2.2.3 直线的一般式方程-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教A版2019）

?高中数学·选择性必修 第一册 2.2.3 直线的一般式方程 [学习任务] 1.掌握直线的一般式方程，理解直线的一般式方程与二元一次方程.(重点、难点) 2.能正确进行直线方程的关系五种形式之间的转化.(难点、易混点) 3.能用直线的一般式方程解决有关问题. 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 直线的一般式方程 1.定义：关于x,y的二元一次方程 (其中 A,B不同时为0)叫做直 线的一般式方程，简称一般式. 一合=k(斜2.系数的几何意义：当B≠0时，则- 率),-g=b(y轴上的截距); 当B=0,A≠0时，则一S=a(π轴上的 截距),此时不存在斜率. 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 直线的一般式方程 [例1] 根据下列条件分别写出直线的方程， 并化为一般式方程. (1)斜率是√3,且经过点 A(5,3); (2)斜率为4,在y轴上的截距为-2; (3)经过 A(-1,5),B(2,-1)两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别为-3,-1. |Ⅱ规律方法|Ⅱ- 关于直线的一般式方程与其他形式的方程 一般情况下，直线的一般式方程与直线的点斜式、 斜截式、两点式、截距式都可以进行互化，但是最常用 的是一般式方程化斜截式方程，可以得出斜率及 y轴 上的截距，用于作图或转化解题。 跟踪训练 1.(陕西高一期末)求经过点 A(—2,3),B(4, —1)的直线的两点式方程，并把它化成一般 式、斜截式和截距式. 48 第二章 直线和圆的方程 探究二 一般式下直线的平行和垂直问题 [例2] (1)如果直线l?:ax+2y-1=0与直 线l?:x+(a+1)y+4=0(a∈R)平行，那么 a= (2)已知直线l?:(k—3)x+(5—k)y+1=0 与l?:2(k-3)x-2y+3=0垂直，则k的值 是 . I规律方法|l⋯⋯ 利用一般式直线方程判断直线位置关系的方法 若直线L?:A?x+B,y+C?=0(A?+B2≠0),l?: A?x+B?y+C?=0(A2+B≠0),则： (1)当 A?B?-A?B?≠0时，l?与l?相交； (2)当 A?B?-A?B?=0且B?C?-B?C?≠0时，l?// l?; (3)当A?B?-A?B?=0且 B?C?-B?C?=0时，L? 与L?重合； (4)当A?A?+B?B?=0时，l?⊥l? 跟踪训练 2.(1)已知直线l?:x+my+6=0 和l?:mx十 4y+2=0互相平行，则实数 m的值为( ) A.—2 B.2 C.±2 D.2或4 (2)已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求 满足下列条件的直线l'的方程： ①过点(-1,3),且与l平行； ②过点(-1,3),且与l垂直. 探究三 含参数的一般式方程有关的问题 [例3] 已知直线 l:mx—y-m+4=0. (1)求证直线l恒过定点，并求出该定点 坐标； (2)是否存在实数 m,使得直线与x轴和 y 轴的正半轴都相交?若存在，求出 m的范 围，并求出与两坐标轴围成的三角形面积的 最小值；若不存在，请说明理由. 规律方法|Ⅱ 已知含参数的直线的一般式方程， 求参数的值或取值范围的步骤 审 明条件 明确参数个数，x项、y项的系数及常数项 题 列式子 依 据 (1)表示直线A,B不同时为0 (2)斜率- (B≠0) C(3)在x轴上的截距- (4)在y轴上的截距 求值 检验 结 解方程或不等式求值检验是否符合题意， 论 得出参数的值(范围) 跟踪训练 3.设直线l的方程为(m2—2m—3)x—(2m2+ m—1)y+6—2m=0. (1)已知直线l在x轴上的截距为一3,求m 的值； (2)已知直线l的斜率为1,求m的值. 49 ?高中数学·选择性必修 第一册 易错 对直线平行与垂直时的斜率 警示 关系理解有误 [典例] 已知直线l?:x+2(m-1)y-3=0与 l?:(2m—1)x—(m—1)y+6=0平行，求m 的值. [正解] 当m—1=0,即 m=1 时，直线l? 与l?的斜率均不存在，此时两直线的方程为 l?:x-3=0与l?:x+6=0,所以l?//l?. 当m≠1时，此时两条直线的方程为l?:y= -2(m-1)x+2(m-1)与：y=m-1x+ m61由L?/l?得-2(m-1=m-, 解得m=4, 2(m-1)≠m61,,经检验知，此时有 m=4.所以当l?//l?时，m=1或： I误区警示|| 解题时易出现遗漏m=1,即斜率不存在的情形， 误把k?=k?且b?≠b?当成两条直线平行的条件，忘记 了这一结论是在两条直线斜率都存在，即方程中y前 的系数均不为零的前提下才成立. 提示、请完成《素能提升训练》训练十五 2.3 直线的交点坐标与距离公式 2.3.1 两条直线的交点坐标 AI样学助手 在抵答键 配弯答察 善像 2.3.2 两点间的距离公式 [学习任务] 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标并能判定两条直线的位置关系。 2.掌握两点间的距离公式及其应用.(重点) 3.会运用坐标法证明简单的几何问题. 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 两条直线的交点坐标 直线l?:A?x+B?y+C?=0和直线l?: A?x+B?y+C?=0的位置关系如表所示： {A,x+By+C?=0方程组 的解 A.r+B.v+C=C 一组 无数组 无解 直线l与l?的公共点个数 零个 直线l?与l?的位置关系 重合 知识点二 两点间的距离公式 1.公式：点P?(x?,y?),P?(x?,y?)间的距离公 式|P?P?|=_ 2.文字叙述：平面内两点间的距离等于这两点 的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算 术平方根. 50 s=≥×3m2×3m=z31-2=所以△AOC的面积 6×9mm-2?=×(3m-2+3m?-2+4)≥3× (2√(3m-2)×5m+4)-3×8-等 m=当且仅当 时等号成立，此时点 A 的坐标 为(号，4). (2)当直线AB与x轴垂直时，点A的坐标为(3,9),此 时S?=÷×3×9= 综上所述，△AOC的面积的最小值为 ,此时点 A的坐25 (号，4).标为1 2.2.3直线的一般式方程 【自主学习探新知】 知识点 1.Ax+By+C=0 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解] (1)由直线方程的点斜式得 y-3=√3(x-5),即√3x-y-5√3+3=0. (2)由斜截式得直线方程为y=4x-2, 即4x—y-2=0. ==5-2=(二2.(3)由两点式得 即 2x+y-3=0. -3+=1.(4)由截距式得直线方程为： 即x+3y+3=0. [跟踪训练] -=241.解 过A,B两点的直线的两点式方程为 整理，得 2x+3y-5=0,此为直线方程的一般式. 将方程 2x+3y-5=0移项得3y=-2x+5,等式两边 y=-3x+晋，同时除以 3,得 此为直线方程的斜 截式. 将方程2x+3y-5=0化为2x+3y=5,两边同时除以5 喜mm*mmAmk并整理，得 探究二 [例2][解析](1)当a=0时，不符合题意；当a=-1 时，不符合题意；当a≠0且a≠-1时，l?可化为y= 一x+去可化为y=-a+Tx-a+1·由题意知 -2=-a+1具2≠-a+1,解得a=-2或a=1. (2)由l?⊥l?,得2(k-3)2+(5-k)×(-2)=0,即k2- 5k+4=0,解得k=1或k=4. [答案](1)-2或1 (2)1或4 [跟踪训练] 2.解 (1)因为直线l?的斜率存在，故当l?//l?时，直线l 的斜率也一定存在，所以-高=-”,,解得m=±2. 答案 C y=-÷x+3,(2)法一 l的方程可化为： :.1的钟率为一二. ①∵1与1平行，六1的斜率为一章. 又l'过点(-1,3), y-3=-章(x+1),由点斜式知方程为 即3x+4y-9=0. 号，②∵l'与l垂直，∴l'的斜率为- 又l'过点(-1,3), 由点针式可得方程为y-3-号(x+1), 即 4x-3y+13=0. 法二 ①由'与l平行，可设l'的方程为 3x+4y+m=0(m≠-12). 将点(-1,3)代入上式得m=-9. ∴所求直线的方程为3x+4y-9=0. ②由l'与l垂直，可设l'的方程为4x-3y+n=0. 将(-1,3)代入上式得n=13. ∴所求直线的方程为4x-3y+13=0. 探究三 [例3] [解](1)法一 由mx-y-m+4=0得 (x-1)m+(-y+4)=0. {+4=0,甲=4所以当 时，直线l恒过定点(1,4). 法二 由mx-y-m+4=0得 ty y-4=m(x-1), (1,4) 表示过点(1,4)的点斜式， B 即直线恒过定点(1,4). 0(2)存在实数 m.由(1)知直线 l 恒过第一象限的点(1,4). 得l与x轴和y轴的交点分别为 A(“m?,0),B(0,4-m)(m≠0), 由题意得< 所以 m<0. 所以当m<0时，直线l与x轴和y轴的正半轴都相交. 此时 Soug=÷|OA|·|OB| =2|·4-m="-m =÷|m+16-8 因为m<0, S?om=≥[(-m)+c-9]+4所以， 25 21A =号(√-m--==)+8. √-m-√二-0.Wm=-4时；所以当 △OAB的面积取得最小值 8. [跟踪训练] x=2-2m-3,3.解 (1)令 y=0,则 所以2m2-3=-3, 得m=一号或m=3(合去),所以m=-号. (2)由直线l化为斜截式方程得 y=2m-+m-=x+2m321·2m+--1, 得m=-2或m=-1(舍去).所以m=-2. 2.3直线的交点坐标与距离公式 2.3.1两条直线的交点坐标 2.3.2两点间的距离公式 【自主学习探新知】 知识点一 无数个 相交 平行 知识点二 1.√(x?-x?)2+(y?-y?)2 【互动探究解疑难】 探究一 2+27-[例1] [解](1)解方程组 二=得 因此直线l?和l?相交，交点坐标为(3,-1). (4.-120+8-6(2)方程组 有无数个解，这表明直线 L 和l?重合. 12c+3-3-0(3)方程组 无解，这表明直线l?和l?没 有公共点，故 l?//l?. [跟踪训练] 1.解析 (1)将(2,-1)代入3x+my-1=0可得m=5, 将(2,-1)代入4x+3y-n=0可得n=5,所以m+n =10. {-1.(2+2>-1=0.(2)由 解得 所以直线 l?与 l? 的交点坐标为(-1,1). -2,易知直线 3x+2y+7=0的斜率为 则过点(-1,1)且平行于直线 3x+2y+7=0的直线方 程是y-1=-2(x+1),即3x+2y+1=0.故选D. 答案(1)B(2)D 探究二 [例2][解] 法- ∵|AB|=√(3+3)2+(-3-1) =2√13, |AC|=√(1+3)2+(7-1)2=2√13, |BC|=√(1-3)2+(7+3)2=2√26, ∴|AB|2+|ACI2=|BCl2,且|AB|=|AC|, ∴△ABC是等腰直角三角形。 ∵kw=1225=2Aw=3-3=5=-3,法二 则k·kA=-1,∴AC⊥AB. 又|AC|=√(1+3)2+(7-1)2=2√13, |AB|=√(3+3)2+(-3-1)2=2√13, ∴|AC|=|AB|,∴△ABC是等腰直角三角形. [例3][证明]设 BC所在边为x 轴，以D为原点，建立平面直角坐标 系，如图所示，设A(b,c),C(a,0),则 yt A B(-a,0), B 因为|AB|2=(a+b)2+c2, |ACl2=(a-b)2+c2, |ADI2=b2+c2, |DC|2=a2, o|(D) 所以|AB|2+|ACl2=2(a2+b2+c2), |ADl2+|DCl2=b2+c2+a2, 所以|AB|2+|ACl2=2(|ADI2+|DCl2). [跟踪训练] 2.解 以正三角形的一边所在直线为x ty 轴，此边中线所在直线为y轴，建立平 C 面直角坐标系，如图所示， 则A(一告.0),B(兰-0)·c(o.唇). BA 0 设 P(x,y),则有[PA|2+|PB|2+|PCI2 =(x+2)+y2+(x-2)+y2+x2+(y-5) =3x2+3y2-√3ay+Fu2 =3x2+3(y-唇)+a r(o.唇)∴当 I 时，|PA|2+|PB|2+|PC|2有最小 值 a2. [牛刀小试] 1.解 (1)设点 P关于直线l的对称点为P'(x',y'),则线 段 PP'的中点M在直线l上，且直线PP'垂直于直线l, 二.解得即 ∴点 P'的坐标为(-2,7). 26 亡主