1.3.2 空间向量运算的坐标表示-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教A版2019）

第一章 空间向量与立体几何 [正 解] 分别取 BC, B?C?的中点 D,D?,以 B? D为原点，分别以DC, A? C?D? y DA,DD?的方向为 x B 轴、y轴、z轴的正方向 建立空间直角坐标系，如图所示， D C A|0,,0],A |0,图，2],B?(一-,0,2),则 c?(2,0,2), 所以AA=(0,0,2),AB?=[-1,-,2], AG={2,一厚，2]. 误区警示||- 在建系时应该注意三条坐标轴所在的直线应当两 两垂直，若图中没有建系的环境，则应根据已知条件， 通过作辅助线来创造合适的建系环境. 提示、请完成《素能提升训练》训练四 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 [学习任务] 1.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直.(重点) 2.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些知识解决简单几何体 中的问题.(重点、难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 空间向量的坐标运算 1.空间向量的坐标 一个空间向量的坐标等于表示此向量 的有向线段的 2.设a=(a?,a?,a?),b=(b?,b?,b?).则有 运算 坐标表示 加法 a+b= 减法 a—b= 数乘 λa= 数量积 a·b= 知识点二 空间向量的相关结论 1.空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a=(a?,a?,a?),b=(b?,b?,b?),则 平行 (a//b) — //b(b≠0)?a=λb={ (a∈R) 垂直 (a_b) a⊥b?a·b=0? (a,b均为非零向量) 模 lal=√a·a=√a2+a2+ag 夹角公式 cosa,b)=ab a?b?+a?b?+a?b? √a2+a2+a?√b+b?+b2 2.向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设 P?(x?,y?, z1),P?(x?,y?,z?),则 (1)P?P?=(x?-x?,y?-y?,z?-x); (2)P?P?=IP?P? =√(x?—x?)2+(y?-y?)2+(z?-z?)2. 13 ?高中数学·选择性必修 第一册 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 空间向量的坐标运算 [例1](1)已知 a=(1,1,0),b=(0,1,1),则 a·(-2b)= ,(a—b)·(2a—3b)= (2)已知 a=(2,—1,3),b=(-1,4,—2), c=(7,5,λ),若 a,b,c三向量共面，则实数 λ= 规律方法⋯⋯. 关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用 空间向量坐标运算公式计算. (2)由条件求向量或点的坐标 首先用坐标形式设出向量，然后通过建立方程 (组),解方程(组)求出其坐标. |规律方法|l- 1.判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或 垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值， 则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐 标关系，列方程(组)求解。 2.利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当 的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量 平行、垂直的充要条件证明. 跟踪训练 2.正方体 ABCD-A?B?C?D?中，E是棱 D?D 的中点，P,Q分别为线段B?D?,BD上的点， 且3 B?P=PD],若PQ⊥AE,BD=λDQ,求 λ的值. 跟踪训练 1.(多选)已知向量a=(4,—2,—4),b=(6, —3,2),则下列结论不正确的是 ( ) A.a+b=(10,—5,—6) B.a—b=(2,—1,—6) C.a·b=10 D.|a|=6 探究二 利用空间向量的坐标运算解决空间 中的平行、垂直问题 [例 2] 如图，已知正方形 ABCD和矩形 ACEF 所在 的平面互相垂直，AB=、2. E M CA B AF=1,M是线段 EF 的中 点.求证： D A (1)AM//平面 BDE; (2)AM平面 BDF. 探究三 利用坐标运算解决夹角、距离问题 [例3] 在棱长为1的正方体 ABCD-A?B?C?D? 中，E,F分别为D?D,BD的中点，点G在棱 CD上，且CG= cD,,H为C?G的中点，应 用空间向量的方法求解下列问题： (1)求证：EF⊥B?C; (2)求 EF与C?G所成角的余弦值； (3)求 FH的长. 14 第一章 空间向量与立体几何 规律方法|Ⅱ- (1)利用向量坐标求异面直线所成角的步骤： ①根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐 标系： ②利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相 关向量的坐标； ③利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有 关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角。 (2)利用向量坐标求空间中线段的长度的一般 步骤： ①建立适当的空间直角坐标系； ②求出线段端点的坐标； ③利用两点间的距离公式求出线段的长. □跟踪训练 3.如图，已知 PA垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M,N分 别是AB,PC的中点，且 PA= P N D A M B >c AD=2. (1)求M,N两点之间的距离； (2)求直线 PA与MN所成的角. 易错 混淆两向量平行与两向量同向 警示|致错 [典例] 已知向量a=(1,2,—1),b=(m, m2+3m—6,n),若向量a,b同向，求实数m, n的值. 1=[错 解] 由题意可知 a // b,所以 m2+3m-6=2mm2+3m-6=四，即 -3 =-2解得 或 故 m=—3,n=3或m=2,n=2. [错解分析]“两向量同向”是“两向量平 行”的充分不必要条件.错解中忽略了“同 向”这一限制条件，从而导致错误. 1=[正 解] 由题意可知 a //b,所以 +3m-6-2mm2+3m-6=”,即 -3 =-2解得 或 故m=—3,n=3或m=2,n=—2. 当 m=—3,n=3 时，b=(一3,—6,3)= —3a,向量a,b反向，不符合题意，舍去； 当m=2,n=—2 时，b=(2,4,—2)=2a, 向量 a,b同向，符合题意. 综上，m=2,n=—2. |误区警示|l- 由于向量可以任意平移，因此有关向量的平行问 题与直线的平行问题是有区别的，并且两向量同向与 两向量平行也是不等价的.若两向量平行，则两向量可 能同向也可能反向。 提示、请完成《素能提升训练》训练五 15 ∴AB,AD,AP是两两垂直的单位向量. 设AB=c,AD=e,AP=e,以{e,.ee}为单位正交基 底，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz. t2 P N Al D yM B∠ C 法- ∵MN=MA+Ap+PA =-÷AB+AP+÷rC =-÷AB+AP+÷(PA+AC =-÷AB+AD+÷(PA+AB+AD) =÷AD+÷AP-÷e+Ze, :MN=(0,,) 法二 如图，连接AC,BD交于点O,则O为AC,BD的 中点，连接 MO,ON. +2 P( N A MZ Bx 0 c D y ∴MO=÷BC=÷AD,ON=÷AP, ∴MN=Mò+ON=÷AD+÷AD-Ze+÷e ∴MN=(0,2,) [变式训练] 1.解 求解过程一样，结果有变化，MN=(0,1,1). 2.解 由已求可知， MN-∠e+÷e 所以|MN1=√÷e+÷e=竖， 所以 MN的长度为' [跟踪训练] 3.解 因为D?=-Ob=-(OO(+O,b) =-[00+÷(oA+0B)]=-÷0A-+0B-00, 所以DO=(-2,-1,-4) 因为A,B=OB-OA?=OB-(OA+AA?)=OB-OA- o0,所以A,B=(-4,2,-4). 1.3.2空间向量运算的坐标表示 【自主学习探新知】 知识点一 1.终点坐标减去起点坐标 2.(a?+b?,a?+ b?,a?+b?)(a?-b?,a?-b?,a?-b)(aa?,aa?,aa?),à ∈R a?b?+a?b?+a?b? 知识点二 1.a?=λb, a?=λb?a?=λb?a?b?+a?b?+ a?b?=0 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解析](1)a·(-2b)=-2a·b=-2(0+1+ 0)=-2,a-b=(1,0,-1),2a-3b=2(1,1,0)-3(0, 1,1)=(2,-1,-3).所以(a-b)·(2a-3b)=(1,0, -1)·(2,-1,-3)=2+0+3=5. (2)若a,b,c三向量共面，则存在实数x,y使得a= xb+yc. 因为a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ), 所以(2,-1,3)=x(-1,4,-2)+y(7,5,λ)=(-x+ 7y,4x+5y,-2x+ay), 号即 (2)[答案](1)-2 5( [跟踪训练] 1.ABC a+b=(10,-5,-2),a-b=(-2,1,-6), a·b=22,|a|=6,所以A,B,C均不正确. 探究二 [例2] [证明] (1)如图，建立空间 24 E 直角坐标系， M 设AC∩BD=N,连接NE, F y 则点N,E的坐标分别为 Ck B (竖誓0),(0.0,1) Dl N A :NE=(一竖，一竖，1). 又点A.M的坐标分别是(巨√2,0),(誓、竖。1), :Aw=(一竖，-竖，1). ∴NE=AM. 又 NE与AM不共线， ∴NE//AM. 又∵NEC平面 BDE,AM±平面 BDE, ∴AM//平面 BDE. (2)由(1)知AM-(一竖，一竖，1). ∵D(√2,0,0),F(√2,√2,1), ∴DF=(0,√2,1),∴AM·DF=0, 5 ∴AM⊥DF,即AM⊥DF. 同理，AM」⊥BF,即 AM⊥BF. 又 DF∩BF=F,且DFC平面 BDF,BFC平面BDF, ∴AM⊥平面 BDF. [跟踪训练] 2.解 如图所示，以D为原点，建立 2↑D? 空间直角坐标系，设正方体的棱 P A? B C 长为1,则A(1,0.0),E(0.0,号), E DB(1,1,0),B?(1,1,1),D(0,0,1), 由题意，可设点P的坐标为(a,a,1), Bx 因为3B,P=PD,所以3(a-1, 子C a-1,0)=(-a,-a,0), 所以3a-3=-a,解得a=二， (·子·1).所以点 P的坐标为| 由题意可设点Q的坐标为(b,b,0), 因为 PQ⊥AE,所以PO·AE=0, (0-2.b-=,-1)·(-1,0,号)=0,所以 即—(0-二)-÷=0,解得b=÷. (子÷0).所以点Q的坐标为 因为B=ADà,所以(-1,-1.0)=A(÷.÷.0), 4=-1,故λ=-4.所以- 探究三 [例3] [解] (1)证明 如图所示，建立空间直角坐标系， 则有E(0,0,2),F(云，,0),c(o,1,0),C?(0,1,1), B,(1,1,1),c(0.3.0). D? C B?A? E XH x A D G B yc ∵E=(号，,0)-(0.0,2)=(,,-), B,C=(0,1,0)-(1,1,1)=(-1,0,-1), ∴·BC-÷×(-D+÷×o+(-号)×(-1)=0, :EF」B.C,即 EF⊥B,C. (2)∵C,G=(0,2,0)-(0,1,1)=(o,-÷,-1), ∴|cGl=F. 又EF·CG=2×0+2×(-÷)+(-2)×(-1)=,= 需需 即异面直线 EF与C?G所成角的余弦值为- (3)∵F(号·0),H(0,) ∴FH=(一含音号)· ∴|FA|=√(-÷)+(音)+(÷)= [跟踪训练] 3.解 (1)以 A为原点，建立空间直角坐 标系，如图所示. 24 P" 由题意得A(0,0,0),B(0,2,0), D. C D(-2,0,0),C(-2,2,0),P(0,0,2), M B 方 所以M(0,1,0),N(-1,1,1), 所以MN=(-1,0,1),故M,N两点之间的距离 |MN|=√(-1)2+02+12=√2. (2)由题易得AP=(0,0,2),因为MN=(-1,0,1),所以 加 p 所以<AP,MN)=45°,故直线 PA与 MN 所成的角 为 45°. 1.4空间向量的应用 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时空间中点、直线和平面的向量表示 【自主学习探新知】 知识点 1.ta tAB 2.xAB+yAC 3.方向向量a {P|a·AP=0 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解析](1)∵A(0,y,3)和 B(-1,2,z), ∴AB=(-1.2-y,g-3) ∵直线l的一个方向向量为m=(2,-1,3), 故设AB=km. ∴-1=2k,2-y=-k,x-3=3k. 解得k=-÷,y=z=≥ ∴y-x=0. (2)∵DD?//AA,,AA?=(0,0,1), 6 N