=2,AA?⊥平面ABC, E,F分别是BB?,A?C?的中点.求证：AF ⊥CE. Al, F Ci A B? E c B A.m=去 B.m=- D.n=-2C.n=2 4.正方体 ABCD-A?B?C?D? 的棱长为a,AM=2MC, 点 N 为 B?B的中点，则 |MN|= D. G BA? M N cD BA () √6/21 /15 √15A. -a6 B. 6a C. -a6 D.- V -a3 5.(山东师范大学附属中学高二期中)平行六 面体 ABCD-A?B?C?D?中，AB=AD=4, AA?=5,∠BAD=∠BAA?=∠DAA?= 60°,则 AC?= 能力练 迁移运用 8.(多选)下列命题中是真命题的是() ①若{a,b,c}可以作为空间的一个基底，d 与c共线，d≠0,则{a,b,d}也可作为空间 的一个基底；②已知向量a//b,则a,b与任 何向量都不能构成空间的一个基底；③A, B,M,N 是空间四点，如果BA,BM,BN不 能构成空间的一个基底，那么 A,B,M,N 共面；④已知{a,b,c}是空间的一个基底， 若m=a+c,则{a,b,m}也是空间的一个 基底. A.① B. ② C.③ D. ④ 5 ?高中数学·选择性必修 第一册 9.设 O-ABC 是四面 0 体，G?是△ABC的重 G C心，G是OG?上的一 A< G 点，且 OG=3GG?,若 B OG=xOA+yOB+xOC,则(x,y,z)为 () A.(是) B.(是，毫，章) (1)B?D⊥平面ABD; (2)平面 EFG//平面ABD. R Ar E H FB GA! ,C D C? c.(高毒) D.(急·学学) 10.(多选)如图所示，在平行六面体 ABCD- A?B?GD?中，点 M,P,Q分别为棱AB, CD,BC的中点，若平行六面体的各棱长 均相等，则 () D CBy A.A,M//D?P Ay B.A?M//B?Q 分 /cP Q C.A?M//平面 DCCD? M BA D.A?M//平面D?PQB 11.在四棱锥 P-ABCD中，四边形 ABCD为 平行 四 边形，AC 与 P BD交于点 O,点G为 BD 上一 点，BG = D ?2GD,PA=a,PB=b,E C PC=c,用基底{a,b,c}表示向量PG= 创新练 素能培优 14.在四棱锥 E-ABCD中，底面ABCD是正 方形，AC 与 BD 交于点 O,EC⊥底面 ABCD,F为BE的中点. E(1)求证：DE//平面ACF; (2)求证：BD⊥AE; F (3)若 AB=√2CE,在线 段 EO上是否存在点G, Ck D 使 CG⊥平面 BDE?若 0~ >B A 器：存在，求出 的值；若不存在，请说明 理由. 12.如图，在长方体 ABCD- D? P C? A?B?C?D?中，AB=2,A? B? cD AA?=√3,AD=2√2,P M A B 为C?D?的中点，M为BC的中点.则 AM 与 PM所成的角为 13.(黑龙江绥化肇东四中期中)如图，在直三 棱柱 ABC-A?B?C?中，∠ABC=90°,BC =2,CC?=4,点E在棱BB?上，EB?=1, D,F,G分别为棱CC?,B?C,A?C的中 点，EF与B?D相交于点 H.求证： 6 训练三空间向量基本定理 基础练巩固应用 1.C不坊设x≠0,因为xa+yb+x=0,则a=-÷b- 二，故向量a.b,c共面.故选C. 2.A xa+yb+xc=x(e?+e?+e?)+y(e?+e?-e?)+z(e? -e?+e?)=(x+y+z)e?+(x+y-z)e?+(x-y+z)e? =e?+2e?+3e,由空间向量基本定理，得 ,解得 AF=AD+≥AB+3.AD 根据空间向量基本定理，有 号AA,所以m=号，-n=云，即n=- 4.A 因为MR=AN-AM=AN-÷AC =AB+BN-÷(AD+AD+AA) =AB+÷AA-÷(AB+AD+AA) =÷AB+÷AA-÷Ab. 所以|MNI=√÷IAB|+3AAI+÷IADI =a 5.解析由题设，作出示意图. D? C BAy D c BA 由图得AC=Ab+AB+CC=AD+AB+AA, ∴AC2=AD2+AB2+AA?2+2(AD·AB+AA·AD +AB·AA?)=113,则|AC|=√113. 答案 √113 6.解析 连接AG交BC于点M,连接AE, 则CE=AE-AC=AB+÷BD-2AM-AB+÷AD- AB)-3×÷AB+AC=-1AB-÷AC+÷AD. -1AB-÷AC+÷Ab答案 7.证明 选取(BA,BC,BB)作为空间的一个基底，设BA =a,BC=b,BB=c.由已知条件和三棱柱的性质，得 |al=2,|b|=2,le|=2,a·b=0,a·c=0,b·c=0,AF =AA+÷AC=AA+÷(BC-BA=-÷a+÷b+c, =c+E=-b+2c.因为F·CE- (-2a+÷b+c)·(-b+2c)=÷a·b-÷b- c·b-÷a·c+÷b·c+2c2=0.所以AF⊥CE,即AF ⊥CE. 能力练迁移运用 8.ABCD 空间任何三个不共面的向量都可作为空间的 一个基底，易知①②③④均为真命题. 9.A 由已知C-÷; =÷O+AG)-+[oA+÷AB+AC] =30A++[OB-0A]+(oc-oA] =+oA++0B++从而x=y-x=÷ 10.ACD A.N=A,A+A=AA+÷AB,D,P= D,D+DP=A,A+÷AB,∴A,M//D,P.又A,M与 D?P无公共点，∴A?M//D,P,由线面平行的判断定理 可知，A?M//平面 DCC?D?,A?M//平面 D?PQB?. 11.解析 PC=PB+BG=PB+≥BD=PB+÷(BA+ BC)=PB+≥(PA-PB+PC-PB)=÷PA- }PB+÷PC-3a-1b+3c. ÷a-÷b+÷c答案 AM=AB+÷Ab.PM-AM-AB-AB+12.解析 ÷Ab-AA-A.D-D,P=AB+÷AD-AA,-AD -÷AB=÷AB-÷AD-AA, 故AM·PN=(AB+÷AD)·(÷AB-÷AD-AA) =÷AB-÷AB·AD-AB·AA+÷AD·AB- ÷Ab-∠Ab·AA-÷×4-÷×8=0, 即AM|PM 则 AM与PM所成的角为90°. 答案 90° 13.证明 (1)易得B,D=B,C+C?D=B,C+÷B,B,BD =BC+Cb=E,C--EB, ∴BD·BA=(BC+÷B,B)·BA=0,BD·BD =(BC+÷B,B)·(BC-2B,B)=B,C- 59 ÷B,B=0,∴B,D⊥BA,B,D⊥BD,又BA,BDC平 面ABD,BA∩BD=B,∴B,D⊥平面ABD. (2)连接BG.易得EC=B,G-B,E=?(B,C+B,A -÷B,B=÷BC+÷B,A-+BB,FC=÷BA, ∴B,D·EC=(B,C+÷B,B)·(÷BC+÷B,A -÷B,)=÷BC-=0.ED·= (BC+÷BB)·÷BA=0, ∴B,D⊥EG,B,D⊥FG. 又 EG,FGC平面 EFG,EG∩FG=G, ∴B,D⊥平面 EFG.又由(1)知 B,D⊥平面 ABD,平面 ABD与平面EFG不重合，∴平面 EFG//平面ABD. 创新练素能培优 14.解 (1)证明 设CB=a,CD=b,CE=c, 则|a|=|b|,a·b=b·c=c·a=0. 依题意得DE=c-b,CA=a+b,CF=÷a+÷e, 设DE=xCA+yCF(x,y∈R), 则c-b=x(a+b)+y(÷a+2c) =(x+号y)a+xb+÷se, x+y=0, (-2x=-1,因此 解得 ÷y=1, 从而DE,CA,CF共面，又直线 DE不在平面ACF内， 因此 DE//平面 ACF. (2)证明 依题意得BD=b-a,AE=c-a-b, 则BD·AE=(b-a)·(c-a-b)=-b+a2=0, 因此BD⊥AE,从而 BD⊥AE. (3)存在.由AB=√2CE,设|a|=|b|=2,则|c|=√2, 假设在线段 EO上存在点G,使CG⊥平面 BDE, 由O,G,E三点共线， 设CG=(1-)CF+1C =≥da+÷db+(1-2>c(o≤a≤1), 由CG⊥平面BDE知CG⊥DE,而DE=c-b, 因此CC·DE=[÷da+÷xb+(1-λ)e]·(c-b) =(1-λ)c2-≥2b2=2-4a=0, 解得a=,即点G是线段 EO的中点时，满足题意， 此时-2. 训练四空间直角坐标系 基础练巩固应用 1.ABC 因为A点不一定为坐标原点，所以A,B,C都不 正确；由于AB=OB-OA,所以D正确. 2.ACD 点(x,y,z)关于x轴的对称点为(x,-y,-z), 关于y轴的对称点为(一x,y,-z),关于平面 yOz的对 称点是(一x,y,z),关于平面xOy的对称点是(x,y, 一z),故 A选项点P关于xOy平面的对称点P?的坐标 为(1,-1,-2),故 A正确；B选项点P关于x轴的对 称点P?的坐标为(1,1,-2),故B错误；C选项点 P关 于yO≈平面的对称点P?的坐标为(-1,-1,2),故 C 正确；D选项点P关于y轴的对称点P?的坐标为(-1, -1,-2),故 D正确.故选 ACD. 3.A 设P(x,y,z),由题意可知 ∴x2+y2+g=2∴√F+y+x=F. 4.C 由题图知，点P在x轴、y轴、z轴上的射影分别为 2,5,4,故点P?,P?,P?,它们在坐标轴上的坐标分别是 (2.5,4).P的坐标是 5.解析 因为向量a=(2,0,-1),所以2a=(4,0,-2). 又向量 b=(0,1,—2),所以2a-b=(4,0,-2)-(0,1, -2)=(4,-1,0). 答案 (4,-1,0) 6.解析 根据已建立的空间直角坐标系，知A(0,0,0), C?(2,2,1),D,(0,2,1),则AD?的坐标为(0,2,1),AC 的坐标为(2,2,1). 答案(0,2,1)(2,2,1) 7.解(1)以 D为原点建立如图 Dl ,C?所示的空间直角坐标系.点E在 A? B?≥轴上，它的x坐标、y坐标均为 E+ 0,而 E为DD?的中点，故其坐 D(O) N K (0.0,号). M标为 CAl B 由F作FM⊥AD,FN⊥DC,垂 x 足分别为 M,N, FM=2,FN=2,由平面几何知识知j (去·去0),点G在y轴上，其x轴×轴故 F点坐标为 坐标均为0, 又GD=章，故G点坐标为 (0,二.0). 由H作HK⊥CG于K,由于H为C?G的中点， 故 HK=去，CK=言，所以 DK=子， (0.吾去).故 H点坐标为 (2)E=OF-oE=(÷,÷,-÷), GH=OH-OG=(0,,) 60