2.2.2 直线的两点式方程-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教A版2019）

第二章 直线和圆的方程 □跟踪训练 3.(1)(白城一中月考)已知直线l?:y=2x十 3a,l?:y=(a2+1)x+3,若l?//l?,则实数 a 三_ (2)(天津七中周练)已知直线l?:y=—2x十 3,l?:y=(2m-1)x-5,若l?⊥l?,则实数 m = 易错 警示 忽略了直线重合的情形致错 [典例] 已知直线L:y=-na-m,l?:y= -m32x-3m,,当l?//l?时，求m的值. m(m-2)=3,解得m=—1或 m=3,即 m 的值为—1或 3. [错解分析] 解本题时忽略直线重合的情 况，导致产生增解m=3. ≠-m [正解] 由l?//l?,得 1=-m-2 解得m=—1. ∴m的值为—1. I误区警示ll- 当两条直线的斜率存在时，两条直线平行的等价 条件是斜率相等且纵截距不相等，解题时容易忽略纵 截距不相等，导致产生增解. -1=-m-2,即[错解] 由 l?//l?,得 提示 请完成《素能提升训练》训练十三 2.2.2 直线的两点式方程 [学习任务] 1.掌握直线方程两点式和截距式的形式、特点及适用范围.(重点) 2.能选择适当的形式求直线方程.(难点、易错点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 直线的两点式与截距式方程 两点式 截距式 条件 经过两点P?(x?,y?)和 P?(x?,y?),其中x?≠ x?,y≠y 在x轴上的截距为a,在 y轴上的截距为b 图形 *P? P 0 Y 0 a 续表 两点式 截距式 方程 适用 范围 不表示 标轴的直线 坐 不表示 直线及过 坐标轴的 的直线 45 ?高中数学·选择性必修 第一册 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 直线的两点式方程 [例1] △ABC的三个顶点分别为 A(一5, 0),B(3,—3),C(0,2),求这个三角形的三 边及 AB边上的中线所在直线的方程. 探究二 直线的截距式方程 [例2](1)在 x,y轴上的截距分别是-3,4 的直线方程是 ( ) A.4x+3y-12=0 B.4x-3y+12=0 C.4x+3y-1=0 D.4x—3y+1=0 (2)经过点 A(4,2),且在x轴上的截距等于 在y 轴上的截距的 3倍的直线l 的方程 为 |Ⅱ规律方法|l-- 截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑 选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可； (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能 否过原点以及能否与两坐标轴垂直； (3)要注意截距式直线方程的逆向应用。 跟踪训练 2.已知直线l经过点P(4,3),且在两坐标轴上 的截距相等，求直线l的方程. 规律方法|Ⅱ --- 求直线的两点式方程的策略以及注意点 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时， 首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的 连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求 方程； (2)由于减法的顺序性，在使用两点式求直线方程 时易将字母或数字的顺序错位而导致错误.在记忆和 使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系. 跟踪训练 1.(1)(吉安一中月考)已知△ABC的三个顶点 坐标分别为A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为 边AB的中点，N为边AC的中点，则中位线 MN所在直线的方程为 ( ) A.2x+y-8=0 B.2x—y+8=0 C.2x+y-12=0 D.2x—y-12=0 (2)(西宁一中月考)已知两点 A(—1,2),B(m, 3),则直线AB的方程为 46 第二章 直线和圆的方程 探究三 直线方程的应用 p(4,2).[例3] 直线过点 且与x轴、y轴的 正半轴分别交于A,B两点，0为坐标原点， 求分别满足下列条件的直线方程： (1)△AOB的周长为12; (2)△AOB的面积为6. 易错 忽略直线截距可正、可负、可为0 警示 的情况而致误 [典例] 直线l过点P(—6,3),且它在x轴上 的截距是它在y轴上的截距的3倍，求直线 l 的方程. 36+若=1,又直[错解] 设直线l的方程为 线l过点P(—6,3), 36+3=1,,解得b=1,∴直线l的方程 为+y=1,即x+3y-3=0. [错解分析] 忽略横、纵截距都为0的情况. [正解] 当直线l在y轴上的截距不为零 36+号=1时，由题意可设直线 l的方程为 I规律方法Ⅱ (b≠0),又直线l过点P(—6,3), 直线方程与三角形的面积、周长之间的关系 解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题 时，一般选择直线方程的截距式，若设直线在x轴、y 轴上的截距分别为a,b,则直线与坐标轴所围成的三 s=2lallb|,周长c=|al+1b|+角形的面积 √a2+b2. 36+3=1(b≠0),解得b=1, s+y=1,即x+3y-3=0.∴直线l的方程为 当直线在y轴上的截距为零时，直线l过原点， 设其方程为 y=kx(k≠0), ∵直线l过点P(一6,3), ∴.3=-6k,解得k=-2, 跟踪训练 3.A是直线l:y=3x上位于第一象限内的一 点，B(3,2)为定点，直线 AB交x轴正半轴 于点C,求使△AOC 面积最小的点 A 的 坐标. y=-2x,∴直线l的方程为 ,即x+2y=0. 综上所述，所求直线l的方程为x+3y-3=0 或x+2y=0. 误区警示|l- 当题中给出x轴上的截距与y轴上的截距之间的 关系是相等或者是互为相反数或者是一个截距是另一 个截距的多少倍时，要分截距为零和截距不为零两种 情况讨论。 提示、请完成《素能提升训练》训练十四 47 因为kg=0,所以CD斜率不存在，从而有x=3. 又kAp=kx,所以 y=3,此时 AB与CD不平行. 所以 D点坐标为(3,3). ②若 AD是与底边垂直的腰，则 AD⊥AB,AD⊥CD, 因为k=√T3,km=3, 又AD⊥AB,所以·3=-1. AB//CD,所以-一3=3. 学由①②得 此时 AD与BC不平行， (号.号).所以 D点坐标是 ① ② (等.言)·综上可知，D点坐标为(3,3)或 2.2直线的方程 2.2.1直线的点斜式方程 【自主学习探新知】 知识点(x?,y?)(0,b) y-y?=k(x-x?) y=kx+b 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)y+1=√2(x+3). (2)倾斜角为120°,则斜率为-√3, 所以该直线方程为y-1=-√3(x-√2). (3)因为直线垂直于x轴，斜率不存在，所以该直线的方 程为x=0.(y轴所在的直线方程) [跟踪训练] 1.解析 (1)因为倾斜角为45°,所以斜率k=tan 45°=1, 所以直线的点斜式方程为 y-5=x-2. (2)因为直线平行于y轴，所以直线不存在斜率，所以方 程为x=-5. (3)因为直线y=方2的斜率为高。,所以倾斜角为30°. 所以所求直线的倾斜角为60°,其斜率为√3. 所以所求直线方程为 y+3=√3(x-2). 答案 (1)y-5=x-2(2)x=-5 (3)y+3=√3(x-2) 探究二 [例2] [解] (1)由直线方程的斜截式可知， 所求直线方程为y=2x+5. (2)由于直线的倾斜角为150°, 所以斜率k=lan 150°=-唇， y=-唇x-2.由斜截式可得方程为 (3)由于直线的倾斜角为60°, 所以斜率k=tan 60?=√3. 由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为 3, 所以直线在y轴上的截距b=3或b=-3, 故所求直线方程为y=√3x+3或 y=√3x-3. [跟踪训练] 2.解 (1)因为直线 y=kx通过第一、三象限，所以k>0, 根据直线 y=kx+b与y轴的交点坐标为(0,b),且直线 经过第四象限，可由直线 y=kx向下平移得到，所以 b<0. 答案 B (2)①由斜截式得直线l的方程为y=3x-3. ②在y=3x-3中，令y=0,得直线l与x轴上的截距为 1,则直线l与坐标轴所围成的三角形面积 s=÷×111×1-31=2. 探究三 [例3][解] 设直线l?,l?的斜率分别为k,,k?, 则k?=-1,k?=a2-5.,(1)当l?//l?时，有 解得a=-2. (2)当L?⊥l?时，k,k?=-1,即a2-5=1, 所以a2=6,所以a=±√6. [变式训练] 1.解 由y=(a2-5)x+6知，无论a为何值，l?在y轴上 的截距恒为6.即l?恒过定点(0,6). lx(=)-2.解 由题意得 a==2或4解得 所以 a=—2. [跟踪训练] 3.解析 (1)因为l//l?,所以a2+1=2,即a2=1,所以a= ±1.又l?与l?不能重合，所以3a≠3,即a≠1,故a= -1. (2)因为l?⊥l?,所以(2m-1)×(-2)=-1,所以m 一六. (2)二答案 (1)-1( 2.2.2直线的两点式方程 【自主学习探新知】 3-?-t a+6-1知识点 垂直于 垂直于 原点 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解] 直线AB过A(-5,0),B(3,-3)两点， 由两点式得253(二号， 整理得3x+8y+15=0,这就是 AB边所在直线的 23 方程. 直线 AC过A(-5,0),C(0,2)两点， -6(二号.由两点式得 整理得2x-5y+10=0,这就是AC边所在直线的方程. 直线 BC过B(3,-3),C(0,2)两点， 斜率k=2。33=-号，由点针式得y-2=-等(a-0), 整理得5x+3y-6=0,这就是BC边所在直线的方程. 因为 A(-5,0),B(3,-3),所以AB边的中点M的坐 (-23,922),即M(-1,一号),于是AB边上标为 的中线所在直线的方程即为MC所在直线的方程. 子2学由直线的两点式方程得 所以y-2=2x,即7x-2y+4=0. [跟踪训练] 1.解析 (1)由题意结合中点坐标公式，得M(2,4),N(3,2). 2=4-3二2由两点式可得直线方程为； ,化简得 2x+y- 8=0. (2)当m=-1时，直线 AB的方程为x=-1;当m≠ 共.-1时，直线 AB的方程为： 化简得y=m+x+m+T+2. 答索(1)A(2)x=-1(m=-1)或y=中πx+ m+T+2(m≠-1) 探究二 [例2] [解析] (1)根据直线的截距式方程得直线方程 为二3+√=1,化简得4x—3y+12=0.故选 B. y=÷x,(2)若直线l经过原点，则l的方程为： 即x-2y=0. 3a+&=1,若直线l不经过原点，设l的方程为 a=号，把(4,2)代入方程可解得 7+立-1.即x+3y-10=0∴直线l的方程为： ∴直线l的方程为x+3y-10=0或x-2y=0. [答案](1)B(2)x+3y-10=0或x-2y=0 [跟踪训练] 2.解 法一当直线l过原点时，它在两坐标轴上的截距 都是 0. 设直线l的方程为y=kx(k≠0),又因为l过点P(4,3), 所以3=46,故k=号，,所以直线1的方程为y=二x. 当直线l不过原点时， Z+”=1(a≠0)设直线的截距式方程为- A+3=1,所以a=7,又因为直线过点 P(4,3),所以- 号+号=1,即x+y=7.所以直线l的方程为- 综上，直线l的方程为3x-4y=0或x+y-7=0. 法二 由题意可知，直线l的斜率存在且不为0, 设直线l的斜率为k(k≠0),则有y-3=k(x-4). 令x=0,得y=3-4k;令y=0,得x=4-☆ 由直线1在两坐标轴上的截距相等，得3-4k=4-☆, 解得k=-1或k=二， 所以直线1的方程为y-3=-(x-4)或y-3=章(x-4), 即直线l的方程为x+y-7=0或3x-4y=0. 探究三 a+方=1(a>0,b>0),[例3][解] (1)设直线方程为- 由题意可知，a+b+√a2+b2=12. ① p(3,2),又因为直线过点 1 所以+号=1, ② 由①②可得5a2-32a+48=0, 学解得 立+音=1或管+=1,所以所求直线的方程为- 即 3x+4y-12=0或15x+8y-36=0. a+方=1(a>0,b>0),(2)设直线方程为- 号 {4=4'*|6=3:解得由题意可知 所以所求直线的方程为·子+学=1或号+音=1, 即3x+4y-12=0或 3x+y-6=0. [跟踪训练] 3.解如图，设点 A的坐标为(m,3m) y? l (m>0). A (1)当直线 AB不垂直于x 轴时，由两=点式得直线 AB的方程为 B 2二3(m≠号，且m≠3) 克C .令 y=0,得 xe=32因为点C在x轴的正半轴上， 所以3m2>0,即m>号. 24 s=≥×3m2×3m=z31-2=所以△AOC的面积 6×9mm-2?=×(3m-2+3m?-2+4)≥3× (2√(3m-2)×5m+4)-3×8-等 m=当且仅当 时等号成立，此时点 A 的坐标 为(号，4). (2)当直线AB与x轴垂直时，点A的坐标为(3,9),此 时S?=÷×3×9= 综上所述，△AOC的面积的最小值为 ,此时点 A的坐25 (号，4).标为1 2.2.3直线的一般式方程 【自主学习探新知】 知识点 1.Ax+By+C=0 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解] (1)由直线方程的点斜式得 y-3=√3(x-5),即√3x-y-5√3+3=0. (2)由斜截式得直线方程为y=4x-2, 即4x—y-2=0. ==5-2=(二2.(3)由两点式得 即 2x+y-3=0. -3+=1.(4)由截距式得直线方程为： 即x+3y+3=0. [跟踪训练] -=241.解 过A,B两点的直线的两点式方程为 整理，得 2x+3y-5=0,此为直线方程的一般式. 将方程 2x+3y-5=0移项得3y=-2x+5,等式两边 y=-3x+晋，同时除以 3,得 此为直线方程的斜 截式. 将方程2x+3y-5=0化为2x+3y=5,两边同时除以5 喜mm*mmAmk并整理，得 探究二 [例2][解析](1)当a=0时，不符合题意；当a=-1 时，不符合题意；当a≠0且a≠-1时，l?可化为y= 一x+去可化为y=-a+Tx-a+1·由题意知 -2=-a+1具2≠-a+1,解得a=-2或a=1. (2)由l?⊥l?,得2(k-3)2+(5-k)×(-2)=0,即k2- 5k+4=0,解得k=1或k=4. [答案](1)-2或1 (2)1或4 [跟踪训练] 2.解 (1)因为直线l?的斜率存在，故当l?//l?时，直线l 的斜率也一定存在，所以-高=-”,,解得m=±2. 答案 C y=-÷x+3,(2)法一 l的方程可化为： :.1的钟率为一二. ①∵1与1平行，六1的斜率为一章. 又l'过点(-1,3), y-3=-章(x+1),由点斜式知方程为 即3x+4y-9=0. 号，②∵l'与l垂直，∴l'的斜率为- 又l'过点(-1,3), 由点针式可得方程为y-3-号(x+1), 即 4x-3y+13=0. 法二 ①由'与l平行，可设l'的方程为 3x+4y+m=0(m≠-12). 将点(-1,3)代入上式得m=-9. ∴所求直线的方程为3x+4y-9=0. ②由l'与l垂直，可设l'的方程为4x-3y+n=0. 将(-1,3)代入上式得n=13. ∴所求直线的方程为4x-3y+13=0. 探究三 [例3] [解](1)法一 由mx-y-m+4=0得 (x-1)m+(-y+4)=0. {+4=0,甲=4所以当 时，直线l恒过定点(1,4). 法二 由mx-y-m+4=0得 ty y-4=m(x-1), (1,4) 表示过点(1,4)的点斜式， B 即直线恒过定点(1,4). 0(2)存在实数 m.由(1)知直线 l 恒过第一象限的点(1,4). 得l与x轴和y轴的交点分别为 A(“m?,0),B(0,4-m)(m≠0), 由题意得< 所以 m<0. 所以当m<0时，直线l与x轴和y轴的正半轴都相交. 此时 Soug=÷|OA|·|OB| =2|·4-m="-m =÷|m+16-8 因为m<0, S?om=≥[(-m)+c-9]+4所以， 25 21A