2.1.2 两条直线平行和垂直的判定-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教A版2019）

?高中数学·选择性必修 第一册 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 [学习任务] 1.理解并掌握两条直线平行或垂直的条件.(重点) 2.会利用斜率判断两直线平行或垂直.(重点、难点) 3.能应用两条直线的平行或垂直条件解决有关问题.(易错点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 两条直线平行与垂直 2.两条直线垂直的判定 1.两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提 条件 a?=a,≠90 a?=a?=90 对应 关系 l?//l?? l?//L??两直线的斜率 都 图示 y a 0 L? L? α? y 4? L? 0 图示 y o ? α l α? y L? 0 对应 关系 l?⊥l?(两直线的斜率 都存在)→ l?的斜率不存在，l?的 斜率为0? 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 直线平行的判定 [例1](多选)下列各组直线中l?与l一定 平行的是 ( ) A.l?经过点 A(2,1),B(-3,5),l?经过点 C(3,-3),D(8,-7) B.l?经过点 E(0,1),F(-2,-1),l?经过点 G(3,4),H(2.3) C.I?的倾斜角为60°,l?经过点 M(1,√3), N(-2,-2√3) Ⅱ规律方法|Ⅱ 判断两条不重合直线是否平行的步骤 看斜率 存在 都不 存在 平行 相等? 是 平行 否 不平行 [提醒] 若已知直线上点的坐标，判断直线是否 平行时，要考虑直线重合的情况。 D.l?平行于y轴，l?经过点P(0,-2),Q(0,5) 40 第二章 直线和圆的方程 跟踪训练 1.(1)已知直线 l?的倾斜角为60°,直线l?经 过点 A(-1,-√3),B(0,0),则直线l?,l?的 位置关系是 ( ) A.平行或重合 B.平行 D.重合C.垂直 (2)已知口ABCD的三个顶点的坐标分别是 A(0,1),B(1,0),C(4,3),求顶点D的坐标. 探究二 两直线垂直的判定及应用 [例2] 判断下列直线l?与l?是否垂直： (1)l?经过点 A(-1,-2),B(1,2),l?经过 点 M(-2,—1),N(2,1); (2)l?的斜率为一10,l?经过点 A(10,2), B(20,3); (3)l?经过点 A(3,4),B(3,10),l?经过点 M(—10,40),N(10,40). 跟踪训练 2.(1)若直线l经过点(a—2,—1)和(—a—2, -31),且与经过点(-2,1)且斜率为 的直线 垂直，则实数a的值为 ( ) A.-3 B.-2 c.3 D. (2)以点 A(—1,1),B(2,—1),C(1,4)为顶 点的直角三角形，其直角顶点为 探究三 两直线平行与垂直的综合应用 [例3] 如图所示，在平面直角坐标系中，四边 形 OPQR的顶点坐标按逆时针 yo 顺序依次为 O(0,0),P(1,t),R< >p Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其 0 中t>0.试判断四边形 OPQR 的形状. 规律方法|Ⅱ 1.利用两直线平行或垂直判定几何图形形状的步骤 描点 在坐标系中描出给定的点 猜测 根据描出的点，猜测图形的形状 |规律方法|l- 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若 相等，则直线的斜率不存在，只需看另一条直线的两点 的纵坐标是否相等：若相等，则垂直；若不相等，则进行 第二步； (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式； (3)三求：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐 标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论. 求斜率 根据给定的点的坐标求直线的斜率 结论 由斜率之间的关系，判断形状 2.判定几何图形形状的注意点 (1)在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时， 要先画图，猜测其形状，以明确证明的目标； (2)证明两直线平行时，仅有k?=k?是不够的，还要 注意排除两直线重合的情况； (3)判断四边形形状时，要依据四边形的特点，并且 不会产生其他的情况. 41 案 ?高中数学·选择性必修 第一册 跟踪训练 3.已知 A(0,3),B(—1,0),C(3,0),求使四边 形 ABCD为直角梯形的D点坐标.(A,B, C,D按逆时针方向排列) 易错 忽略直线斜率不存在的情况 警示 致错 [典例] 已知 A(—m—3,2),B(—2m—4,4), C(—m,m),D(3,3m+2).若直线 AB⊥CD, 求m的值. [错解] 由斜率公式知， k?==2m-4--m-3)==(m+1, k=3m-+-mm-2(m+3) 因为 AB⊥CD,所以kApkcp=-1, 即=(m+1)×2(m+3)=-1, 解得m=1. [错解分析] 漏掉了直线 AB的斜率不存 在的情况. [正解] 因为 A,B两点纵坐标不相等，所 以 AB与x 轴不平行.因为 AB⊥CD,所以 CD与x 轴不垂直，所以—m≠3,即 m≠ —3.当 AB与x轴垂直时，—m—3=—2m —4,解得m=—1.当 m=—1时，C,D两点 的纵坐标均为—1,则 CD//x轴，此时 ABL CD,满足题意. 当 AB与x轴不垂直时，由斜率公式知， kAB==2m-4-(-m-3)==(m+1, ko=3m+2-mm-2(m+3. 因为AB⊥CD,所以kABkcp=-1, 即=(m+1×2(m+3)=-1,解得m=1. 综上，m的值为1或—1. |误区警示[l 对于过含有参数的点的直线垂直问题，要分斜率 存在和斜率不存在两种情况讨论，避免漏解. 提示、请完成《素能提升训练》训练十二 2.2直线的方程 2.2.1 直线的点斜式方程 [学习任务] 1.了解直线方程的点斜式的推导过程.(难点) 2.掌握直线方程的点斜式并会应用.(重点) 3.掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念.(重点、易错点) 42 探究三 [例3][解](1)由题考可知直线AB的钟率Am =2,直线BC的斜率km=}=-2.1因为k=kg,即 两条直线的斜率相同，并且它们过同一点 B,所以A,B, C三点在同一直线上.故填是. [答案] 是 (2)如图所示. ty 因为kw=2=+-1, BK A 左k=G-?=-√3, 0P 所以k∈(-,-√3)U[1,+～), 所以α∈[45°,120°]. [跟踪训练] 3.解 (1)由斜率公式可得 直线AB的针率kw=2T=3-号， 直线AC的斜率kw==2=2-. (2)如图所示，当点D由B运动到C时，直线 AD的斜 率由kam增大到k,所以直线 AD的斜率的变化范围 足[÷.音] yt AB D 0 C x 2.1.2两条直线平行和垂直的判定 【自主学习探新知】 知识点 1.k?=k?不存在 2.k?k?=-1 l?⊥l? 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] AD A.由题意知，k==3-2=-号，k= 3243--号.,所以直线l与直线l?平行或重合，又 kw=?=8-3)--3≠-,.,故l//l?.B.由题意知，k =二2=6=1.k=2二4-1,所以直线1?与直线1?平行 或重合，而km=3=(二2)-1,故直线1,与直线1,重 合.C.由题意知，A=tan 60°=后，A?==2F-F= √3,k?=k?,所以直线l?与直线l?平行或重合.D.由题 意知，l?的斜率不存在，且不是y轴，l?的斜率也不存 在，恰好是y轴，所以l?//l?. [跟踪训练- 1.解 (1)由题意可知直线l?的斜率k=tan 60°=√3,直 线1的斜率k=0一(二具=后，所以A,=k,所以L,/ l?或l?,l?重合. 答案 A (2)设 D(m,n),由题意，得AB//DC,AD//BC, 则有km=kx,k=kw, 1-4所以 解得 所以点 D的坐标为(3,4). 探究二 [m2][解】(1∵k=9二二2-2.k-2( =号， k?k?=1,∴l?与l?不垂直. (2)∵k=-10,k=20-1-b·kk?=-1∴h⊥4. (3)由A,B的横坐标相等得l?的倾斜角为90°, 则 l?⊥x 轴. A=10-10)=0.则4./x轴∴k山. [跟踪训练] 2.解析 (1)易知a=0不符合题意.当a≠0时，直线l的 斜率k==a-2-a+2=-÷,由-÷×(-号)=-1, 得a=-号，,故选 A.(2)因为A(-1,1),B(2,-1), c(1,4),所以km=2+=-,k=一所 以kAgk=-1,所以AB⊥AC,所以∠A为直角. 答案 (1)A (2)A 探究三 [例3] [解]由斜率公式得km={二δ=1, Am==2,9+20-=-1, kw==27-6=-÷, Aw=2÷2=1==2=-+. 所以kop=kko,k=ko,从而OP//RQ,OR//PQ. 所以四边形 OPQR为平行四边形。 又kgkx=-1,所以OP⊥OR,故四边形 OPQR为矩形. [跟踪训练] 3.解 设所求D点坐标为(x,y).因为k=3,kx=0, 所以 AB与BC不垂直，故 AB与BC都不可能为与底 边垂直的腰. ①若CD是直角梯形与底边垂直的腰， 则 BC⊥CD,AD⊥CD, 22 因为kg=0,所以CD斜率不存在，从而有x=3. 又kAp=kx,所以 y=3,此时 AB与CD不平行. 所以 D点坐标为(3,3). ②若 AD是与底边垂直的腰，则 AD⊥AB,AD⊥CD, 因为k=√T3,km=3, 又AD⊥AB,所以·3=-1. AB//CD,所以-一3=3. 学由①②得 此时 AD与BC不平行， (号.号).所以 D点坐标是 ① ② (等.言)·综上可知，D点坐标为(3,3)或 2.2直线的方程 2.2.1直线的点斜式方程 【自主学习探新知】 知识点(x?,y?)(0,b) y-y?=k(x-x?) y=kx+b 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)y+1=√2(x+3). (2)倾斜角为120°,则斜率为-√3, 所以该直线方程为y-1=-√3(x-√2). (3)因为直线垂直于x轴，斜率不存在，所以该直线的方 程为x=0.(y轴所在的直线方程) [跟踪训练] 1.解析 (1)因为倾斜角为45°,所以斜率k=tan 45°=1, 所以直线的点斜式方程为 y-5=x-2. (2)因为直线平行于y轴，所以直线不存在斜率，所以方 程为x=-5. (3)因为直线y=方2的斜率为高。,所以倾斜角为30°. 所以所求直线的倾斜角为60°,其斜率为√3. 所以所求直线方程为 y+3=√3(x-2). 答案 (1)y-5=x-2(2)x=-5 (3)y+3=√3(x-2) 探究二 [例2] [解] (1)由直线方程的斜截式可知， 所求直线方程为y=2x+5. (2)由于直线的倾斜角为150°, 所以斜率k=lan 150°=-唇， y=-唇x-2.由斜截式可得方程为 (3)由于直线的倾斜角为60°, 所以斜率k=tan 60?=√3. 由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为 3, 所以直线在y轴上的截距b=3或b=-3, 故所求直线方程为y=√3x+3或 y=√3x-3. [跟踪训练] 2.解 (1)因为直线 y=kx通过第一、三象限，所以k>0, 根据直线 y=kx+b与y轴的交点坐标为(0,b),且直线 经过第四象限，可由直线 y=kx向下平移得到，所以 b<0. 答案 B (2)①由斜截式得直线l的方程为y=3x-3. ②在y=3x-3中，令y=0,得直线l与x轴上的截距为 1,则直线l与坐标轴所围成的三角形面积 s=÷×111×1-31=2. 探究三 [例3][解] 设直线l?,l?的斜率分别为k,,k?, 则k?=-1,k?=a2-5.,(1)当l?//l?时，有 解得a=-2. (2)当L?⊥l?时，k,k?=-1,即a2-5=1, 所以a2=6,所以a=±√6. [变式训练] 1.解 由y=(a2-5)x+6知，无论a为何值，l?在y轴上 的截距恒为6.即l?恒过定点(0,6). lx(=)-2.解 由题意得 a==2或4解得 所以 a=—2. [跟踪训练] 3.解析 (1)因为l//l?,所以a2+1=2,即a2=1,所以a= ±1.又l?与l?不能重合，所以3a≠3,即a≠1,故a= -1. (2)因为l?⊥l?,所以(2m-1)×(-2)=-1,所以m 一六. (2)二答案 (1)-1( 2.2.2直线的两点式方程 【自主学习探新知】 3-?-t a+6-1知识点 垂直于 垂直于 原点 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解] 直线AB过A(-5,0),B(3,-3)两点， 由两点式得253(二号， 整理得3x+8y+15=0,这就是 AB边所在直线的 23