2.4.1 圆的标准方程-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教A版2019）

第二章 直线和圆的方程 易错求直线方程时忽略斜率不存在 警示 的情况致错 [典例] 已知直线l过点A(1,2),且原点到直 线l的距离为1,求直线l的方程. [错解] 由题意设直线l的方程为y-2= k(x-1),即kx—y—k+2=0.因为原点到直 +21-1,解得a-线l的距离为1,所以- 314 y-2=:(a-1),所以所求直线l的方程为 即3x—4y+5=0. [错解分析] 符合题意的直线有两条，错解 中忽略了斜率不存在的情况，从而只得到了 一条直线. [正解] 当直线l过点A(1,2)且斜率不存 在时，直线l的方程为x=1,原点到直线l 的距离为1,满足题意. 当直线l过点A(1,2)且斜率存在时，由题意 设直线l的方程为y-2=k(x—1),即 kx— y—k+2=0. 因为原点到直线l的距离为1, R+2=1,解得a=4所以 所以所求直线l的方程为 y-2=2(a-1),即3x-4y+5=0. 综上所述，所求直线 l的方程为x=1 或 3x—4y+5=0. |误区警示|Ⅱ . 当用待定系数法确定直线的斜率时，一定要对斜 率是否存在进行讨论，否则容易犯解析不全的错误. 提示、请完成《素能提升训练》训练十七 2.4 圆的方程 2.4.1 圆的标准方程 [学习任务] 1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特点.(重点) 2.会根据已知条件求圆的标准方程.(重点、难点) 3.能准确判断点与圆的位置关系.(易错点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 圆的标准方程 1.圆的定义：平面上到 的距离等于 的点的集合叫做圆，定点称为圆 心，定长称为圆的半径. 2.圆的要素： 和 ,如图所示. fy 0 A M 3.圆的标准方程：圆心为A(a,b),半径为r的 圆的标准方程是 当 a=b=0时，方程为x2+y2=r2,表示以 为圆心、半径为r的圆. 知识点二 点与圆的位置关系 点M(xo,y?)与圆C:(x—a)2+(y—b)2 =r2的位置关系及判断方法 位置关系 利用距 离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|=r (x?-a)2+(y?-b)2=r2 点M在圆外 |CM|>r (x?-a)2+(y?-b)2>r2 点M在圆内 CM|<r (x。-a)2+(y?-b)2<r2 55 ?高中数学·选择性必修 第一册 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 求圆的标准方程 [例1] 求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆 心在直线 2x+3y+1=0上的圆的标准 方程. 探究二 点与圆的位置关系 [例2] 已知两点P?(4,9)和P?(6,3). (1)求以 P?P?为直径的圆 的方程； 10f 5 P? (2)试判断点 M(6,9), 0 N(3,3),Q(5,3)是在圆上、 在圆内、还是在圆外. Ⅱ规律方法|------- 确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a,b)及 半径r,其求解的方法：一是待定系数法，建立关于a, b,r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何 性质直接求得圆心坐标和半径。 一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几 何性质作转化较为简捷。 跟踪训练 1.(1)(深圳中学月考)已知圆C的一条直径的 端点坐标分别是(4,1),(一2,3),则圆C的 标准方程是 ( ) A.(x+1)2+(y+2)2=10 B.(x—1)2+(y-2)2=40 C.(x—1)2+(y-2)2=10 D.(x+1)2+(y+2)2=40 (2)(开封高中月考)圆心为直线x—y+2= 0与直线 2x+y-8=0的交点，且过原点的 圆的标准方程是 . 规律方法l 判断点与圆的位置关系的方法 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较 大小. (2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程 来判断。 点P(x?,y。)在圆C上台(x?-a)2+(y。-b)2=r; 点P(x?,y。)在圆C内?(x?-a)2+(y?-b)2<r2; 点P(x?,y。)在圆C外?(x?-a)2+(y?-b)2>r. □跟踪训练 2.(1)(江西师大附中高二期中)若点P的坐标 是(5cosθ,4sinθ),圆C的方程为x2+y2= 25,则 ( ) A.点P在圆C内 B.点P在圆C上 C.点P在圆C内或圆C上 D.点P在圆C上或圆C外 (2)若点 A(a+1,3)在圆C:(x—a)2+(y— 1)2=m的内部，则实数 m的取值范围是 ( ) B.(5,+○)A.(5,十○) C.(0,5) D.[0,5] 56 10× 第二章 直线和圆的方程 探究三 与圆有关的最值问题 [例3] 已知实数 x,y满足方程(x—2)2+ y2=3.求的最大值和最小值. □变式训练 1.(变设问)在本例条件下，求y—x的最大值 和最小值. 2.(变设问)在本例条件下，求x2+y2的最大 值和最小值. 规律方法-⋯ 与圆有关的最值问题常见的几种类型 (1)形如u=二a开 影式的最值问题，可转化为过点 (x,y)和(a,b)的动直线斜率的最值问题； (2)形如l=ax+by形式的最值问题，可转化为动 直线 y=-ax+方截距的最值问题； (3)形如(x—a)2+(y-b)2形式的最值问题，可转 化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离的平方的最值问题。 跟踪训练 3.已知半径为1 的圆经过点(3,4),则其圆心 到原点的距离的最小值为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 易错 对圆心位置考虑不全致错 警示 [典例](江西高一月考)已知某圆圆心C在x 轴上，半径为5,且在y轴上截得的线段 AB的 长为8,则圆C的标准方程为 ( ) A.(x+3)2+y2=25 B.x2+(y±3)2=25 C.(x±3)2+y2=5 D.(x±3)2+y2=25 [错解] 如图，连接AC.由题 y* 设知|AB|=8,|AC|=5.在 Rt △AOC 中，|OC|= √|AC|2-|OA|2= √52-42 c o B =3.所以点C的坐标为(-3,0),所以圆C 的标准方程为(x+3)2+y2=25.故选 A. [错解分析] 由题意可求得|OC|=3.点C 在x轴上，则点C可能在x轴正半轴上，也 可能在x轴负半轴上，错解只考虑了点C在 x 轴负半轴上的情况。 [正解] 法一 如图，连接 AC. 由题设知|AC|=5,|AB|=8,所以|AO|=4. 在Rt△AOC中，|OC|=√IACI2-|AOl2 =√52-42=3. 设点C的坐标为(a,0),则|OC|=|a|=3, 所以 a=±3. 所以圆C的标准方程为(x+3)2+y2=25或 (x—3)2+y2=25.故选D. 法二 由题意设圆C的标准方程为 (x—a)2+y2=25. 因为圆C截y 轴所得线段长为8, 所以圆C过点(0,4),(0,—4). 将点(0,4)的坐标代入圆C的方程得 a2+16=25,所以a=±3, 所以圆C的标准方程为(x+3)2+y2=25或 (x—3)2+y2=25.故选D. [答案] D |误区警示|l 解析几何中，涉及距离问题时，一定要加绝对值， 否则容易漏解。 提示、请完成《素能提升训练》训练十八 57 2y+8=0.由平行直线间的距离公式可知，l?与l?间的 距高4-故选 A. 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解] 法一(待定系数法)设圆的标准方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2,答案 (1)A (2)A 探究三 -m#则有<[例3] [解] 设与直线l:x+3y-5=0平行的边所在的 直线方程为l:x+3y+c=0(c≠-5). {2+2*1=由 得正方形的中心坐标为 P(-1,0), 由点 P到两直线l,l?的距离相等， 得」 ∴圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25. 法二 (几何法)由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线 为x+y-1=0. ∵弦的垂直平分线过圆心， .{∴由(解得c=7或 c=-5(舍去). ∴l?:x+3y+7=0. 即圆心坐标为(4,-3), 半径 r=√42+(-3)2=5. ∴圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25. 又正方形另两边所在直线与l垂直， ∴设另两边所在直线的方程分别为 3x-y+a=0,3x-y+b=0. ∵正方形中心到四条边的距离相等， :+- 解得a=9或a=-3, 同理得 b=9或 b=-3. [跟踪训练] 1.解析(1)已知圆C的一条直径的端点坐标分别是 (4,1),(—2,3),故利用中点坐标公式求得圆心为(1,2), 3×√(4+2)2+(1-3)利用两点间距离公式得半径为· =号√40=√10,故圆的标准方程为(a-1)°+(y-2)2 ∴另两条边所在的直线方程分别为 =10.故选 C.3x-y+9=0,3x-y-3=0. ∴另外三边所在的直线方程分别为 2-++=8-0, =(2)由 可得 即圆心为(2,4),因为 圆过原点，所以圆的半径r= √(2-0)2+(4-0)2= 3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0. [跟踪训练] 3.解析 (1)因为点M(a,b)在直线4x-3y+c=0上，那么 2√5,故圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=20. (a-1)2+(b-1)2的最小值就是定点(1,1)到直线4x- y十c=0的距离d的平方，所以4—14×1-3×1+c 答案(1)C(2)(x-2)2+(y-4)2=20 探究二 [例2][解](1)设圆心C(a,b),半径长为r, =2,解得 c=-11或 9. 则由C为P?P?的中点， (2)易知BC中点为M(1,0),又km=23,所以AB的 方程为y+1=+3(x+3),即3x-(m+3)y-m+6= y-1=m-5(a-5),即 x-(m-5) 得a=4t?=5,b=?±3=6. 又由两点间的距离公式得 r=|CP?|=√(4-5)2+(9-6)2=√10, 故所求圆的方程为(x-5)2+(y-6)2=10. 0.同理 AC的方程为 |3-m+6| y+m-10 = 0,依 题 意 有 (2)由(1)知，圆心C(5,6),则分别计算点到圆心的距离 |CM|=√(6-5)2+(9-6)2=√10, |CN|=√(3-5)2+(3-6)2=√13>√10, |CQl=√(5-5)2+(3-6)2=3<√10. 因此，点 M在圆上，点 N在圆外，点Q在圆内. √32+(m+3) |1+m-10l ,解得 m<去。√12+(m-5) (2)(-~·2)答案 (1)-11或9 [跟踪训练] 2.4圆的方程 2.解析(1)因为(5cos0)2+(4sin0)2=16+9cos2θ≤25, 所以点 P在圆C 内或圆C上. 2.4.1圆的标准方程 (2)由题意，得(a+1-a)2+(3-1)2<m,解得m>5. 【自主学习探新知】 答案 (1)C (2)A 探究三知识点一 1.定点 定长 2.圆心 半径 3.(x-a)2+ (y-b)2=r2原点 [例3][解] 原方程表示以点(2,0)为圆心，√3为半径 28 的圆， 设兰=k,即y=kx, 当直线 y=kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值， 十-5,解得A-土(.此时- 故学!的最大值为√3,最小值为-√3. [变式训练] 1.解 设y-x=b,即y=x+b, 当 y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小 1225,b=-2±值，此时- 故y-x的最大值为-2+√6,最小值为-2-√6. 2.解 x2+y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面 几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点 处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为 2,故 (x2+y2)mx=(2+√3)2=7+4√3, (x2+y2)⋯=(2-√3)2=7-4√3. [跟踪训练] 3.A 设圆心为M(a,b).由圆M的半径为1,可得圆M的 标准方程是(x-a)2+(y-b)2=1.将点(3,4)的坐标代 入圆M的方程，得(3-a)2+(4-b)2=1,即(a-3)2+ (b-4)2=1,所以圆心(a,b)在以(3,4)为圆心，1为半径 的圆N上.圆N的圆心(3,4)到原点的距离为√32+4 =5,则圆N上的点到原点的最短距离是5—1=4,即圆 M的圆心(a,b)到原点的距离的最小值为4.故选 A. 2.4.2圆的一般方程 【自主学习探新知】 2.(-2,-是)知识点 1.D2+E2-4F>0 ÷√D2+E2-4F 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)因为方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m =0表示圆， 所以 D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0, m<言，即 4m2+4-4m2-20m>0,解得 (-~,号).故m的取值范围为 (2)将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0写成标准方 程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m, 可得圆心坐标为(一m,1),半径r=√1-5m. [跟踪训练] 1.解 (1)由于x2,y2的系数不相等，所以该二元二次方 程表示的不是圆. (2)由于该二次方程中含有xy项，所以该二元二次方程 表示的不是圆. (3)由于D2+E2-4F=1+4-4>0,所以该二元二次方 程表示的是圆.又由 x2+y2+x+2y+1=0 可得 (x+去)+(y+1=÷, 所以它表示以(-号，-1);)为圆心，以去为半径的圆. (4)方程可变形为(x-2a)2+(y-√3a)2=a2.当a=0 时，方程表示点(0,0);当a≠0时，方程表示圆心坐标是 (2a,√3a),半径是|a|的圆. 探究二 [例2][解] 设△ABC外接圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 由题意得 解得 即△ABC的外接圆方程为x2+y2-8x-2y+12=0. [变式训练] 1.解 设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, (22+22+2D+2E+F=0, 5+8+5D+3E+F-0,由题意得 解得 {32+(-1)2+3D-E+F=0, 即△ABC的外接圆方程为x2+y2-8x-2y+12=0. 又因为点 M(a,2)在所求的圆上， 故点 M(a,2)的坐标满足圆的方程， 可得a2+22-8a-2×2+12=0, 即a2—8a+12=0,解得a=2或a=6. 2.解 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则圆心是(-2,一昱), ,因为圆关于直线 y=-x对称， 则直线 y=-x经过圆心，即圆心在直线 y=-x上， 可得一告-号，,即 D=-E.又圆过点A(2,2),B(5,3), +0+-由此可得， 解得 D=-13,E=13,F=-8, 故圆的一般方程是x2+y2-13x+13y-8=0. 「跟踪训练 2.解析 (1)将已知圆的方程化为标准方程(x-2)2+ (y+3)2=16,圆心C的坐标为(2,-3),半径为4,故所 求圆的半径为 r=|CM|=√(2+1)2+(-3-1)2=5. 所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25. (2)设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+ E2-4F>0).由已知，点O(0,0),M(7,1),N(4,2)的坐 标满足上述方程，分别代入方程，可得关于 D,E,F的三 元一次方程组 解方程组得 D= -8,E=6,F=0,于是得到所求圆的一般方程为 x2+ y2-8x+6y=0. 答案 (1)(x-2)2+(y+3)2=25(2)x2+y2-8r+ 6y=0 29