1.3.1 空间直角坐标系-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教A版2019）

?高中数学·选择性必修 第一册 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 [学习任务] 1.3.1 空间直角坐标系 AI样学助手在斯答键 配弯答案 1.了解空间直角坐标系的建系方式.(难点) 2.能在空间直角坐标系中求出点的坐标和由已知坐标作出点.(重点) 3.能在空间直角坐标系中求出向量的坐标.(重点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 空间直角坐标系 1.空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和 一个单位正交基底{i,j,k},以点O为原点， 分别以i,j,k 的方向为正方向、以它们的长 为单位长度建立三条数轴： 它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个 (2)相关概念： 叫做原点，i,j,k都叫 做坐标向量，通过 的平 面叫做坐标平面，分别称为 平面， 平面， 平面，它们把空间 分成八个部分. 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 的正方向，食指指向 的正 的正方向，则方向，如果中指指向 称这个坐标系为右手直角坐标系. [注意] 画空间直角坐标系 Oxyz 时，一般 使∠xOy=135°(或 45°),∠yOz=90°,所以 三个坐标平面把空间分成八个部分. 知识点二 空间直角坐标系中点和向量的坐 标表示 1.空间直角坐标系中点的坐标 在空间直角坐标系 Oxyz 中，i,j,k为 坐标向量，对空间任意一点 A,对应一个向 量OA,且点 A的位置由向量OA唯一确定， 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数 组(x,y,z),使OA=xi+yj+zk 在单位正交基底{i,j,k}下与向量OA对 应的有序实数组 ,叫做点 A在空间 直角坐标系中的坐标，记作 ,其中x 叫做点A的横坐标，y叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A的竖坐标. 2.空间直角坐标系中向量的坐标表示 在空间直角坐标系 Oxyz中，给定向量 a,作OA=a.由空间向量基本定理，存在唯 一的有序实数组(x,y,z),使 .有序实数组(x,y,z)叫做 a 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，上式可 简记作a=(x,y,z). 10 第一章 空间向量与立体几何 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 求空间中点的坐标 [例1] 如图所示空间直角坐标系，在棱长为1的 正方体ABCD- A?B?C?D? 中，M在线段 BC?上，且 BM|=2|MC?|,N是 线段D?M的中点，求点 D C? N A? B?M CD! y B M,N的坐标. x 探究二 空间中点的对称问题 [例2] 点P(-2,1,3)关于x轴的对称点的 坐标是 ,关于坐标平面 Oxy的对称点的坐标是 规方法|Ⅱ- 在空间直角坐标系中，点P(x,y,z)关于坐标轴和 坐标平面的对称点的坐标特点 (1)关于坐标原点的对称点为P?(一x,-y,-z); (2)关于横轴(x轴)的对称点为P?(x,-y,-z); (3)关于纵轴(y轴)的对称点为P?(一x,y,-z); (4)关于竖轴(z轴)的对称点为P?(一x,-y,z); (5)关于Oxy坐标平面的对称点为P?(x,y,一z); (6)关于Oyz坐标平面的对称点为P?(一x,y,z); (7)关于Ozx坐标平面的对称点为P?(x,-y,z). 其中的记忆方法为“关于谁谁不变，其余的相反”. 如关于横轴(x 轴)的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖 坐标变为原来的相反数；关于 Oxy坐标平面的对称 点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数. I规律方法|l 求某点P的坐标的方法 先找到点P在xOy平面上的射影M,过点M向x 轴作垂线，确定垂足N.其中|ON|,|NM|,|MP|即为 点P坐标的绝对值，再按 O→N→M→P确定相应坐 标的符号(与坐标轴同向为正，反向为负),即可得到相 应的点P的坐标。 □跟踪训练 2.已知点P(2,3,-1),求： (1)点P关于各坐标平面对称的点的坐标； (2)点P关于各坐标轴对称的点的坐标； (3)点P关于坐标原点对称的点的坐标. 跟踪训练 1.如图所示，四棱锥 D-OABC中，建立空间直 角坐标系 Oxyz,若 OD=2,OA=4,OC=6, M是BD的中点，求点M的坐标. D 0 M C y A B 11 ?高中数学·选择性必修 第一册 探究三 空间向量的坐标表示 [例 3] 如图所示，PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M,N分 P 别是 AB,PC的中点， 且 PA= AB=1.试建 N 立适当的空间直角坐 Ak D M 标系，并求向量MN的B C 坐标. 规律方法|Ⅱ 用坐标表示空间向量的步骤 观图形 充分观察图形特征 建坐标系 根据图形特征建立空间直角坐标系 用运算 综合利用向量的加减及数乘运算 定结果 将所求向量用已知的基向量表示出 来，确定坐标 跟踪训练 3.在直三棱柱 ABO-A?B?O?中， o2 B? ∠AOB=2,AO=4,BO=2, DA, 0j AA?=4,D为A?B?的中点， B 以{40A,2oB,40} 为单 位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标 系，求DO,A?B的坐标. 变式训练 1.(变条件)若题中条件“PA=AB=1”变为 “PA=AB=2”,则结果发生变化吗? 2.(变结论)若题中条件不变，如何求 MN? 易错 建立空间直角坐标系的常见 警示 失误 [典例] 在正三棱柱 ABC-A?B?C?中，已知 △ABC的边长为1,三棱柱的高为2,建立适 当的空间直角坐标系，并写出AA,AB, AC?的坐标. [错解分析] 本题易在建系时，误认为AB 与AC垂直，从而以 A为原点，分别以AB, AC,AA?的方向为x轴、y轴、z轴的正方向 建立空间直角坐标系导致错误。 12 y 第一章 空间向量与立体几何 [正 解] 分别取 BC, B?C?的中点 D,D?,以 B? D为原点，分别以DC, A? C?D? y DA,DD?的方向为 x B 轴、y轴、z轴的正方向 建立空间直角坐标系，如图所示， D C A|0,,0],A |0,图，2],B?(一-,0,2),则 c?(2,0,2), 所以AA=(0,0,2),AB?=[-1,-,2], AG={2,一厚，2]. 误区警示||- 在建系时应该注意三条坐标轴所在的直线应当两 两垂直，若图中没有建系的环境，则应根据已知条件， 通过作辅助线来创造合适的建系环境. 提示、请完成《素能提升训练》训练四 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 [学习任务] 1.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直.(重点) 2.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些知识解决简单几何体 中的问题.(重点、难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 空间向量的坐标运算 1.空间向量的坐标 一个空间向量的坐标等于表示此向量 的有向线段的 2.设a=(a?,a?,a?),b=(b?,b?,b?).则有 运算 坐标表示 加法 a+b= 减法 a—b= 数乘 λa= 数量积 a·b= 知识点二 空间向量的相关结论 1.空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a=(a?,a?,a?),b=(b?,b?,b?),则 平行 (a//b) — //b(b≠0)?a=λb={ (a∈R) 垂直 (a_b) a⊥b?a·b=0? (a,b均为非零向量) 模 lal=√a·a=√a2+a2+ag 夹角公式 cosa,b)=ab a?b?+a?b?+a?b? √a2+a2+a?√b+b?+b2 2.向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设 P?(x?,y?, z1),P?(x?,y?,z?),则 (1)P?P?=(x?-x?,y?-y?,z?-x); (2)P?P?=IP?P? =√(x?—x?)2+(y?-y?)2+(z?-z?)2. 13 探究三 [例3] [解](1)证明 设CA=a,CB=b,CC=c,这三 个向量不共面，{a,b,c}构成空间的一个基底. 根据题意，|a|=|b|=|c|且a·b=b·c=c·a=0. 所以CE=b+÷c,AD=-c+÷b-2a. 所以CE·AD=-÷c2+-b2=0, 所以CE⊥AD,即CE⊥A'D. (2)因为AC=-a+c, 所以|AC|=√Ela|,由(1)得|C|=唇lal, 所以AC·CE=(-a+e)·(b+÷e) =2e=2lal, 所以 语所以异面直线 CE与AC'所成角的余弦值为- [跟踪训练] 3.解 (1)MN=MA?+A,B+B,N=÷BA?+AB+ ÷B,C=÷(c-a)+a+÷(b-a)=÷a+÷b+÷c. (2)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c =1+1+1+0+2×1×1×2+2×1×1×2=5, ∴.|a+b+cl=√5,∴.|MN|=÷la+b+cl=写， 即MN=厚 1.3空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1空间直角坐标系 【自主学习探新知】 知识点一 1.(1)x轴、y轴轴 空间直角坐标系Oxyx (2)O 每两条坐标轴 Oxy Oye Ozx 2.x轴 y轴 ≈轴 知识点二 1.(x,y,z) A(x,y,z) 2.a=xi+yi+xk 【互动探究解疑难】 探究一 [例1][解]如图，过点 M作 MM?⊥BC于点M,连接DM, 取 DM?的中点 N?,连接NN. 由|BM|=2|MC?|, D? ,C? N A? BM CD 知MM,I=号ICC;I=3, 1MCl=号1BCI=÷ N yM?A B“x 因为M?M//DD?, 所以M?M与z轴平行，点M?与点M的横坐标、纵坐标 相同， 所以M(号-1号):点 M的竖坐标为 由N,为DM,的中点，知N,(言，去，0). 因为 N?N与z轴平行， 且IN.NI=MMIDDI=言， 所以N(言云，音). [跟踪训练] 1.解 法一点M在x轴、y轴、z轴上的射影分别为 M?,M?,M,它们在坐标轴上的坐标分别为2,3,1,所以 点M的坐标是(2,3,1). 法二 O=OA+AB+BM=OA+OC+-BD =0A+C+÷(ob-0b) =0A+0c+÷[OD-(OA+oo] =÷0A+÷0+÷0b=(2,3,1), 所以点 M的坐标为(2,3,1). 探究二 [例2] [解析] 在空间直角坐标系中，点P(—2,1,3)关 于x轴的对称点的横坐标不变，纵坐标与竖坐标都变为 原来的相反数，即(-2,-1,-3);点 P(-2,1,3)关于 坐标平面Oxy的对称点的横、纵坐标不变，竖坐标变为 原来的相反数，即(-2,1,-3). [答案](-2,-1,-3)(-2,1,-3) [跟踪训练] 2.解 (1)设点P关于Oxy坐标平面的对称点为P',则点 P'在x轴上的坐标及在y轴上的坐标与点P的坐标相 同，而点 P'在z轴上的坐标与点P在x轴上的坐标互 为相反数。 所以，点 P关于Oxy 坐标平面对称的点 P'的坐标 为(2,3,1). 同理，点 P关于Oyx,Ozx坐标平面对称的点的坐标分 别为(-2,3,-1),(2,-3,-1). (2)设点 P关于x轴对称的点为Q,则点Q在x轴上的 坐标与点P的坐标相同，而点Q在y轴上的坐标及在≥ 轴上的坐标与点P在y轴上的坐标及在≈轴上的坐标 互为相反数. 所以，点P关于x轴对称的点Q的坐标为(2,-3,1). 同理，点P关于y轴、轴对称的点的坐标分别为(-2, 3,1),(-2,-3,-1). (3)点 P(2,3,-1)关于坐标原点对称的点的坐标 为(-2,-3,1). 探究三 [例3][解]∵PA=AB=AD=1,PA⊥平面 ABCD, AB⊥AD, 4 ∴AB,AD,AP是两两垂直的单位向量. 设AB=c,AD=e,AP=e,以{e,.ee}为单位正交基 底，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz. t2 P N Al D yM B∠ C 法- ∵MN=MA+Ap+PA =-÷AB+AP+÷rC =-÷AB+AP+÷(PA+AC =-÷AB+AD+÷(PA+AB+AD) =÷AD+÷AP-÷e+Ze, :MN=(0,,) 法二 如图，连接AC,BD交于点O,则O为AC,BD的 中点，连接 MO,ON. +2 P( N A MZ Bx 0 c D y ∴MO=÷BC=÷AD,ON=÷AP, ∴MN=Mò+ON=÷AD+÷AD-Ze+÷e ∴MN=(0,2,) [变式训练] 1.解 求解过程一样，结果有变化，MN=(0,1,1). 2.解 由已求可知， MN-∠e+÷e 所以|MN1=√÷e+÷e=竖， 所以 MN的长度为' [跟踪训练] 3.解 因为D?=-Ob=-(OO(+O,b) =-[00+÷(oA+0B)]=-÷0A-+0B-00, 所以DO=(-2,-1,-4) 因为A,B=OB-OA?=OB-(OA+AA?)=OB-OA- o0,所以A,B=(-4,2,-4). 1.3.2空间向量运算的坐标表示 【自主学习探新知】 知识点一 1.终点坐标减去起点坐标 2.(a?+b?,a?+ b?,a?+b?)(a?-b?,a?-b?,a?-b)(aa?,aa?,aa?),à ∈R a?b?+a?b?+a?b? 知识点二 1.a?=λb, a?=λb?a?=λb?a?b?+a?b?+ a?b?=0 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解析](1)a·(-2b)=-2a·b=-2(0+1+ 0)=-2,a-b=(1,0,-1),2a-3b=2(1,1,0)-3(0, 1,1)=(2,-1,-3).所以(a-b)·(2a-3b)=(1,0, -1)·(2,-1,-3)=2+0+3=5. (2)若a,b,c三向量共面，则存在实数x,y使得a= xb+yc. 因为a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ), 所以(2,-1,3)=x(-1,4,-2)+y(7,5,λ)=(-x+ 7y,4x+5y,-2x+ay), 号即 (2)[答案](1)-2 5( [跟踪训练] 1.ABC a+b=(10,-5,-2),a-b=(-2,1,-6), a·b=22,|a|=6,所以A,B,C均不正确. 探究二 [例2] [证明] (1)如图，建立空间 24 E 直角坐标系， M 设AC∩BD=N,连接NE, F y 则点N,E的坐标分别为 Ck B (竖誓0),(0.0,1) Dl N A :NE=(一竖，一竖，1). 又点A.M的坐标分别是(巨√2,0),(誓、竖。1), :Aw=(一竖，-竖，1). ∴NE=AM. 又 NE与AM不共线， ∴NE//AM. 又∵NEC平面 BDE,AM±平面 BDE, ∴AM//平面 BDE. (2)由(1)知AM-(一竖，一竖，1). ∵D(√2,0,0),F(√2,√2,1), ∴DF=(0,√2,1),∴AM·DF=0, 5