2.4.2 圆的一般方程-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教A版2019）

?高中数学·选择性必修 第一册 2.4.2 圆的一般方程 AI样学助手 在抵答键 配套答案 梳理 补缺 [学习任务] 1.正确理解圆的一般方程的形式及特点，会由一般方程求圆心和半径.(重点) 2.会在给定的条件下求圆的一般式方程.(重点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 圆的一般方程 1.圆的一般方程的概念 当 时，二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程. 2.圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)表示的圆的圆心为 _,半径长为 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 圆的一般方程的概念 [例1] 若方程x2+y2+2mx—2y+m2+5m =0表示圆，求： (1)实数 m的取值范围； (2)圆心坐标和半径. 跟踪训练 1.判断下列方程是否表示圆，若是，写出圆心 和半径. (1)3x2+y2+2x+1=0; (2)x2+y2+xy+1=0; (3)x2+y2+x+2y+1=0; (4)x2+y2-4ax-2√3ay+6a2=0. |规律方法|Ⅱ- 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的两种判断方法 (1)配方法：对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二 元二次方程可以通过配方变形为“标准”形式后，观察 是否表示圆。 (2)定义法：判断 D2+E2-4F是否大于零，确定 它是否表示圆. 58 第二章 直线和圆的方程 探究二 求圆的一般方程 [例2] 已知 A(2,2),B(5,3),C(3,—1),求 △ABC的外接圆的方程. 跟踪训练 2.(1)过点M(一1,1),且圆心与已知圆C: x2+y2-4x+6y-3=0相同的圆的方程为 (2)过三点O(0,0),M(7,1),N(4,2)的圆的 一般方程为 探究三 与圆有关的轨迹问题 [例 3] 已知直角△ABC的斜边为 AB,且 A(-1,0),B(3,0),求直角顶点C的轨迹 方程. □变式训练 1.(变结论)例题中若“点M(a,2)在△ABC的 外接圆上”,其他条件不变，试求a的值. I规律方法|l--⋯ 解决与圆有关的轨迹问题的方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程。 (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程。 (3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已 知点满足的关系式等. 2.(变条件)例中将“点C(3,—1)”改为“圆C 过A,B两点且圆关于直线y=一x对称”, 其他条件不变，如何求圆的方程? |Ⅱ规律方法|Ⅱ 用待定系数法求圆的一般方程的步骤 (1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2+y2+ Dx+Ey+F=0; (2)根据已知条件，建立关于D,E,F的方程组； (3)解此方程组，求出D,E,F的值； (4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所 求的圆的一般方程。 跟踪训练 3.(四川雅安高二月考)已知 A(3,3),点 B是 圆x2+y2=1上的动点，点M是线段 AB上 靠近A的三等分点，则点M的轨迹方程是 () A.(a-2)2+(y-2)2=9 B.(a-2)2+(y+2)2=g C.(z-3)2+(y-3)2=3 D.(a-3)2+(y+3)2=3 易错 忽略圆的一般方程应满足的 警示 条件致错 [典例] 已知圆的方程是 x2+y2+kx+2y+ k2=0,且点(1,2)在圆外，求实数k的取值范围. (a+令)2+[错解] 将圆的方程配方，得 (y+1)2=4-32, 59 ?高中数学·选择性必修 第一册 √4-3(一,—1),所以圆心坐标为 ,半径为- (1+会)+(2+因为点(1,2)在圆外，所以 1)2>4-32,即k2+k+9>0. 结合二次函数 y=k2+k+9的图象，知对一 切k∈R,上述不等式恒成立，故实数k的取 值范围是 R. [错解分析] 由于方程 x2+y2+kx+2y+ k2=0 表示圆，故应该满足条件 4—3k2>0. 由于审题不仔细，未挖掘出这个隐含条件， 导致出错. [正解] 结合错解的结论再加上条件 4— 3k2>0,可 解 得 实 数 k的 取 值 范 围 是|-23<k<23 Ⅱ误区警示|Ⅱ 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的前提是 D2+E2-4F>0,因此在判断形如x2+y2+Dx+Ey+ F=0的方程是否表示圆时，不能忽略 D2+E2-4F>0 这一条件. 提示请完成《素能提升训练》训练十九 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1 直线与圆的位置关系 [学习任务] 1.掌握直线与圆的三种位置关系.(重点) 2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的位置关系.(重点、难点) 3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.(难点、易错点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 直线与圆的位置关系 1.直线与圆的三种位置关系 位置关系 交点个数 图示 相交 有 公共点 d 相切 只有 公共点 d 相离 公共点 d -1 2.直线与圆的位置关系的判断 位置关系 相交 相切相离 几何法：设圆心到直线的距离 d=IAaA+FC d<r d=r d>r 判定方法 a-a2+6-65-代数法：由 4>0 △=0△<0 消元得到一元二次方程的判别式△ 60 的圆， 设兰=k,即y=kx, 当直线 y=kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值， 十-5,解得A-土(.此时- 故学!的最大值为√3,最小值为-√3. [变式训练] 1.解 设y-x=b,即y=x+b, 当 y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小 1225,b=-2±值，此时- 故y-x的最大值为-2+√6,最小值为-2-√6. 2.解 x2+y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面 几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点 处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为 2,故 (x2+y2)mx=(2+√3)2=7+4√3, (x2+y2)⋯=(2-√3)2=7-4√3. [跟踪训练] 3.A 设圆心为M(a,b).由圆M的半径为1,可得圆M的 标准方程是(x-a)2+(y-b)2=1.将点(3,4)的坐标代 入圆M的方程，得(3-a)2+(4-b)2=1,即(a-3)2+ (b-4)2=1,所以圆心(a,b)在以(3,4)为圆心，1为半径 的圆N上.圆N的圆心(3,4)到原点的距离为√32+4 =5,则圆N上的点到原点的最短距离是5—1=4,即圆 M的圆心(a,b)到原点的距离的最小值为4.故选 A. 2.4.2圆的一般方程 【自主学习探新知】 2.(-2,-是)知识点 1.D2+E2-4F>0 ÷√D2+E2-4F 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)因为方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m =0表示圆， 所以 D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0, m<言，即 4m2+4-4m2-20m>0,解得 (-~,号).故m的取值范围为 (2)将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0写成标准方 程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m, 可得圆心坐标为(一m,1),半径r=√1-5m. [跟踪训练] 1.解 (1)由于x2,y2的系数不相等，所以该二元二次方 程表示的不是圆. (2)由于该二次方程中含有xy项，所以该二元二次方程 表示的不是圆. (3)由于D2+E2-4F=1+4-4>0,所以该二元二次方 程表示的是圆.又由 x2+y2+x+2y+1=0 可得 (x+去)+(y+1=÷, 所以它表示以(-号，-1);)为圆心，以去为半径的圆. (4)方程可变形为(x-2a)2+(y-√3a)2=a2.当a=0 时，方程表示点(0,0);当a≠0时，方程表示圆心坐标是 (2a,√3a),半径是|a|的圆. 探究二 [例2][解] 设△ABC外接圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 由题意得 解得 即△ABC的外接圆方程为x2+y2-8x-2y+12=0. [变式训练] 1.解 设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, (22+22+2D+2E+F=0, 5+8+5D+3E+F-0,由题意得 解得 {32+(-1)2+3D-E+F=0, 即△ABC的外接圆方程为x2+y2-8x-2y+12=0. 又因为点 M(a,2)在所求的圆上， 故点 M(a,2)的坐标满足圆的方程， 可得a2+22-8a-2×2+12=0, 即a2—8a+12=0,解得a=2或a=6. 2.解 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则圆心是(-2,一昱), ,因为圆关于直线 y=-x对称， 则直线 y=-x经过圆心，即圆心在直线 y=-x上， 可得一告-号，,即 D=-E.又圆过点A(2,2),B(5,3), +0+-由此可得， 解得 D=-13,E=13,F=-8, 故圆的一般方程是x2+y2-13x+13y-8=0. 「跟踪训练 2.解析 (1)将已知圆的方程化为标准方程(x-2)2+ (y+3)2=16,圆心C的坐标为(2,-3),半径为4,故所 求圆的半径为 r=|CM|=√(2+1)2+(-3-1)2=5. 所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25. (2)设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+ E2-4F>0).由已知，点O(0,0),M(7,1),N(4,2)的坐 标满足上述方程，分别代入方程，可得关于 D,E,F的三 元一次方程组 解方程组得 D= -8,E=6,F=0,于是得到所求圆的一般方程为 x2+ y2-8x+6y=0. 答案 (1)(x-2)2+(y+3)2=25(2)x2+y2-8r+ 6y=0 29 探究三 [例3][解] 法一 设顶点C(x,y),因为AC⊥BC,且 A,B,C三点不共线，所以x≠3,且x≠-1. 又因为kw=￥1·kw=一3,且kx·k=-1, 所以一十·-一3=-1,化简，得x2+y2-2x-3=0. 所以直角顶点C的轨迹方程为 x2+y2-2x-3=0(x≠3,且x≠-1). 法二 同法一，得x≠3,且x≠-1. 由勾股定理，得|ACl2+|BCl2=|AB|2, 即(x+1)2+y2+(x-3)2+y2=16, 化简得 x2+y2-2x-3=0. 所以直角顶点C的轨迹方程为 x2+y2-2x-3=0(x≠3,且x≠-1). 法三 设AB的中点为D,由中点坐标公式， 得 D(1,0). 由直角三角形的性质，知|CD|==|AB|=2. 由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，以2 为半径长的圆(因为A,B,C三点不共线，所以应除去与 x轴的交点).设C(x,y),则直角顶点C的轨迹方程为 (x-1)2+y2=4(x≠3,且x≠-1). [跟踪训练] 3.A 设M(x,y),B(a,b).因为点M是线段AB上靠近 A的三等分点，所以a=3x-6,b=3y-6.又点 B是圆 x2+y2=1上的动点，所以(3x-6)2+(3y-6)2=1,即 (x-2)2+(y-2)3=5. 2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1直线与圆的位置关系 【自主学习探新知】 知识点 1.两个 一个 没有 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解] 法一 将直线mx-y-m-1=0代入圆 的方程化简整理得， (1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0. ∵△=4m(3m+4), m<-含(1)∴当△>0时，即m>0或 时，直线与圆相 交，即直线与圆有两个公共点； (2)当A=0时，即m=0或m=-专4时，直线与圆相切， 即直线与圆只有一个公共点； (3)当△<0时，即一壹<m<0时，直线与圆相离， 即直线与圆没有公共点. 法二 已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4, 即圆心为C(2,1),半径r=2. 圆心C(2,1)到直线mx—y-m-1=0的距离d= 12m-1-m-11=1m-21 √1+m2 √1+m2 m<-(1)当d<2时，即m>0或： 时，直线与圆相交， 即直线与圆有两个公共点； m=-号(2)当 d=2时，即m=0或 时，直线与圆相切， 即直线与圆只有一个公共点； (3)当d>2时，即一言<m<0时，直线与圆相离，即直 线与圆没有公共点. [跟踪训练] 1.解析(1)直线ax+y-a=0即a(x-1)+y=0,恒过 定点(1,0),因为(1-2)2+02<4,所以点(1,0)在圆(x -2)2+y2=4的内部，所以直线ax+y-a=0与圆(x -2)2+y2=4相交.故选 B. (2)易知圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1,因为圆 x2+y2=1与直线x-√3y+m=0有两个不同的交点， 中<1,整理所以圆心到直线的距离小于1,即- 得|m|<2,解得-2<m<2.故选 B. 答案 (1)B (2)B 探究二 [例2][解析](1)因为(√3)2+(3-2)2=4,所以点 (√3,3)在圆C上.由圆C的方程，知圆心为C(0,2),所 一5,所以过圆心C与点(√3,3)的直线的斜率为 以直线l的斜率为一√3.对应的倾斜角为120°.故选 C. (2)圆的方程可化为(x-1)2+y2=1,则圆心为(1,0), 半径为1,则点(0,2)在圆外，显然x=0是其中一条切 线.当切线斜率存在时，设切线方程为kx-y+2=0,则 -1--·,所以切线方程为3x+4y-8=0. 综上，切线方程为x=0或3x+4y-8=0.故选 BC. [答案](1)C (2)BC [跟踪训练] 2.解析(1)圆(x-1)2+(y-b)2=2的圆心坐标为(1, -,11+6I-b),半径为√2.根据题意，得- 2,解得b=1或b=-3.故选 D. (2)如图，过点P作圆C的一条切线， y+ 切点为 Q,连接 PC,CQ,则三角形 P PCQ为直角三角形，且∠CQP=90°. 而|CPl2=32+12=10,|CQ|=r=1, Q 所以|PQI2=|PCl2-|CQl2=10-1 基 =9, 则|PQ|=3. 依题意斜率存在，可设直线l:y=kx+1, 即kx-y+1=0, 30