训练2 空间向量的数量积运算-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教A版2019）

训练二空间向量的数量积运算 基础练 巩固应用 1.在正方体 ABCD-A?B?C?D?中，有下列 说法： ①(AA?+AD+AB)2=3|ABI2;②A,C· (A?B?-A?á)=0;③AD与A?B的夹角为 60°.其中说法正确的有 () A.1个B.2个 C.3个 D.0个 2.已知空间向量a,b,|a|=1,|b|=√2,且a —b与a垂直，则a与b的夹角为() A.60° B.30° C.135° D,45° 3.如图，在长 方体 ABCD- D? A? A?B?C?D?中，AA?=AB= B E C? G 2,AD=1,点E,F,G分别 D 是 DD?,AB,CC?的中点， F B 则异面直线 A?E与GF所成的角是 () c 7.(青岛二中月考)如图，在三棱锥 ABCD中， DA,DB,DC两两垂直，且 DB=DC=DA =2,E 为BC 的中点. (1)证明：AE⊥BC;(用向量方法证明) (2)求直线 AE与DC 所成角的余弦值. A D B E A.否 B. D.空π4 c.李 4.(湖北襄阳四中月考)已知两条异面直线a, b所成的角为60°,在直线a,b上分别取点 A,E和点B,F,使AB⊥a,且AB⊥b.已知 AE=6,BF=8,EF=2√39,则线段 AB的 长为 () A.10 B.2√26 C.2√2或10 D.2√2或 2√26 5.(河南郑州外国语学校月考)已知|a|= 3√2,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,<a,b)= 135°,m⊥n,则λ= 6.如图，已知正三棱柱 A ABC-A?B?C?的各条 B C? 棱长都相等，M是侧 棱 CC?的中点，则异 MA 面直线 AB?和 BM所 成的角的大小是 B C 能力练 概移运用 8.(多选)(湖北六校高二期中联考)定义空间两 个非零向量的一种运算：a×b=|a||b|· sin<a,b),则关于上述空间向量运算的以下 结论中恒成立的有 A.λ(a×b)=(λa)×b B aQb=bQc C.若a×b=0,则a⊥b D.|a×b|≤|a||b| 9.(保定二中期中)在四面体 ABCD中，P在 平面ABC 内，Q在平面 BCD 内，且满足 AP=xAB+yAC,AQ=sAB+tAC+ AD,若-,则下列说法正确的是 () A.AQ与DP 所在直线是异面直线 B.AQ与DP所在直线平行 C.线段 AQ与DP 必相交 D.线段 AQ与DP 延长后相交 3 C ?高中数学·选择性必修 第一册 10.如图，在四棱锥 P-ABCD P 中，底面 ABCD是边长为1 的正方形，侧棱 PA的长为 D M >C 2,且PA与AB,AD的夹 A B 角都等于 60°.若 M是 PC 的中点，则 |BM|= () √2 石3 c.写 √5A. B.、 D. 11.如图，在△ABC和△AEF 中，B是EF的中点，AB=2, G EF=4,CA=CB=3.若 AB·AE+AC·AF=7, 则EF与BC的夹角的余弦值等于 F A* B E 12.已知正三棱柱(底面是正三角形的直三棱 柱)ABC-A?B?C的各棱长都为 2,E,F 分别是AB,A?C?的中点，则 EF的长为 创新练 素能增优 14.如图，已知平行六面体ABCD-A?B?C?D? 的底面 ABCD 是菱形，且 ∠C?CB = ∠C?CD=∠BCD. (1)求证：CC?⊥BD; CD (2)当； 的值为多少时，能使A?C⊥平面CC C?BD?请给出证明. B. A DC? c B b A 13.如图所示，在四棱柱 D? BAyABCD-A?B?C?D?中， 底面为平行四边形， C 以顶点 A 为端点的 B 三条棱长都为1,且两两夹角为60°. (1)求 AC?的长； (2)求证：AC?⊥BD; (3)求 BD?与AC夹角的余弦值. C? 4 (oB+OC)+2C3AoA=23oA+÷0+ 2(1—34= (x=1, 含，与原式此校后可得 -去.解得 故选 A. 11.解析(1)A?F-EF-BA+FF+CD+F?A =AF+FE+AB+BB+CD+DC=AE+AB,+0 =AE+ED=AD. (2)DE+E?F+FD+BB?+A,E =DE+EF+FD+BB,+B,D =DF+FD+BD=0+BD?-BD. 答案(1)AD,(2)BD 12.解析 根据共线向量的定义，若AB//CD,则AB//CD或 A,B,C,D四点共线，故①错误；AB//AC且AB,AC有公共点 A,所以②正确；由于a=4e-号e=-4(-e+1oe)= —4b,所以a//b,故③正确；易知④正确. 答案 ②③④ 13.解 (1)证明 因为AC=AB+AD+AA =AB+AD+÷AA+=A =(AB+÷A)+(AD+÷A) =(AB+BE)+(AD+DF)=AE+AF. 又AC,AE,AF有公共点 A, 所以 A,E,C,F四点共面. (2)因为EF=AF-AE=AD+DF-(AB+BE) =Ab+≥DD-AB-÷BB =-AB+AD+÷AA. 所以x=-1.y=1,=号，所以x+y+z=号 创新练素能培优 14.解 连接 BD,BG;∵AB=PB-PA,AB=DC, ∴DC=PB-PA.∵PC=PD+DC, ∴PC=PD+PB-PA=-PA+PB+PD. :-2⋯Ph-÷C, ∴PH-÷(-PA+PB+PD)=-÷PA+÷PB+-PD. 又∵AB=P?-PA ∴Ah=-÷PA+÷PB+÷PD∵H-m, ∴AG=mAH=-*PA+*PB+"PD. ∵BG=BA+AG=PA-PB+AG, ∴BG=(1-2)PA+(2-1)PB+"PD. 又∵G,B,P,D四点共面，∴1-=0,解得m=章 训练二空间向量的数量积运算 基础练巩固应用 1.B 由题意知AA+AD+AB=AC,IAC|=√3|A创， 则|AC|2=3|AB|2,又知A,B?-A?A=AB,A,C⊥ AB,则A?C·AB=0,故①②正确.③不正确，AD与 A,B的夹角即为AD与D,C的夹角，即为 120°。 2.D ∵a—b与a垂直，∴(a-b)·a=0, ∴a·a-a·b=|al2-|a||bl·cos<a,b)=1-1×√2 ×cos(a.b)=0,∴cos(a,b)=5. ∵0?≤<a,b)≤180°,∴<a,b)=45°. 3.D A.E=÷D,D-DA,GF=÷D,D+DA+÷BA, A.E·GF=(÷D,b-D,A)·(÷D,D+DA+所以 ÷BA)=+D,D+÷DD·DA++DD· BA--DA·D?b-DA·DA--DA·BA- ÷×4-1=0,所以A,E⊥GF. 4.D 因为EF=EA+AB+BF,所以EF=EA2+AB2+ BF+2EA·AB+2EA·BF+2AB·BF,又异面直 线a,b所成的角为60°,EF=2√39,AE=6,BF=8,故 156=36+1AB|2+64+48或156=36+|AB|2+64- 48,则|AB|=2√2或|AB|=2√26.故选 D. 5.解析 由m⊥n,得(a+b)·(a+λb)=0,∴a2+(1+λ) ·a·b+λb2=0,∴18+(a+1)×3√2×4×cos 135?+ 16x=0,即 2x+3=0,∴a=- 答案 一言 6.解析 不妨设棱长为2,则 AE-BB-BA,BM-BC+BB. =0,所以<AB?,BM)=90°. 答案 90° 7.解 (1)证明 因为AE=DE-DA=÷(DB+DC)- DA,BC=DC-DB, 所以AE·BC=(÷DB+÷DC-DA)·(DC-DB)= 57 Db·Dc-Db·Db+÷Dc·Dc-÷Dc.Db -DA·DC+DA·DB=0-2+2-0-0+0=0, 所以 AE⊥BC. (2)AE·DC=(÷DB+2DC-DA)·DC=DB· DC+÷DC·DC-DA·DC=0+2-0=2,AEI= √(√2)2+22=√6, 所以oa点，0=高一文一否 即直线 唇AE与DC所成角的余弦值为' 能力练迁移运用 8.BD 对于A,若λ为负数，可知λ(a×b)=-(λa)区b, 故 A错误；对于B,由定义知B正确；对于C,若a×b= 0,则 sin<a,b)=0,则a,b共线，故C错误；对于D,由定 义知|a×b|=|a||b|·|sin(a,b)|≤|a||b|,故 D正 确。故选 BD. 9.C若x=s=0,则AP=yAC,Aà=tAC+uAD,所以 AΩ=-AP+uAD,所以 A,P,D,Q四点共面；若x≠ 子=一得立=,令之=一=m,则Aδ=0,s≠0,则由 mAP+uAD,故 A,P,D,Q四点共面.又AQ与DP不 平行，所以线段 AQ与DP 必相交.故选 C. 10.A记AB=a,AD=b,AP=c,因为AB=AD=1, PA=2,所以|a|=|b|=1,|c|=2.又因为AB⊥AD, ∠PAB=∠PAD=60°,所以a·b=0,a·c=b·c= 2×1×cos 60°=1.易得BM==(-a+b+c),所以 IBMi=÷(-a+b+c)2=÷[a+b+C+2× (-a·b-a·c+b·e)]=÷×[l2+12+22+2×(0- 1+1]-意，所以|M1-竖故选 A. 11.解析 由题意得BC2=9=(AC-AB2=AC+AB- 2AC·AB=9+4-2AC·AB,所以AC·AB=2.由 AB·AE+AC·AF=7,可得AB·(AB+BE)+AC ·(AB+BF)=AB+AB·BE+AC·AB+AC·BF =4+AB·(-BF)+2+AC·BF=6+BF·(AC- AB=6+÷F·BC=7,所以EF·BC=2,即4×3× cos(EF,BC)=2,所以cosEF,RC)=÷.。答案 12.解析 如图所示，设AB=a,AC=b, G F AA?=c. A B 由题意知|a|=|b|=|c|=2, 且<a,b>=60°,<a,c>=<b,c>=90°. C 因为EF=EA+AA?+A,F=--AB BA E +AA+÷AC=-2a+÷b+c, EF2=1EF|=÷a+÷b+c+2(-2a·÷b+所以 1 ÷b·c-2a·c)=+×2++×2+2+2× (-÷)×2×2×cos60?=1+1+4-1=5, 所以 EF=√5. 答案 √5 13.解 (1)记AB=a,Ab=b,AA?=c, 则|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°, 所以a·b=b·c=c·a=2 |AC2=(a+b+e)2=a2+b?+c2+2(a·b+b·c+ c·a)=1+1+1+2×(2+2+2)=6, 所以|AC|=√6,即AC?的长为√6. (2)证明 因为AC?=a+b+c,Bb=b-a, 所以AC·BD=(a+b+c)·(b-a) =a·b+b2+b·c-a2-a·b-a·c =b·c—a·( =|b||c|cos 60°-|a||c|cos 60°=0. 所以AC⊥BD,所以 AC?⊥BD. (3)BD=b+c-a,AC=a+b, 所以|BD|=√2,IAC|=√3, BD·AC=(b+c-a)·(a+b) =b2-a2+a·c+b·c=1. aō所以 语所以 AC与BD?夹角的余弦值为 创新练素能培优 14.解(1)证明设CD=a,CB=b. D?C CC=c.依题意有|a|=|b|, BD=CD-CB=q-b c/ 6B B? 设CD,CB,CC的两两夹角均为θ, C a D 于是CC?·BD=c·(a-b) =c·a-c·b =|c||a|cos θ-|c||b|cos θ=0,所以CC?⊥BD. (2)若 A?C⊥平面C?BD,则A?C⊥BD,A,C⊥DC?. 由CA?·C?D=(CA+AA?)·(CD-CC) =(a+b+c)·(a-c) =|a|2-a·c+a·b-b·c+c·a-|cl2 =|a|2-|c|2+|b||a|cos 0-|b||c|cos 0 =(|a|-|c|)(|a|+|c|+|b|cosθ)=0得， 当|c|=|a|时，A?C⊥DC. 同理可证，当|a|=|b|时，A?C⊥BD. -1时.ACL平面C;BD.所以当； 58 A