2.1.1 倾斜角与斜率-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教A版2019）

第二章 直线和圆的方程 2.1 直线的倾斜角与斜率 AI伴学助手 在画答 配套答宴 盖疑1 2.1.1 倾斜角与斜率 [学习任务] 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念.(重点) 2.掌握倾斜角与斜率的对应关系.(重点) 3.掌握过两点的直线的斜率公式.(重点) 4.掌握直线的斜率与方向向量的关系.(难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 直线的倾斜角 1.倾斜角的定义 当直线l与x轴相交时， yt I 取x轴作为基准，x轴 B 与直线 l 的方向之间所 0 成的角α叫做直线l 的倾斜 角.如图所示，直线l的倾斜角是∠APx,直 线l'的倾斜角是∠BPx. 2.倾斜角的范围 直线的倾斜角α的取值范围是 ,并规定与x轴平行或重合的直 线的倾斜角为 0° 知识点二 直线的斜率 1.斜率的定义 a(a≠晋)一条直线的倾斜角 的 值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母 k 表示，即k= 2.斜率公式 经过两点P?(x?,y?),P?(x?,y?)(x?≠ x?)的直线的斜率公式为 k= .当 x?=x2时，直线P?P2斜率不存在. 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 直线的倾斜角 [例1] (1)设直线l过坐标原点，它的倾斜角 为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转 45°,得到直线l?,那么l?的倾斜角为( ) A.a+45° B.α—135° C.135°—α D.当0°≤α<135°时，倾斜角为α+45°;当 135°≤a<180°时，倾斜角为α-135° 37 ?高中数学·选择性必修 第一册 (2)已知直线l?的倾斜角α?=15°,直线l?与 l?的交点为 A,直线l?和l?向上的方向所成 的角为120°,如图，则直线 l2的倾斜角为 l? y L B 0 C |Ⅱ规律方法|Ⅱ 求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，根据倾斜角的定义求倾斜角； (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾 斜角为0°,当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°;②注意 直线倾斜角的取值范围是0°≤a<180°. □跟踪训练 1.如图，直线l的倾斜角为 ( ) B.120A.60° C.30° D.150° y 1105 45° 0 探究二 直线的斜率 [例2] 经过下列两点的直线的斜率是否存 在?如果存在，求其斜率，并确定直线的倾 斜角α. (1)A(2,3),B(4,5); (2)C(—2,3),D(2,—1); (3)P(-3,1),Q(—3,10). |规律方法|Ⅱ ------ 1.利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 (1)运用公式的前提条件是“x?≠x?”,即直线不与x 轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存 在的； (2)斜率公式与两点P?,P?的先后顺序无关，也就是 说公式中的x?与x?,y?与y?可以同时交换位置. 2.在0°≤a<180°范围 内的一些特殊角的正切值要 熟记. 倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k 0 √5 1 √3 一√3 -1 √3 跟踪训练 2.已知经过两点(5,m)和(m,8)的直线的斜率 大于1,则m的取值范围是 ( ) A.(5,8) B.(8,+○) c.(13,8) D. (5,2) 探究三 直线的倾斜角及斜率的应用 [例3](1)(江门高一月考)已知A(-3,-5), B(1,3),C(5,11)三点，这三点 (填 “是”或“否”)在同一直线上. (2)直线l过点P(1,0),且与以 A(2,1), B(0,√3)为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率的范围和倾斜角的范围. 38 第二章 直线和圆的方程 I规律方法|Ⅱ 1.用斜率公式解决三点共线的方法 若斜率存在且相等， 从三点中 且两直线有公共点 点共线任取两点， 若斜率不存在，且两求其斜率 直线有公共点 2.解决斜率取值范围问题的基本方法——数形结合 斜率k的大小与正切函数之间的关系是用倾斜角α 来联系的，因此，可以由倾斜角的变化得出斜率的变 化.解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判 断直线的位置。 ?跟踪训练 3.已知 A(3,3),B(—4,2),C(0,—2). (1)求直线 AB和AC的斜率； (2)当点 D在线段 BC上(包括端点)移动 时，求直线 AD的斜率的变化范围. 易错忽略直线斜率的变化与倾斜角 警示 的变化的关系 [典例] 已知点 A(2,1),B(-2,2),若直线l 过点P(-告，-号),,且总与线段 AB有交 点，则直线 l的斜率k的取值范围是 --[错解] 由题意，得-要使过点P的直 -琴≤k≤号，线l总与线段AB有交点，需 [-6,3].即直线l的斜率k的取值范围为 keA=号，kp=[错解分析] 解本题时易由-得直线 l 的斜率k 的取值范围是 [-61,7]. 事实上，在直线l的允许活动范 围内，l的倾斜角连续变化时，直线斜率的变 化并不一定连续，当直线l垂直于x轴(直线 l的倾斜角为 90°)时，直线l的斜率不存在， 出错的原因是忽略了直线斜率的变化与倾 斜角的变化的关系，以及直线倾斜角为90° 时直线无斜率. [正解] 如图，当直线l 由 PA 绕点P转动到 PB 时，l的斜率先逐渐变大， 当直线l垂直于x轴时，l 无斜率，继续转动时斜率 Y B 2 2 p1 2 为负值并逐渐变大直到等于直线 PB的斜 4,两这6率≥-- --2-m k≤-号 kk≥号或k<-1}[答案] 误区警示|l-- 当直线的倾斜角0°≤a<90°时，随着α的增大，直 线的斜率k为非负值且逐渐增大；当直线的倾斜角 90°<a<180°时，随着α的增大，直线的斜率k为负值 日逐渐增大 提示、请完成《素能提升训练》训练十一 39 3.解 (1)证明因为AB⊥平面 PAD,PEC平面 PAD, 所以 PE⊥AB. 因为△PAD是等腰直角三角形，E是斜边AD的中点， 所以 PE⊥AD. 又 ADC平面ABCD,ABC平面ABCD,AB∩AD=A, 所以 PE⊥平面 ABCD. 又 BDC平面 ABCD,所以 PE⊥BD. (2)在平面ABCD内，过E点作AD的垂线 EF,交 BC 于点F,则 EF//AB. 又 AB⊥平面 PAD,所以 EF⊥平面 PAD. 又 EP⊥EA,则 EP,EA,EF两两垂直， 以E为原点，分别以 EP,EA,EF所在直线为x轴、 y轴轴，建立空间直角坐标系 Exyz,如图. 因为 PA=√2AB=√2, zC ,B 所以 E(0,0,0),B(0,1,1),A(0, F. 1,0),P(1,0,0), ; 则EB=(0,1,1),E卢=(1,0,0),D Ay PA=(-1,1,0) P) 设平面 PBE的一个法向量为n= x (x,y,z),,则 取 y=1,则x=-1, 故 n=(0,1,-1)为平面 PBE的一个法向量. 现表A到平面PE的距高为A.则在一高性后一 尽所以点A到平面PBE的距离为： 4.解 (1)由AC=BC,D为AB的中点，得CD⊥AB. 又 CD⊥AA?,故 CD⊥平面 A?ABB,所以点C到平面 A?ABB?的距离为CD=√BC2-BD2=√5. (2)如图，过 D作DD?//AA? 24 G 交 A,B,于 D?,在直三棱柱中， DA? B? 易知 DB,DC,DD?两两垂直. 以 D为原点，射线 DB,DC, y DD?分别为x轴、y轴、z轴的 b正半轴建立空间直角坐标系 A B Dxyz. 设直三棱柱的高为h,则 A(-2,0,0),A?(-2,0,h), B(2,0,h),C(0,√5,0),C(0,√5,h), 从而AB=(4,0,h),A,C=(2,√5,-h). 由AB⊥A,C,有8-h2=0,解得h=2√2. 故DA?=(-2,0,2√2),CC=(0,0,2√2), DC=(0,/5.0) 设平面 A,CD的法向量为m=(x?,y?,z?), 则mLDC.m|D (+2=即 取x?=1,得m=(√2,0,1), 设平面C?CD的法向量为n=(x?,y?,z?), nlm 取x?=1,得n=(1,0,0), co<m.n)=mm---所以， 厚所以平面A?CD与平面CC?D夹角的余弦值为 第二章直线和圆的方程 2.1直线的倾斜角与斜率 2.1.1倾斜角与斜率 【自主学习探新知】 知识点一 1.正向向上 2.0?≤a<180° V?一y 知识点二 1.正切] tan a 2. x?-x? 【互动探究解疑难】 探究一 [例1][解析] (1)根据题意，画出图形，如图所示： yt ytl\ 45° 1a a山0 45° 0 因为0°≤a<180°,显然A,B,C未分类讨论，均不全面， 不合题意，通过画图(如图所示)可知：当 0?≤a<135° 时，l?的倾斜角为α+45°;当135?≤α<180°时，l?的倾 斜角为45?+a-180?=a-135°.故选 D. (2)设直线l?的倾斜角为α?,由l?和l?向上的方向所成 的角为 120°,所以∠BAC=120°,所以a?=120°+a? =135°. [答案](1)D(2)135' [跟踪训练] 1.D 由图易知l的倾斜角为45°+105°=150°. 探究二 kw=4=2-1,[例2][解] (1)存在，直线 AB的斜率k 即tana=1,又0?≤a<180°,所以倾斜角α=45°. (2)存在，直线CD的斜率km=2={=2)--1, 即tana=-1,又0?≤a<180°,所以倾斜角α=135°. (3)不存在.因为xp=xa=-3,所以直线 PQ的斜率不 存在，倾斜角a=90°, [跟踪训练] 一5>1.得一5-1>0,2m-H3<0,2.D 由题意知 所以5<m<詈。 21 探究三 [例3][解](1)由题考可知直线AB的钟率Am =2,直线BC的斜率km=}=-2.1因为k=kg,即 两条直线的斜率相同，并且它们过同一点 B,所以A,B, C三点在同一直线上.故填是. [答案] 是 (2)如图所示. ty 因为kw=2=+-1, BK A 左k=G-?=-√3, 0P 所以k∈(-,-√3)U[1,+～), 所以α∈[45°,120°]. [跟踪训练] 3.解 (1)由斜率公式可得 直线AB的针率kw=2T=3-号， 直线AC的斜率kw==2=2-. (2)如图所示，当点D由B运动到C时，直线 AD的斜 率由kam增大到k,所以直线 AD的斜率的变化范围 足[÷.音] yt AB D 0 C x 2.1.2两条直线平行和垂直的判定 【自主学习探新知】 知识点 1.k?=k?不存在 2.k?k?=-1 l?⊥l? 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] AD A.由题意知，k==3-2=-号，k= 3243--号.,所以直线l与直线l?平行或重合，又 kw=?=8-3)--3≠-,.,故l//l?.B.由题意知，k =二2=6=1.k=2二4-1,所以直线1?与直线1?平行 或重合，而km=3=(二2)-1,故直线1,与直线1,重 合.C.由题意知，A=tan 60°=后，A?==2F-F= √3,k?=k?,所以直线l?与直线l?平行或重合.D.由题 意知，l?的斜率不存在，且不是y轴，l?的斜率也不存 在，恰好是y轴，所以l?//l?. [跟踪训练- 1.解 (1)由题意可知直线l?的斜率k=tan 60°=√3,直 线1的斜率k=0一(二具=后，所以A,=k,所以L,/ l?或l?,l?重合. 答案 A (2)设 D(m,n),由题意，得AB//DC,AD//BC, 则有km=kx,k=kw, 1-4所以 解得 所以点 D的坐标为(3,4). 探究二 [m2][解】(1∵k=9二二2-2.k-2( =号， k?k?=1,∴l?与l?不垂直. (2)∵k=-10,k=20-1-b·kk?=-1∴h⊥4. (3)由A,B的横坐标相等得l?的倾斜角为90°, 则 l?⊥x 轴. A=10-10)=0.则4./x轴∴k山. [跟踪训练] 2.解析 (1)易知a=0不符合题意.当a≠0时，直线l的 斜率k==a-2-a+2=-÷,由-÷×(-号)=-1, 得a=-号，,故选 A.(2)因为A(-1,1),B(2,-1), c(1,4),所以km=2+=-,k=一所 以kAgk=-1,所以AB⊥AC,所以∠A为直角. 答案 (1)A (2)A 探究三 [例3] [解]由斜率公式得km={二δ=1, Am==2,9+20-=-1, kw==27-6=-÷, Aw=2÷2=1==2=-+. 所以kop=kko,k=ko,从而OP//RQ,OR//PQ. 所以四边形 OPQR为平行四边形。 又kgkx=-1,所以OP⊥OR,故四边形 OPQR为矩形. [跟踪训练] 3.解 设所求D点坐标为(x,y).因为k=3,kx=0, 所以 AB与BC不垂直，故 AB与BC都不可能为与底 边垂直的腰. ①若CD是直角梯形与底边垂直的腰， 则 BC⊥CD,AD⊥CD, 22