1.1.2 空间向量的数量积运算-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教A版2019）

?高中数学·选择性必修 第一册 1.1.2 空间向量的数量积运算 [学习任务] 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.(重点) 3.能用向量的数量积解决夹角与距离问题.(难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 空间向量的夹角 知识点三 投影向量及直线与平面所成的角 1.夹角的定义：已知两个非零 B 向量 a,b,在空间任取一点 0? O,作OA= a,OB= b,则 Aa ∠AOB叫做向量a,b的夹角，记作 2.夹角的范围： 3.两向量垂直：如果(a,b>=2,,那么向量a,b 互相 ,记作 知识点二 空间向量的数量积 1.空间两个向量的数量积 定义 已知两个非零向量 a,b,则 叫做a,b的数量积，记作 .即 a·b= |al|b|cos<a,b>.零向量与任意向量的数量积 为0 数乘向量与 向量数量积 (λa)·b= ,λ∈R 运算律 的结合律交换律 a·b= 分配律 (a+b)·c= 2.空间向量数量积的性质 当a≠0,b≠0时， alb?a·b=0; a·a=|a||a|cos<a,a>=|a|2. 1.投影向量 (1)向量 a 在向量b上的 投影 先将向量 a与向量 b -b 图① 平移到同一平面α内，如图①,向量c称为向 量 a在向量b上的投影向量. (2)向量a在直线l上的投影 如图②,向量c称为向 量a 在直线l上的投影. 图② (3)向量a在平面β上的投影 如图③,分别由向量 a A a,B a B′ /β A′ 的起点A 和终点B作平面β 图③ 的垂线，垂足分别为A',B',则向量A'B(a') 称为向量a在平面β上的投影向量. 2.直线与平面所成的角 如图③,向量a与向量a′的夹角就是向 量a所在直线与平面β所成的角. 4 第一章 空间向量与立体几何 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 空间向量的数量积运算 [例1](链接教科书第 7 0 页例 2)已知正四面体 OABC的棱长为1,如图 所示.求： A (1)OA·OB (2)(OA+OB)·(CA+CB). B C 跟踪训练 1.已知在长方体 ABCD-A?B?C?D?中，AB= AA?=2,AD=4,E为侧面 AA?B?B的中 点，F 为 A?D?的中点.求下列向量的数 量积： (1)BC·ED?; (2)BF·AB. □变式训练 1.(变条件，变设问)在本例条件下，若E,F分 别是OA,OC的中点，求： (1)EF·AO; (2)EF·AC; (3)EF·CB. 探究二 利用空间向量的数量积证明垂直 [例 2] 如图，在正方体 ABCD- A?B?C?D? 中，0为 AC与 BD 的交 点，G 为CC?的中点，求 A, 证：A?O⊥平面GBD. D? C? B? G Dk C 0 A B Ⅱ规律方法|Ⅱ- 求空间向量的数量积的步骤 (1)将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角 理清； (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知 模和夹角余弦值的乘积； (3)代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解。 |规律方法|Ⅱ 用向量法证明几何中垂直关系问题的思路 (1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的 向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可； (2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为 线线垂直，然后利用向量的数量积证明线线垂直即可. 5 ?高中数学·选择性必修 第一册 跟踪训练 2.(1)(华中师大一附中月考)已知矩形 ABCD, 若 PA⊥平面 ABCD,则以下等式中可能不 成立的是 ( ) A.DA·PB=0 B.PC·BD=0 c.PD·AB=0 D.PA·CD=0 (2)(深圳中学月考)已知空间中四点 A,B, E,C,若AB·BE=AB·BC,则AB CE.(选填“⊥”“//”或“=”) 探究三 利用空间向量的数量积解决夹角和 距离问题 [例 3] 如图所示，在平行六面体 ABCD- A?B?C?D?中，底面 ABCD 是边长为1的正方形，AA? A D? C? B?=2,∠A?AB= ∠A?AD= 120°.求线段AC?的长度. D C A B 3.(变结论)题目中条件不变，求异面直线 AC? 与 A?D所成角的余弦值. |Ⅱ规律方法|Ⅱ 1.利用向量的数量积求异面直线所成角的方法步骤： (1)根据题设条件在两异面直线上取两个向量； (2)将求异面直线所成角转化为求向量的夹角问题； (3)利用向量的数量积求角的大小. 2.求解距离问题时，先选择以两点为端点的向量，将此 向量表示为几个向量和的形式，求出这几个已知向 量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|= √a·a求解即可。 □变式训练 2.(变结论)题目中条件不变，求线段DB?的 长度. □跟踪训练 3.(黑龙江大庆铁人中学高二月考)如图，在一 个120°的二面角的棱上有两点 A,B,线段 AC,BD分别在这个二面角的两个半平面 内，且均与棱 AB垂直.若 AB=√2,AC=1, BD=2,则CD的长为 ( ) C A D B A.2 B.3 C.2√3 D.4 6 第一章 空间向量与立体几何 易错 混淆向量的夹角与空间角 警示 [典例] 如图，在平面角为 Dβ A 120°的二面角α-AB-β B 中，ACCα,BDCβ,且 C AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为 A,B.已知 AC=AB=BD=6,求线段CD的长. [错解] CD=6√2. [错解分析] 本题易错的地方是混淆二面 角的平面角与向量夹角的概念，而误认为 <CA,BD>=120°,得到错误答案. [正解]∵ACLAB,BD⊥AB, ∴CA·AB=0,BD·AB=0. ∵二面角α-AB-β的平面角为120°, ∴<CA,BD>=180°—120°=60° ∴CD2=(CA+AB+BD)2 =CA2+AB2+BD2+2 CA·AB+2CA· BD+2 BD·AB =3×62+2×62×cos 60°=144. ∴CD=12. |误区警示|I-- 利用向量的数量积的性质解决有关平面或空间中 角的问题时，要特别注意向量的夹角与所求角的区别 与联系，切不可忽略角的取值范围而盲目套用.利用向 量求二面角的平面角时，一般不能保证所求的角就是 二面角的平面角，也有可能是二面角的平面角的补角， 这时要结合实际图形对所求的角进行适当的处理. 提示、请完成《素能提升训练》训练二 1.2 空间向量基本定理 [学习任务] 1.类比平面向量基本定理，理解并掌握空间向量基本定理.(重点) 2.能熟练地用基底表示向量，并能解决平行、垂直、夹角等问题.(重点、难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 空间向量基本定理 1.定理：如果三个向量a,b,c ,那么 对任意一个空间向量p,存在 的有 序实数组(x,y,z),使得p= 其中{a,b,c}叫做空间的一个 a,b,c都叫做 2.空间向量的正交分解 (1)正交分解：把一个空间向量分解为三个 两两 的向量，叫做把空间向量进行 正交分解. (2)单位正交基底：空间的一个基底中的三 个基向量两两 ,且长度都为 , 那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k} 表示. 7 将②代入①中，再两式相加得2EF=AD+BC, 所以EF=÷AD+÷BC,即EF与BC,AD共面. [跟踪训练] 3.解(1)BD=BC+CD=2a+4b=2AB, 所以 A,B,D三点共线. 答案 A,B,D (2)①∵OA+OB+OC=3OM. ∴OA-OM=(OM-OB)+(OM-OC), 即MA=BI+CM=-MB-MC, ∴向量MA,MB,MC共面. ②由①知向量MA,MB,MC共面，而它们有共同的起点 M,且A,B,C三点不共线， ∴M,A,B,C共面，即M在平面ABC内. 1.1.2空间向量的数量积运算 【自主学习探新知】 知识点一 1.<a,b) 2.[0,π] 3.垂直 a⊥b 知识点二 1.|a||b|cos<a,b)a·b λ(a·b) b·a a·c+b·c 【互动探究解疑难】 探究一 [例1][解] 在正四面体OABC中， IOA|=1OB|=1OC|=1. <OA,OB)=<OA,OC=<OB,OC)=60°. (1)OA·OB=1OA|OB|COS∠AOB=1×1×cos 60° =2 (2)(OA+OB)·(CA+CR =(OA+OB)·(OA-OC+OB-OC) =(OA+OB)·(OA+OB-2OC =OA2+2OA·OB-2OA·OC+OB2-2OB·OC =12+2×1×1×cos 60°-2×1×1×cos 60?+l2-2×1 ×1×cos 60?=1+1-1+1-1=1. [变式训练] Q1.解(1)E·A?-÷AC.Aò E/ F =÷1ACAò|cos<AC,AO >CA< =÷c60=÷. B (2)EE·AC-2AC·AC=IACI=2. (3)EE·CB=-AC.CB=+IAeCBl<AC,CB) -2cos 120=-÷. [跟踪训练] 1.解 如图所示，设AB=a,AD=b,AAi=c, A? F D? B ⋯ C? E; c D A ba B" C 则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0. (1)BC·ED=BC·(EA?+A,D) =b·[≥(c-a)+b]=161=42=16. (2)BF·AB?=(BA?+A,F)·(AB+AA?) =(c-a+÷b)·(a+c)=1cl2-1al2=22-22=0. 探究二 [例2][证明]设A?B?=a,A,D?=b,A,A-c, 则a·b=0,b·c=0,a·c=0,|a|=|b|=|c|. ∵AO-A,A+AO-A,A+÷(AB+AD) =c+÷a+÷b, BD=AD-AB=b-a 0G=0E+cG=÷AB+AD++C =2a+÷b-÷c. ∴Aδ·BD=(c+÷a+÷b)·(b-a) =c·b-c·a+2a·b-≥a2+≥b-2b·a =÷(b2-a2)=÷(1bl2-lal2)=0. 于是A,O⊥BD,即A?O⊥BD. 同理可证A,?⊥OG,即A,O⊥OG. 又 BD∩OG=O, 于是有A,O⊥平面 GBD. [跟踪训练] 2.解析(1)因为四边形 ABCD为矩形，且 PA⊥平面 ABCD,所以 DA⊥PB,AB⊥PD,PA⊥CD,故选项 A 中，DA·PB=0正确；选项C中，PD·AB=0正确；选 项D中，PA·CD=0正确；而选项 B只有四边形 AB- CD为正方形时才正确.故选 B. (2)因为A户·BE=AB·BC,所以A户·(BE-BC)= AB·CE=0,所以AB⊥CE. 答案 (1)B (2)⊥ 探究三 [例3][解]设AB=a,AD-b,AA?-c, 则|a|=|b|=1,|c|=2,a·b=0, 2 c·a=c·b=2×1×cos 120°=-1. ∵AC=AC+CC=AB+AD+AA?=a+b+c, ∴|AC?|=|a+b+c|=√(a+b+c)2 =√|al2+|b|2+|cl2+2(a·b+b·c+c·a) =√12+12+22+2(0-1-1)=√2. ∴线段 AC?的长为√2. [变式训练] 2.解 DB=DA+AA?+A?B=a-b+c, 所以|DB?|=|a-b+c|=√|a-b+c| =√a2+b2+c23-2a·b+2a·c-2b·c=√6. 3.解 设异面直线 AC?与A?D所成的角为θ, #x高 ∵AC=a+b+c,A,D=b-c :AC·A,D=(a+b+c)·(b-c)=a·b-a·c+ b2-c2=0+1+12-22=-2,|A,D|=√(b-c)2 √|bl2-2b·c+1cl2=√12-2×(-1)+22=√7. 方-平 故异面直线 AC?与A?D所成角的余弦值为一 [跟踪训练] 3.B∵CD=CA+AB+BD,∴CD=CA+AB2+BD +2CA·AB+2CA·BD+2AB·BD. ∵CA⊥AB,BD⊥AB,∴CA·AB=0,AB·BD=0. 又CA·BD=1CA|BDIcos(180°-120=÷×1×2= 1,∴Cb=1+2+4+2×1=9,∴|Cb|=3.故选 B. 1.2空间向量基本定理 【自主学习探新知】 知识点 1.不共面 唯一 xa+yb+c 基底 基向量 2.(1)垂直 (2)垂直 1 【互动探究解疑难】 探究一 [例1][解] 假设OA,DB,OC共面，由向量共面的充要 条件知，存在实数z,y,使得OA=zOB+yOC成立， 即e?+2e?-e?=x(-3e?+e?+2e?)+y(e?+e?-e?) =(-3x+y)e?+(x+y)e?+(2x-y)e?. 因为{e?,e?,e?}是空间的一个基底， 所以e?,e?,e?不共面，所以 此方程组 无解. 即不存在实数x,v.使得OA=xOB+vOC成立， 所以OA,OB,OC不共面. 故{OA,OB,OC}能作为空间的一个基底. [跟踪训练] 1.B 对于A,因为(a+c)—(a-b)=b+c,所以向量a+ c,a-b,b+c是共面向量，因此这三个向量不能构成基 底，故 A错误；对于B,因为{a,b,c}为空间的一个基底， 所以这三个向量不共面，若{c,a+b,a—b}不构成一个 基底，则有c=x(a+b)+y(a-b),即c=(x+y)a+(x 一y)b,所以向量a,b,c是共面向量，这与这三个向量不 共面矛盾，故假设不正确，因此{c,a+b,a-b}能构成一 个基底，故 B正确；对于C,因为(a+b)+(a-b)=2a, 所以向量a,a+b,a—b是共面向量，因此这三个向量不 能构成一个基底，故C错误；对于D,因为(a+b+c)一 (a+b)=c,所以向量a+b,a+b+c,c是共面向量，因此 这三个向量不能构成一个基底，故 D错误，故选 B. 探究二 [例2] [解]AM=AB+÷BC =AB+÷(BC+CC)=AB+÷BC++CC =AB+÷(AC-AB)+÷AA =÷AB+÷AC+÷A=÷(a+b+e). 连接A'N(图略). AN=AA+AN=AA+÷(AE+AC) =AA+÷(AB+AC)=a+÷b+÷c. [变式训练] 解 因为M为BC'的中点，N为B'℃'的中点， 所以AM-÷(AB+AC)=÷a+÷b. AN=÷(AB+AC)=÷(AB+BB+AC) -÷AB+c+÷AC =÷AB+÷AC-AO+÷AC =÷AB+AC-÷AC-÷b+a-÷c. [跟踪训练] 2.解析(1)因为AC=4MC,N为BD的中点，所以MN =MC+CB+BN=÷AC+(AB-AC)+÷(AD- AB=÷AB-÷AC+÷AD=÷a-÷b+÷c.故 选 A. (2)因为在平行六面体 ABCD-A?B?C?D?中，点 M是 A?D?的中点，点N是CA?上的点，且CN:CA?=1:4, 所以MR=MA?+A,N=-÷AD+÷AC=-÷AD +2(AC-AA)=-÷AD+(AB+AD-AA)= ÷Ab+÷Ab-÷AA=÷a+÷b-÷c..故选 D. 答案 (1)A (2)D 3