1.4.1 第1课时空间中点、直线和平面的向量表示-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教A版2019）

?高中数学·选择性必修 第一册 1.4 空间向量的应用 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 [学习任务] 1.能用向量语言表述直线和平面. 2.理解直线的方向向量与平面的法向量.(重点) 3.会求直线的方向向量与平面的法向量.(重点、难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 空间中点、直线和平面的向量表示 1.空间直线的向量表示式 如图，a是直线l的方向向量，在直线 l 上取AB=a,取定空间中的任意一点O,点 P 在直线 l上的充要条件是存在实数 t,使 OP=OA+ OA-十 P B 0 2.空间平面的向量表示式 如图，取定空间任意 一点O,空间一点P位于 平面 ABC 内的充要条件 是存在实数x,y,使OP=OA+ P 0 3.平面的法向量 直线lLα,取直线l的 ,则 a叫做平 | a P A面α的法向量.过空间点 A, 且以向量a为法向量的平面α,可以用集合 表示为 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 求直线的方向向量 [例1](1)已知直线l的一个方向向量m= (2,-1,3),且直线l过A(0,y,3)和 B(-1, 2,z)两点，则y-z等于 ( ) c.A.0 B.1 D.3 (2)在 如 图 所示 的坐标 系中，ABCD A?B?C?D?为正方体，棱长为1,则直线 DD? 的一个方向向量为 ,直线 BC?的一 个方向向量为 B z A D? C x A(O) C yD Ⅱ规律方法|Ⅱ 求直线的方向向量关键是找到直线上两点，用所 给的基向量表示以两点为起点和终点的向量，其难点 是向量的运算. 16 第一章 空间向量与立体几何 跟踪训练 1.(1)(北 京 朝 阳 区 高 二 期 中)若 点 A(—1,0,2),B(1,4,10)在直线l上，则直 线l的一个方向向量为 ( ) A.(1,2,4) B.(1,4,2) C.(0,2,—1) D.(0,4,12) (2)(广东云浮高二期中)已知直线l的一个 方向向量为m=(2,-1,3),且直线l过 A(0,a,3)和 B(—1,2,b)两点，则a+b= ( ) c.A.0 B.1 D.3 探究二 求平面的法向量 [例2] 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD为矩形，PA⊥平面 ABCD,E为PD 的中点， E A AB=AP=1,AD=√3,试 D 建立恰当的空间直角坐标 B2 C 系，求平面 ACE的一个法向量. 跟踪训练 2.(1)(黑龙江哈尔滨九中高二开学考试)已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面 ABC的一个单位法向量是 ( ) A.,厚，-3 B.,-3,3 c.[-3,原，3 D.[-3,-厚，-3 (2)已知正四棱锥 P-ABCD 如图所示，在① PA-PB+PC-PD,② P PA+PC,③PB+PD, ④PA+PB+PC+PD Di C 中，不能作为底面 ABCD 的法向量的是 A B 探究三 确定点的位置 [例3] 已知点 A(2,4,0),B(1,3,3),如图，以 QAB的方向为正向，在直线 AB上建立一条数轴，P,Q 为轴上的两点，且分别满 足条件： B 0k A (1)AP:PB=1:2; (2)AQ:QB=2:1. 求点P和点Q的坐标. □变式训练 (变问法)本例条件不变，试求直线 PC的一 个方向向量和平面PCD的一个法向量. I规律方法|Ⅱ 利用待定系数法求平面的法向量的步骤 (1)设平面的法向量为n=(x,y,z). (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐 标a=(a?,b?,c?),b=(a?,b?,c?). (3)根据法向量的定义建立关于 x,y,z的方程 n·a=0. 组 n·b=0. (4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量。 规律方法|Ⅱ- - 求空间中点的坐标，一般要根据具体的题目条件 恰当地设出点的坐标，根据向量式列出方程组，把向量 运算转化为代数运算，解方程组可得点的坐标。 跟踪训练 3.已知点 A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段 AB上一点且 ,则点C的坐标为 提示、请完成《素能提升训练》训练六 17 ∴AM⊥DF,即AM⊥DF. 同理，AM」⊥BF,即 AM⊥BF. 又 DF∩BF=F,且DFC平面 BDF,BFC平面BDF, ∴AM⊥平面 BDF. [跟踪训练] 2.解 如图所示，以D为原点，建立 2↑D? 空间直角坐标系，设正方体的棱 P A? B C 长为1,则A(1,0.0),E(0.0,号), E DB(1,1,0),B?(1,1,1),D(0,0,1), 由题意，可设点P的坐标为(a,a,1), Bx 因为3B,P=PD,所以3(a-1, 子C a-1,0)=(-a,-a,0), 所以3a-3=-a,解得a=二， (·子·1).所以点 P的坐标为| 由题意可设点Q的坐标为(b,b,0), 因为 PQ⊥AE,所以PO·AE=0, (0-2.b-=,-1)·(-1,0,号)=0,所以 即—(0-二)-÷=0,解得b=÷. (子÷0).所以点Q的坐标为 因为B=ADà,所以(-1,-1.0)=A(÷.÷.0), 4=-1,故λ=-4.所以- 探究三 [例3] [解] (1)证明 如图所示，建立空间直角坐标系， 则有E(0,0,2),F(云，,0),c(o,1,0),C?(0,1,1), B,(1,1,1),c(0.3.0). D? C B?A? E XH x A D G B yc ∵E=(号，,0)-(0.0,2)=(,,-), B,C=(0,1,0)-(1,1,1)=(-1,0,-1), ∴·BC-÷×(-D+÷×o+(-号)×(-1)=0, :EF」B.C,即 EF⊥B,C. (2)∵C,G=(0,2,0)-(0,1,1)=(o,-÷,-1), ∴|cGl=F. 又EF·CG=2×0+2×(-÷)+(-2)×(-1)=,= 需需 即异面直线 EF与C?G所成角的余弦值为- (3)∵F(号·0),H(0,) ∴FH=(一含音号)· ∴|FA|=√(-÷)+(音)+(÷)= [跟踪训练] 3.解 (1)以 A为原点，建立空间直角坐 标系，如图所示. 24 P" 由题意得A(0,0,0),B(0,2,0), D. C D(-2,0,0),C(-2,2,0),P(0,0,2), M B 方 所以M(0,1,0),N(-1,1,1), 所以MN=(-1,0,1),故M,N两点之间的距离 |MN|=√(-1)2+02+12=√2. (2)由题易得AP=(0,0,2),因为MN=(-1,0,1),所以 加 p 所以<AP,MN)=45°,故直线 PA与 MN 所成的角 为 45°. 1.4空间向量的应用 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时空间中点、直线和平面的向量表示 【自主学习探新知】 知识点 1.ta tAB 2.xAB+yAC 3.方向向量a {P|a·AP=0 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解析](1)∵A(0,y,3)和 B(-1,2,z), ∴AB=(-1.2-y,g-3) ∵直线l的一个方向向量为m=(2,-1,3), 故设AB=km. ∴-1=2k,2-y=-k,x-3=3k. 解得k=-÷,y=z=≥ ∴y-x=0. (2)∵DD?//AA,,AA?=(0,0,1), 6 N ∴直线 DD?的一个方向向量为(0,0,1). ∵BC?//AD,AD?=(0,1,1), ∴直线 BC?的一个方向向量为(0,1,1). [答案](1)A(2)(0,0,1)(0,1,1)(答案不唯一) [跟踪训练] 1.解析 (1)由AB=(2,4,8),1的方向向量与AB平行，只 有选项 A满足题意，故选 A. (2)∵A(0,a,3)和B(-1,2,b)在直线l上，AB=(-1, 2—a,b—3),且直线l的一个方向向量为m=(2,-1, 3),∴设AB=λm,则(-1,2-a,b-3)=A(2,-1,3),解 得λ=-号·a=b=2,∴a+b=3.故选D. 答案 (1)A (2)D 探究二 [例2][解] 因为 PA⊥平面 AB- tp CD,底面ABCD为矩形，所以AB, F AD,AP两两垂直. A 如图，以A为坐标原点，建立空间直B Cx角坐标系， D 则 DC0,/层，0),E(0.登，号),BC1,0,0),C(1v3,0), 于是AE-(0.唇，号),AC=(1,√3,0). 设n=(x,y,z)是平面ACE的法向量， 1"·不市-。受 (r+/3y=0. {所以则 令y=-1,则x=x=√3. 所以平面ACE的一个法向量为n=(√3,-1,√3). [变式训练] 解 以A为坐标原点，建立如图所示 tp 的空间直角坐标系， E 则 P(0,0,1),C(1,√3,0), A 子 所以PC=(1,√3,-1),即为直线 BL Cx PC的一个方向向量. 设平面 PCD的法向量为n=(x,y,z). 因为 D(0,√3,0),所以PD=(0,√3,-1). (二 {二得 所以由 令y=1,则x=√3. 所以平面 PCD的一个法向量为n=(0,1,√3). [跟踪训练] 2.解析 (1)依题意，得AB=(-1,1,0),AC=(-1,0, 1).设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),⋯则 令x=1,得平面 ABC的一个 m法向量n=(1,1,1),于是得与n同向的单位向量为- -(厚得将)· -,与n反向的单位向量为一 (一每，一唇，一图),,D满足，显然选项 A,B,C中的向 量与简不共线，即A.B.C不满足，故选D. (2)由题意可知，PA-PB+PC-PD=BA+DC=0, PA+PC=2PO,PB+PD=2PO,PA+PB+PC+PD =4P?,所以不能作为底面ABCD的法向量的是①. 答案 (1)D (2)① 探究三 [例3] [解] 由已知，得PB=2A户 即OB-OP=2(OP-O?, op-?oA+÷ob. 设点P坐标为(x,y,z),则上式换用坐标表示，得 (x,y,<)=号(2,4,0)+÷(1,3,3), 即x=3+号=号y=§+1=号，*=0+1=1. 因此，点P的坐标是I(·号，1). 因为 AQ:QB=2:1, 所以AQ=-2QB,OQ-OA=-2(OB-OQ), Oà=-OA+2OB. 设点Q的坐标为(x1,y',z),则上式换用坐标表示，得 (x1,y',x1)=-(2,4,0)+2(1,3,3)=(0,2,6), 即x1=0,y'=2,z′=6.因此，点Q的坐标是(0,2,6). [跟踪训练] ÷3.解析 设C(x,y,z),∵C为线段AB上一点且 ∴AC=÷AB,(x-4,y-1,g-3)=÷(-2,-6,-2), x-4=-3,|x=3, (3,-1,子).因此点C的坐标为 (学.-1.子)答案 第2课时空间中直线、平面的平行 【自主学习探新知】 知识点(1)u?//u?u?=au?(2)u,⊥n? u?·n?=0 (3)n?//n?n?=λn? 【互动探究解疑难】 探究一 「例1[证明]法一 设AB=a,AD=b,AA,=c. 则MN=MB+BA?+A,N=÷c-a+÷b, 7