1.2 空间向量基本定理-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教A版2019）

第一章 空间向量与立体几何 易错 混淆向量的夹角与空间角 警示 [典例] 如图，在平面角为 Dβ A 120°的二面角α-AB-β B 中，ACCα,BDCβ,且 C AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为 A,B.已知 AC=AB=BD=6,求线段CD的长. [错解] CD=6√2. [错解分析] 本题易错的地方是混淆二面 角的平面角与向量夹角的概念，而误认为 <CA,BD>=120°,得到错误答案. [正解]∵ACLAB,BD⊥AB, ∴CA·AB=0,BD·AB=0. ∵二面角α-AB-β的平面角为120°, ∴<CA,BD>=180°—120°=60° ∴CD2=(CA+AB+BD)2 =CA2+AB2+BD2+2 CA·AB+2CA· BD+2 BD·AB =3×62+2×62×cos 60°=144. ∴CD=12. |误区警示|I-- 利用向量的数量积的性质解决有关平面或空间中 角的问题时，要特别注意向量的夹角与所求角的区别 与联系，切不可忽略角的取值范围而盲目套用.利用向 量求二面角的平面角时，一般不能保证所求的角就是 二面角的平面角，也有可能是二面角的平面角的补角， 这时要结合实际图形对所求的角进行适当的处理. 提示、请完成《素能提升训练》训练二 1.2 空间向量基本定理 [学习任务] 1.类比平面向量基本定理，理解并掌握空间向量基本定理.(重点) 2.能熟练地用基底表示向量，并能解决平行、垂直、夹角等问题.(重点、难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 空间向量基本定理 1.定理：如果三个向量a,b,c ,那么 对任意一个空间向量p,存在 的有 序实数组(x,y,z),使得p= 其中{a,b,c}叫做空间的一个 a,b,c都叫做 2.空间向量的正交分解 (1)正交分解：把一个空间向量分解为三个 两两 的向量，叫做把空间向量进行 正交分解. (2)单位正交基底：空间的一个基底中的三 个基向量两两 ,且长度都为 , 那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k} 表示. 7 ?高中数学·选择性必修 第一册 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 基底的判断 [例1] 已知{e?,e?,e?}是空间的一个基底，且 OA=e?+2e?-eg,OB=-3e?+e?+2eg, Oc=e?+e?-eg,试判断{OA,OB,OC}能否 作为空间的一个基底. 探究二 利用基底表示向量 [例2] 如图，在三棱柱 ABC-A'B'℃′中，已知 AA3=a,AB=b,AC=c, 点 M,N分别是 BC', B'C'的中点，试用基底 B N B C' C{a,b,c}表 示 向 量 AM.AN 规律方法|l- 判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基 底，关键是要判断这三个向量是否共面，首先应考虑三 个向量是否是零向量，其次判断三个非零向量是否共 面.如果从正面难以入手判断三个向量是否共面，可假 设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程 组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则 三个向量不共面。 □变式训练 (变条 件)若把本例中的“AA?=a”改为 “AC=a”,其他条件不变，则结果是什么? 跟踪训练 1.(河北邢台六校高二期中联考)若{a,b,c}为 空间的一个基底，则下列各项中能构成基底 的一组向量是 ( ) A.{a+c,a—b,b+c} B.{c,a+b,a—b} C.{a,a+b,a—b} D.{a+b,a+b+c,c} I规律方法|Ⅱ 用基底表示向量的策略 (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三 角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律； (2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时要尽 量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看 基向量的模及其夹角是否已知或易求. 8 第一章 空间向量与立体几何 跟踪训练 2.(1)(安徽皖北县中联盟联考)在空间四边形 ABCD中，AB=a,AC=b,AD=c,点M在 AC上，且AC=4 MC,N为 BD 的中点，则 MN= ( ) DA.za-4b+2c NlB. za-3b-2c A< CM c.-za-4b-?c B D.-2a+3b-2c (2)(河北石家庄期末)如图所示，在平行六 面体 ABCD-A?B?C?D?中，AB=a,AD=b, AA?=c,点M是A?D?的中点，点N是CA? 上的点，且CN:CA?=1:4,则向量MN可表 示为 ( ) MA.za+b+c A? D? B? C?B.4a+4b+c DN c.4a-8b-4c B C D.2a+4b-3c 探究三 空间向量基本定理的应用 [例3] 如图，已知在直三棱柱 ABC-A'B'C′ 中，AC= BC=AA',∠ACB= C B' 90°,D,E分别为 AB,BB′的 A' E中点. (1)求证：CE |A'D: C B (2)求异面直线CE与AC'所 成角的余弦值. D A Ⅱ规律方法|Ⅱ 将几何问题转化为向量问题的求解策略 (1)将距离和线段长转化为求向量的模； (2)将线线、线面、面面垂直问题转化为向量垂直 问题； (3)将空间角问题转化为向量夹角问题. 跟踪训练 3.如图所示，在三棱柱 ABC- A?B?C?中，M,N 分别 是 A? C? M N A?B,B?C?上的点，且 BM= A( 2A?M,C?N=2B?N.设AB= YB? C B a,AC=b,AA?=c. (1)试用a,b,c 表示向量MN (2)若∠BAC=90°,∠BAA?=∠CAA?= 60°,AB=AC=AA?=1,求MN的长. 易错 对基底概念理解不清、向量 警示 分解不彻底致错 如 图(1),在 长 方 体 ABCD-[典例] A?B?C?D?中，M为 AC与 BD 的交点.若 A?A=a,A?D?=b,A?B?=c,试用基底{a,b,c} 表示向量C?M. C C C B B B? M D? D D A? A(1) (2) [错解] 如图(2),连接A?M,A?C?,则C?M= A?M-A?C?=A?A+AM-(A?B?+A?D?) =a+AM-c-b. [错解分析] 错解中AM可以用基底{a,b, c}表示，向量分解不彻底导致错误. [正 解] 如图(2),连接 A?M, A?C?,则 C?M=A?M-A?C?=A?A+AM-(A?B?+ A?D)=A?A+1(A?B?+A?D?)-(A?B?+ A?D)=A,A一2(AB+A,D)=a-_b- c. |误区警示|| 用基底表示向量时，最后结果应只含基向量，基底 可以表示空间中的任意一个向量. 提示、请完成《素能提升训练》训练三 9 c·a=c·b=2×1×cos 120°=-1. ∵AC=AC+CC=AB+AD+AA?=a+b+c, ∴|AC?|=|a+b+c|=√(a+b+c)2 =√|al2+|b|2+|cl2+2(a·b+b·c+c·a) =√12+12+22+2(0-1-1)=√2. ∴线段 AC?的长为√2. [变式训练] 2.解 DB=DA+AA?+A?B=a-b+c, 所以|DB?|=|a-b+c|=√|a-b+c| =√a2+b2+c23-2a·b+2a·c-2b·c=√6. 3.解 设异面直线 AC?与A?D所成的角为θ, #x高 ∵AC=a+b+c,A,D=b-c :AC·A,D=(a+b+c)·(b-c)=a·b-a·c+ b2-c2=0+1+12-22=-2,|A,D|=√(b-c)2 √|bl2-2b·c+1cl2=√12-2×(-1)+22=√7. 方-平 故异面直线 AC?与A?D所成角的余弦值为一 [跟踪训练] 3.B∵CD=CA+AB+BD,∴CD=CA+AB2+BD +2CA·AB+2CA·BD+2AB·BD. ∵CA⊥AB,BD⊥AB,∴CA·AB=0,AB·BD=0. 又CA·BD=1CA|BDIcos(180°-120=÷×1×2= 1,∴Cb=1+2+4+2×1=9,∴|Cb|=3.故选 B. 1.2空间向量基本定理 【自主学习探新知】 知识点 1.不共面 唯一 xa+yb+c 基底 基向量 2.(1)垂直 (2)垂直 1 【互动探究解疑难】 探究一 [例1][解] 假设OA,DB,OC共面，由向量共面的充要 条件知，存在实数z,y,使得OA=zOB+yOC成立， 即e?+2e?-e?=x(-3e?+e?+2e?)+y(e?+e?-e?) =(-3x+y)e?+(x+y)e?+(2x-y)e?. 因为{e?,e?,e?}是空间的一个基底， 所以e?,e?,e?不共面，所以 此方程组 无解. 即不存在实数x,v.使得OA=xOB+vOC成立， 所以OA,OB,OC不共面. 故{OA,OB,OC}能作为空间的一个基底. [跟踪训练] 1.B 对于A,因为(a+c)—(a-b)=b+c,所以向量a+ c,a-b,b+c是共面向量，因此这三个向量不能构成基 底，故 A错误；对于B,因为{a,b,c}为空间的一个基底， 所以这三个向量不共面，若{c,a+b,a—b}不构成一个 基底，则有c=x(a+b)+y(a-b),即c=(x+y)a+(x 一y)b,所以向量a,b,c是共面向量，这与这三个向量不 共面矛盾，故假设不正确，因此{c,a+b,a-b}能构成一 个基底，故 B正确；对于C,因为(a+b)+(a-b)=2a, 所以向量a,a+b,a—b是共面向量，因此这三个向量不 能构成一个基底，故C错误；对于D,因为(a+b+c)一 (a+b)=c,所以向量a+b,a+b+c,c是共面向量，因此 这三个向量不能构成一个基底，故 D错误，故选 B. 探究二 [例2] [解]AM=AB+÷BC =AB+÷(BC+CC)=AB+÷BC++CC =AB+÷(AC-AB)+÷AA =÷AB+÷AC+÷A=÷(a+b+e). 连接A'N(图略). AN=AA+AN=AA+÷(AE+AC) =AA+÷(AB+AC)=a+÷b+÷c. [变式训练] 解 因为M为BC'的中点，N为B'℃'的中点， 所以AM-÷(AB+AC)=÷a+÷b. AN=÷(AB+AC)=÷(AB+BB+AC) -÷AB+c+÷AC =÷AB+÷AC-AO+÷AC =÷AB+AC-÷AC-÷b+a-÷c. [跟踪训练] 2.解析(1)因为AC=4MC,N为BD的中点，所以MN =MC+CB+BN=÷AC+(AB-AC)+÷(AD- AB=÷AB-÷AC+÷AD=÷a-÷b+÷c.故 选 A. (2)因为在平行六面体 ABCD-A?B?C?D?中，点 M是 A?D?的中点，点N是CA?上的点，且CN:CA?=1:4, 所以MR=MA?+A,N=-÷AD+÷AC=-÷AD +2(AC-AA)=-÷AD+(AB+AD-AA)= ÷Ab+÷Ab-÷AA=÷a+÷b-÷c..故选 D. 答案 (1)A (2)D 3 探究三 [例3] [解](1)证明 设CA=a,CB=b,CC=c,这三 个向量不共面，{a,b,c}构成空间的一个基底. 根据题意，|a|=|b|=|c|且a·b=b·c=c·a=0. 所以CE=b+÷c,AD=-c+÷b-2a. 所以CE·AD=-÷c2+-b2=0, 所以CE⊥AD,即CE⊥A'D. (2)因为AC=-a+c, 所以|AC|=√Ela|,由(1)得|C|=唇lal, 所以AC·CE=(-a+e)·(b+÷e) =2e=2lal, 所以 语所以异面直线 CE与AC'所成角的余弦值为- [跟踪训练] 3.解 (1)MN=MA?+A,B+B,N=÷BA?+AB+ ÷B,C=÷(c-a)+a+÷(b-a)=÷a+÷b+÷c. (2)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c =1+1+1+0+2×1×1×2+2×1×1×2=5, ∴.|a+b+cl=√5,∴.|MN|=÷la+b+cl=写， 即MN=厚 1.3空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1空间直角坐标系 【自主学习探新知】 知识点一 1.(1)x轴、y轴轴 空间直角坐标系Oxyx (2)O 每两条坐标轴 Oxy Oye Ozx 2.x轴 y轴 ≈轴 知识点二 1.(x,y,z) A(x,y,z) 2.a=xi+yi+xk 【互动探究解疑难】 探究一 [例1][解]如图，过点 M作 MM?⊥BC于点M,连接DM, 取 DM?的中点 N?,连接NN. 由|BM|=2|MC?|, D? ,C? N A? BM CD 知MM,I=号ICC;I=3, 1MCl=号1BCI=÷ N yM?A B“x 因为M?M//DD?, 所以M?M与z轴平行，点M?与点M的横坐标、纵坐标 相同， 所以M(号-1号):点 M的竖坐标为 由N,为DM,的中点，知N,(言，去，0). 因为 N?N与z轴平行， 且IN.NI=MMIDDI=言， 所以N(言云，音). [跟踪训练] 1.解 法一点M在x轴、y轴、z轴上的射影分别为 M?,M?,M,它们在坐标轴上的坐标分别为2,3,1,所以 点M的坐标是(2,3,1). 法二 O=OA+AB+BM=OA+OC+-BD =0A+C+÷(ob-0b) =0A+0c+÷[OD-(OA+oo] =÷0A+÷0+÷0b=(2,3,1), 所以点 M的坐标为(2,3,1). 探究二 [例2] [解析] 在空间直角坐标系中，点P(—2,1,3)关 于x轴的对称点的横坐标不变，纵坐标与竖坐标都变为 原来的相反数，即(-2,-1,-3);点 P(-2,1,3)关于 坐标平面Oxy的对称点的横、纵坐标不变，竖坐标变为 原来的相反数，即(-2,1,-3). [答案](-2,-1,-3)(-2,1,-3) [跟踪训练] 2.解 (1)设点P关于Oxy坐标平面的对称点为P',则点 P'在x轴上的坐标及在y轴上的坐标与点P的坐标相 同，而点 P'在z轴上的坐标与点P在x轴上的坐标互 为相反数。 所以，点 P关于Oxy 坐标平面对称的点 P'的坐标 为(2,3,1). 同理，点 P关于Oyx,Ozx坐标平面对称的点的坐标分 别为(-2,3,-1),(2,-3,-1). (2)设点 P关于x轴对称的点为Q,则点Q在x轴上的 坐标与点P的坐标相同，而点Q在y轴上的坐标及在≥ 轴上的坐标与点P在y轴上的坐标及在≈轴上的坐标 互为相反数. 所以，点P关于x轴对称的点Q的坐标为(2,-3,1). 同理，点P关于y轴、轴对称的点的坐标分别为(-2, 3,1),(-2,-3,-1). (3)点 P(2,3,-1)关于坐标原点对称的点的坐标 为(-2,-3,1). 探究三 [例3][解]∵PA=AB=AD=1,PA⊥平面 ABCD, AB⊥AD, 4