2.5.1 直线与圆的位置关系-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教A版2019）

?高中数学·选择性必修 第一册 √4-3(一,—1),所以圆心坐标为 ,半径为- (1+会)+(2+因为点(1,2)在圆外，所以 1)2>4-32,即k2+k+9>0. 结合二次函数 y=k2+k+9的图象，知对一 切k∈R,上述不等式恒成立，故实数k的取 值范围是 R. [错解分析] 由于方程 x2+y2+kx+2y+ k2=0 表示圆，故应该满足条件 4—3k2>0. 由于审题不仔细，未挖掘出这个隐含条件， 导致出错. [正解] 结合错解的结论再加上条件 4— 3k2>0,可 解 得 实 数 k的 取 值 范 围 是|-23<k<23 Ⅱ误区警示|Ⅱ 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的前提是 D2+E2-4F>0,因此在判断形如x2+y2+Dx+Ey+ F=0的方程是否表示圆时，不能忽略 D2+E2-4F>0 这一条件. 提示请完成《素能提升训练》训练十九 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1 直线与圆的位置关系 [学习任务] 1.掌握直线与圆的三种位置关系.(重点) 2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的位置关系.(重点、难点) 3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.(难点、易错点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 直线与圆的位置关系 1.直线与圆的三种位置关系 位置关系 交点个数 图示 相交 有 公共点 d 相切 只有 公共点 d 相离 公共点 d -1 2.直线与圆的位置关系的判断 位置关系 相交 相切相离 几何法：设圆心到直线的距离 d=IAaA+FC d<r d=r d>r 判定方法 a-a2+6-65-代数法：由 4>0 △=0△<0 消元得到一元二次方程的判别式△ 60 第二章 直线和圆的方程 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 直线与圆的位置关系的判断 [例1] 已知直线方程mx—y—m-1=0,圆 的方程x2+y2—4x-2y+1=0.当m为何 值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点. 规律方法- 直线与圆位置关系判断的三种方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r 的大小关系判断。 (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解 的个数来判断. (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与 圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点 的直线系。 □跟踪训练 1.(1)(安徽师范大学附属中学期中)直线 ax十 y—a=0(a∈R)与圆(x—2)2+y2=4 的位 置关系是 ( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.无法确定 (2)(浙江台州十校联盟期中)直线x—√3 y 十m=0与圆 x2+y2=1有两个不同的交 点，则实数 m的取值范围是 ( ) A.-2≤m≤2 B.—2<m<2 C.m<-2或m>2 D.m≤-2或 m≥2 探究二 直线与圆相切问题 [例2](1)直线l过点(√3,3)且与圆C:x2+ (y-2)2=4 相切，则直线l的倾斜角的大 小为 ( ) A.30°或120° B.60°或150° C.120° D.30° (2)(多选)过点(0,2)作与圆x2+y2-2x=0 相切的直线 1,则直线l的方程为 ( ) A.3x—4y+8=0 B.3x+4y-8=0 C.x=0 D.x=1 规方法|Ⅱ- 1.求过已知点的圆的切线的方法 (1)如果已知点在圆上，那么圆心和已知点的连线和 切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方 程可求得切线方程。 (2)如果已知点在圆外，过这点的切线将有两条，但 在设斜率解题时可能求出的切线只有一条，这是因 为有一条过这点的切线的斜率不存在. 2.求切线长最小值的两种方法 (1)(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线 长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； (2)(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线 的距离问题. 跟踪训练 2.(1)(长春质检)已知直线 x+y=0与圆(x— 1)2+(y—b)2=2相切，则b= ( ) c.A.—3 B.1 D.—3或1 (2)若过点P(0,1)作直线l与圆C:(x—3)2+ y2=1相切，则切线长为 ,直线l的 方程为 探究三 圆的弦长问题 [例3] 求直线 l:3x+y-6=0 被圆C:x2+ y2-2y-4=0截得的弦长. II规律方法|Ⅱ 求弦长的两种方法 (1)由半径长 r、弦心距d、弦长l的一半构成直角 a+(云)=三角形，利用勾股定理 求解，这是常用 解法； (2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或 y) 的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横 坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求 解.此解法很烦琐，一般不用。 61 ?高中数学·选择性必修 第一册 跟踪训练 3.(1)直线 y=kx+3被圆(x-2)2+(y-3)2 =4 截得的弦长为2√3,则直线的斜率为 ( ) A.√3 B.±√3 c.3 D.±3 (2)过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的 弦，其中最短弦的长为 探究四 直线与圆的方程的实际应用问题 [例4] 有一种大型商品，A,B两地均有出售 且价格相同，某地居民从两地之一购得商品 运回来，每千米的运费 A地是B地的两倍， 若 A,B两地相距10千米，顾客选择 A地或 B地购买这种商品的运费和价格的总费用 较低，那么不同地点的居民应如何选择购买 此商品的地点? 规律方法|Ⅱ ----------- 求解直线与圆的方程的实际问题的一般步骤 (1)认真审题，明确题意； (2)建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示 曲线，从而在实际问题中建立直线与曲线的方程； (3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题； (4)把代数结果还原为实际问题的解. [提醒] 在实际问题中，有些量具有一定的条件， 转化成代数问题时要注意范围。 跟踪训练 4.某风暴中心位于某海礁 A处，距离风暴中心 A正西方向150 km的 B处有一艘轮船，正 以北偏东0(0为锐角)方向航行，速度为 30 km/h.已知距离风暴中心75√3 km 以内 的水域受其影响. (1)若轮船不被风暴影响，求角θ的正切值 的最大值； (2)若轮船航行方向为北偏东45°,求轮船被 风暴影响的持续时间. 提示 请完成《素能提升训练》训练二十 2.5.2 圆与圆的位置关系 [学习任务] 1.理解圆与圆的位置关系.(重点、易错点) 2.掌握判断圆与圆的位置关系的代数方法与几何方法，并能进行两圆位置关系的判断. (重点、难点) 62 探究三 [例3][解] 法一 设顶点C(x,y),因为AC⊥BC,且 A,B,C三点不共线，所以x≠3,且x≠-1. 又因为kw=￥1·kw=一3,且kx·k=-1, 所以一十·-一3=-1,化简，得x2+y2-2x-3=0. 所以直角顶点C的轨迹方程为 x2+y2-2x-3=0(x≠3,且x≠-1). 法二 同法一，得x≠3,且x≠-1. 由勾股定理，得|ACl2+|BCl2=|AB|2, 即(x+1)2+y2+(x-3)2+y2=16, 化简得 x2+y2-2x-3=0. 所以直角顶点C的轨迹方程为 x2+y2-2x-3=0(x≠3,且x≠-1). 法三 设AB的中点为D,由中点坐标公式， 得 D(1,0). 由直角三角形的性质，知|CD|==|AB|=2. 由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，以2 为半径长的圆(因为A,B,C三点不共线，所以应除去与 x轴的交点).设C(x,y),则直角顶点C的轨迹方程为 (x-1)2+y2=4(x≠3,且x≠-1). [跟踪训练] 3.A 设M(x,y),B(a,b).因为点M是线段AB上靠近 A的三等分点，所以a=3x-6,b=3y-6.又点 B是圆 x2+y2=1上的动点，所以(3x-6)2+(3y-6)2=1,即 (x-2)2+(y-2)3=5. 2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1直线与圆的位置关系 【自主学习探新知】 知识点 1.两个 一个 没有 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解] 法一 将直线mx-y-m-1=0代入圆 的方程化简整理得， (1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0. ∵△=4m(3m+4), m<-含(1)∴当△>0时，即m>0或 时，直线与圆相 交，即直线与圆有两个公共点； (2)当A=0时，即m=0或m=-专4时，直线与圆相切， 即直线与圆只有一个公共点； (3)当△<0时，即一壹<m<0时，直线与圆相离， 即直线与圆没有公共点. 法二 已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4, 即圆心为C(2,1),半径r=2. 圆心C(2,1)到直线mx—y-m-1=0的距离d= 12m-1-m-11=1m-21 √1+m2 √1+m2 m<-(1)当d<2时，即m>0或： 时，直线与圆相交， 即直线与圆有两个公共点； m=-号(2)当 d=2时，即m=0或 时，直线与圆相切， 即直线与圆只有一个公共点； (3)当d>2时，即一言<m<0时，直线与圆相离，即直 线与圆没有公共点. [跟踪训练] 1.解析(1)直线ax+y-a=0即a(x-1)+y=0,恒过 定点(1,0),因为(1-2)2+02<4,所以点(1,0)在圆(x -2)2+y2=4的内部，所以直线ax+y-a=0与圆(x -2)2+y2=4相交.故选 B. (2)易知圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1,因为圆 x2+y2=1与直线x-√3y+m=0有两个不同的交点， 中<1,整理所以圆心到直线的距离小于1,即- 得|m|<2,解得-2<m<2.故选 B. 答案 (1)B (2)B 探究二 [例2][解析](1)因为(√3)2+(3-2)2=4,所以点 (√3,3)在圆C上.由圆C的方程，知圆心为C(0,2),所 一5,所以过圆心C与点(√3,3)的直线的斜率为 以直线l的斜率为一√3.对应的倾斜角为120°.故选 C. (2)圆的方程可化为(x-1)2+y2=1,则圆心为(1,0), 半径为1,则点(0,2)在圆外，显然x=0是其中一条切 线.当切线斜率存在时，设切线方程为kx-y+2=0,则 -1--·,所以切线方程为3x+4y-8=0. 综上，切线方程为x=0或3x+4y-8=0.故选 BC. [答案](1)C (2)BC [跟踪训练] 2.解析(1)圆(x-1)2+(y-b)2=2的圆心坐标为(1, -,11+6I-b),半径为√2.根据题意，得- 2,解得b=1或b=-3.故选 D. (2)如图，过点P作圆C的一条切线， y+ 切点为 Q,连接 PC,CQ,则三角形 P PCQ为直角三角形，且∠CQP=90°. 而|CPl2=32+12=10,|CQ|=r=1, Q 所以|PQI2=|PCl2-|CQl2=10-1 基 =9, 则|PQ|=3. 依题意斜率存在，可设直线l:y=kx+1, 即kx-y+1=0, 30 面心C(3.0)到直线4的理离为d=4十号-1. 整理得4k2+3k=0,解得k=—二或k=0, 故直线l的方程为y=1或3y+4y-4=0. 答案(1)D(2)3 y=1或3x+4y-4=0 探究三 [例3][解]法一圆C:x2+y2-2y-4=0可化为 x2+(y-1)2=5, 其圆心坐标为(0,1),半径 r=√5. 点(0,1)到直线l的距离为d=3×CT=2 l=2√r2-d=√10,所以截得的弦长为√10. 法二 设直线l与圆C交于A,B两点. 由y-2--0得交点A(1,3),B(2,0), 所以弦AB的长为|AB|=√(2-1)2+(0-3)2=√10. [跟踪训练] 3.解析 (1)因为直线 y=kx+3被圆(x-2)2+(y-3)2 =4截得的弦长为2√3,所以圆心C(2,3)到直线的距离 -1.d=√4-(√3)2=1,所以 得k=土得，,故选 D. (2)设点A(3,1),易知圆心C(2,2),半径r=2.当弦过 点A(3,1)且与 CA 垂直时为最短弦，|CA|= √(2-3)2+(2-1)2=√2.∴半弦长为√r2-|CA2= √4-2=√2.∴最短弦的长为2√2. 答案 (1)D(2)2√2 探究四 [例4] [解] 以 AB所在直线为 ty P x轴，线段 AB的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系， 如图所示，设A(-5,0), A 0 B x 则 B(5,0). 在坐标平面内任取一点 P(x,y), 设从 A运货到P地的运费为2a元/千米， 则从B运货到P地的运费为a元/千米. 若 P地居民选择在A地购买此商品， 则2a√(x+5)2+y2<a√(x-5)2+y2, (x+等)+y<(等)·整理得 即点P在圆C:(x+警)+y=(鲁)的内部. 也就是说，圆C内的居民应在A地购物. 同理可推得圆C外的居民应在B地购物. 圆 C上的居民可随意选择A,B两地之一购物. [跟踪训练] 4.解 (1)以A为原点，BA的方向为x轴正方向建立平面 直角坐标系. 设圆 A为以坐标原点为圆心，75√3为半径的圆，要使轮 船不被风暴影响，则当航行路线正好与圆A相切时，角 θ最大， 此时由|AB|=150,r=75√3,得否-0=零，则0=否， amo-哥，,即角θ的正切值的最大值为 (2)由题意知航行路线所在直线的方程为x-y+150 =0, 圆心 A到该直线的距离为d==75√2 所以该直线与圆A相交的弦长为2√F2-d2=150, 30-5(h).则轮船被风暴影响的持续时间为 2.5.2圆与圆的位置关系 【自主学习探新知】 知识点 1.r?+r?lr?-r?Ir?-r?lr?+r? 2.相交 内切或外切 内含或外离 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解] 法一 (几何法)把圆C?的方程化为标准 方程，得(x+2)2+(y+2)2=10.圆C,的圆心坐标为 (-2,-2),半径r?=√10. 把圆C?的方程化为标准方程，得 (x-1)2+(y-4)2=25. 圆C?的圆心坐标为(1,4),半径r?=5. 圆 C?和圆C?的圆心距 d=√(-2-1)2+(-2-4)2=3√5, 又圆 C?与圆C?的两半径长之和是r?+r?=5+√10, 两半径长之差是r?-r?=5-√10. 而 5-√10<3√5<5+√10, 即r?-r?<d<r?+r?, 所以两圆的位置关系是相交. 法二 (代数法)将两圆的方程联立得到方程组 C+y-4 ② 由①—②得x+2y+1=0, ③ 由③得x=-2y-1,把此式代入①, 并整理得y2-1=0, 所以y?=1,y?=-1,代入x+2y+1=0得x?=-3, x?=1. 所以圆 C?与圆 C?有两个不同的公共点(-3,1), (1,-1),即两圆的位置关系是相交. [跟踪训练] 1.解 将两圆的方程写成标准方程为 C:(x-a)2+(y+2)2=9,C?:(x+1)2+(y-a)2=4. 所以两圆的圆心和半径分别为 C?(a,-2),r?=3,C?(-1,a),r?=2. 设两圆的圆心距为d, 31 ①