2.2.1 直线的点斜式方程-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教A版2019）

?高中数学·选择性必修 第一册 跟踪训练 3.已知 A(0,3),B(—1,0),C(3,0),求使四边 形 ABCD为直角梯形的D点坐标.(A,B, C,D按逆时针方向排列) 易错 忽略直线斜率不存在的情况 警示 致错 [典例] 已知 A(—m—3,2),B(—2m—4,4), C(—m,m),D(3,3m+2).若直线 AB⊥CD, 求m的值. [错解] 由斜率公式知， k?==2m-4--m-3)==(m+1, k=3m-+-mm-2(m+3) 因为 AB⊥CD,所以kApkcp=-1, 即=(m+1)×2(m+3)=-1, 解得m=1. [错解分析] 漏掉了直线 AB的斜率不存 在的情况. [正解] 因为 A,B两点纵坐标不相等，所 以 AB与x 轴不平行.因为 AB⊥CD,所以 CD与x 轴不垂直，所以—m≠3,即 m≠ —3.当 AB与x轴垂直时，—m—3=—2m —4,解得m=—1.当 m=—1时，C,D两点 的纵坐标均为—1,则 CD//x轴，此时 ABL CD,满足题意. 当 AB与x轴不垂直时，由斜率公式知， kAB==2m-4-(-m-3)==(m+1, ko=3m+2-mm-2(m+3. 因为AB⊥CD,所以kABkcp=-1, 即=(m+1×2(m+3)=-1,解得m=1. 综上，m的值为1或—1. |误区警示[l 对于过含有参数的点的直线垂直问题，要分斜率 存在和斜率不存在两种情况讨论，避免漏解. 提示、请完成《素能提升训练》训练十二 2.2直线的方程 2.2.1 直线的点斜式方程 [学习任务] 1.了解直线方程的点斜式的推导过程.(难点) 2.掌握直线方程的点斜式并会应用.(重点) 3.掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念.(重点、易错点) 42 第二章 直线和圆的方程 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 直线的点斜式方程和斜截式方程 类型 点斜式 斜截式 条件 直线1经过点P。 ,且斜率为k 直线l的斜率为k,且与 y轴的交点为P。 续表 类型 点斜式 斜截式 图形 P?(x?yo) P。(0,b) 0 方程 适用 范围 斜率存在 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 直线的点斜式方程 [例1] 写出满足下列条件的直线的点斜式 方程： (1)经过点 A(-3,-1),斜率为√2; (2)经过点 B(√2,1),倾斜角是120°; (3)经过点C(0,5)且与x轴垂直. 规律方法|Ⅱ 求直线的点斜式方程的步骤 确定点P(x。,yo) 是 斜率是否 存在 否 求出斜率k 方程为x=x 由点斜式写方程 [注意] 斜率不存在时，过点P(x?,y。)的直线与 x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为x?,故直 线方程为x=x?. 跟踪训练 1.(1)一条直线经过点(2,5),倾斜角为45°,则 这条直线的点斜式方程为 (2)经过点(-5,2)且平行于 y轴的直线方 程为 (3)求经过点(2,—3),倾斜角是直线 y= x倾斜角的2 倍的直线的点斜式方程.1√ 43 ?高中数学·选择性必修 第一册 探究二 直线的斜截式方程 [例 2] 根据条件写出下列直线的斜截式 方程： (1)斜率为2,在y轴上的截距是5; (2)倾斜角为150°,在y轴上的截距是—2; (3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点 的距离为3. 探究三 两直线平行与垂直的应用 [例3] 已知直线l?:y=—x+3a与直线l?: y=(a2—5)x+6. (1)当 a为何值时，l?//l?? (2)当a为何值时，l?⊥l?? I规律方法|Ⅱ 求直线的斜截式方程的策略 (1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式， 其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在 y轴上，就可以直接用斜截式表示； (2)直线的斜截式方程 y=kx+b中只有两个参 数，因此要确定直线方程，只需知道参数k,b的值 即可； (3)利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知 斜率k,只需引入参数b;如果已知截距b,只需引入参 数k. 跟踪训练 2.(1)直线y=kx+b通过第一、三、四象限， 则有 ( ) A.k>0,6>0 B.k>0,b<0 C.k<0,b>0 D.k<0,b<0 (2)直线l的斜率为3且它在y轴上的截距 为-3. ①求直线l的方程； ②求直线l与两坐标轴所围成的三角形的 面积. 变式训练 1.(变结论)在本例条件不变的情况下，求证： 无论 a为何值时，直线l?恒过定点，并求出 定点. 2.(变条件)本例条件变为：已知直线 l:y= (a2-2)a+2a+8与直线y=-2x+1垂 直，且与直线 y=3x+a2在y轴上的截距相 同，求a的值. 规律方法IⅡ- 两条直线平行和垂直的判定 (1)平行的判定 l?:y=k;x+b?.L?:y=k?x+b? (k?,k?都存在) ,//L? k?=k?且b?≠b (2)垂直的判定 l?:y=k;x+b?.l?:y=k?x+b? (k?,k?都存在) l,1l? k?·k?=-1 44 第二章 直线和圆的方程 □跟踪训练 3.(1)(白城一中月考)已知直线l?:y=2x十 3a,l?:y=(a2+1)x+3,若l?//l?,则实数 a 三_ (2)(天津七中周练)已知直线l?:y=—2x十 3,l?:y=(2m-1)x-5,若l?⊥l?,则实数 m = 易错 警示 忽略了直线重合的情形致错 [典例] 已知直线L:y=-na-m,l?:y= -m32x-3m,,当l?//l?时，求m的值. m(m-2)=3,解得m=—1或 m=3,即 m 的值为—1或 3. [错解分析] 解本题时忽略直线重合的情 况，导致产生增解m=3. ≠-m [正解] 由l?//l?,得 1=-m-2 解得m=—1. ∴m的值为—1. I误区警示ll- 当两条直线的斜率存在时，两条直线平行的等价 条件是斜率相等且纵截距不相等，解题时容易忽略纵 截距不相等，导致产生增解. -1=-m-2,即[错解] 由 l?//l?,得 提示 请完成《素能提升训练》训练十三 2.2.2 直线的两点式方程 [学习任务] 1.掌握直线方程两点式和截距式的形式、特点及适用范围.(重点) 2.能选择适当的形式求直线方程.(难点、易错点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 直线的两点式与截距式方程 两点式 截距式 条件 经过两点P?(x?,y?)和 P?(x?,y?),其中x?≠ x?,y≠y 在x轴上的截距为a,在 y轴上的截距为b 图形 *P? P 0 Y 0 a 续表 两点式 截距式 方程 适用 范围 不表示 标轴的直线 坐 不表示 直线及过 坐标轴的 的直线 45 因为kg=0,所以CD斜率不存在，从而有x=3. 又kAp=kx,所以 y=3,此时 AB与CD不平行. 所以 D点坐标为(3,3). ②若 AD是与底边垂直的腰，则 AD⊥AB,AD⊥CD, 因为k=√T3,km=3, 又AD⊥AB,所以·3=-1. AB//CD,所以-一3=3. 学由①②得 此时 AD与BC不平行， (号.号).所以 D点坐标是 ① ② (等.言)·综上可知，D点坐标为(3,3)或 2.2直线的方程 2.2.1直线的点斜式方程 【自主学习探新知】 知识点(x?,y?)(0,b) y-y?=k(x-x?) y=kx+b 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)y+1=√2(x+3). (2)倾斜角为120°,则斜率为-√3, 所以该直线方程为y-1=-√3(x-√2). (3)因为直线垂直于x轴，斜率不存在，所以该直线的方 程为x=0.(y轴所在的直线方程) [跟踪训练] 1.解析 (1)因为倾斜角为45°,所以斜率k=tan 45°=1, 所以直线的点斜式方程为 y-5=x-2. (2)因为直线平行于y轴，所以直线不存在斜率，所以方 程为x=-5. (3)因为直线y=方2的斜率为高。,所以倾斜角为30°. 所以所求直线的倾斜角为60°,其斜率为√3. 所以所求直线方程为 y+3=√3(x-2). 答案 (1)y-5=x-2(2)x=-5 (3)y+3=√3(x-2) 探究二 [例2] [解] (1)由直线方程的斜截式可知， 所求直线方程为y=2x+5. (2)由于直线的倾斜角为150°, 所以斜率k=lan 150°=-唇， y=-唇x-2.由斜截式可得方程为 (3)由于直线的倾斜角为60°, 所以斜率k=tan 60?=√3. 由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为 3, 所以直线在y轴上的截距b=3或b=-3, 故所求直线方程为y=√3x+3或 y=√3x-3. [跟踪训练] 2.解 (1)因为直线 y=kx通过第一、三象限，所以k>0, 根据直线 y=kx+b与y轴的交点坐标为(0,b),且直线 经过第四象限，可由直线 y=kx向下平移得到，所以 b<0. 答案 B (2)①由斜截式得直线l的方程为y=3x-3. ②在y=3x-3中，令y=0,得直线l与x轴上的截距为 1,则直线l与坐标轴所围成的三角形面积 s=÷×111×1-31=2. 探究三 [例3][解] 设直线l?,l?的斜率分别为k,,k?, 则k?=-1,k?=a2-5.,(1)当l?//l?时，有 解得a=-2. (2)当L?⊥l?时，k,k?=-1,即a2-5=1, 所以a2=6,所以a=±√6. [变式训练] 1.解 由y=(a2-5)x+6知，无论a为何值，l?在y轴上 的截距恒为6.即l?恒过定点(0,6). lx(=)-2.解 由题意得 a==2或4解得 所以 a=—2. [跟踪训练] 3.解析 (1)因为l//l?,所以a2+1=2,即a2=1,所以a= ±1.又l?与l?不能重合，所以3a≠3,即a≠1,故a= -1. (2)因为l?⊥l?,所以(2m-1)×(-2)=-1,所以m 一六. (2)二答案 (1)-1( 2.2.2直线的两点式方程 【自主学习探新知】 3-?-t a+6-1知识点 垂直于 垂直于 原点 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解] 直线AB过A(-5,0),B(3,-3)两点， 由两点式得253(二号， 整理得3x+8y+15=0,这就是 AB边所在直线的 23