1.1.1 空间向量及其线性运算-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教A版2019）

第一章 空间向量与立体 几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.1空间向量及其线性运算 [学习任务] 1.理解空间向量的概念.(难点) 2.掌握空间向量的线性运算.(重点) 3.掌握空间向量共线和共面的充要条件及应用.(重点、难点) AI样学助手 在找答盘 配章爸案"王[ 杭判孟操补缺 自主学习探新知 课前预习双基落实 知识点一空间向量的有关概念 1.定义：在空间，我们把具有 和 的量叫做空间向量. 2.长度：空间向量的 叫做空间向量的 长度或 (1)几何表示法：空间向量用 表示； (2)字母表示法：用字母表示，若向 量a的起点是A,终点是B,则 向量a也可以记作 ,其模 记为 或 3.表示法 4.几个特殊向量 名称 定义 表示法 零向量 长度为0的向量 0 单位向量 模为1的向量 |a|=1或 |AB|=1 相反向量 与向量 a 长度 而方向 的向量，叫做a的相反 向量 一 d 共线向量 (或平行 向量) 表示空间向量a,b的有向线 段所在的直线_ _’ 则向量a,b叫做 或_ a//b 相等向量 方向 且模 的向量 a=b或 AB=cb 知识点二空间向量的线性运算 加法 a+b=OA+AB=_ C< B 空间向量的线性运算 9 abb 减法 a-b=OA-oc= 0~ a A /Q当λ>0时，ia=aOA=PQ; /M /A 数乘 Aa(λ>0)当λ<0时，=aOA=MN. /Aa(A<0)a 当λ=0时，λa=0 o p' n (1)交换律：a+b=b+a; 运算律 (2)结合律：(a+b)+c= (3)分配律：(λ+μ)a=_ ,a(μa)=_ _,λ(a+b)=_ _; 知识点三空间向量的共线和共面 1.共面向量 平行于 的向量. 2.空间向量共线和共面的充要条件 共线(平行)向量 共面向量 对任意两个空间向量a,b (b≠0),a//b的充要条件 是存在实数λ,使_ 如果两个向量a,b 那么向量 p与向量 a,b共 面的充要条件是存在唯一 的有序实数对(x,y),使p= 3.直线l的方向向量 在直线l上取非零向量a, 称为直线l的方向向量. 1 ?高中数学·选择性必修 第一册 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一空间向量的概念辨析 [例1]给出下列命题： ①|a|=|b|是向量a=b的必要不充分 条件； 1a/a!②向量a,b相等的充要条件是 ③若A,B,C,D是不共线的四点，则AB= (2)DD-AB+BC; (3)AB+AD+?(DD2-BC). DC是四边形 ABCD为平行四边形的充要 条件. 其中正确的是 .(填序号) Ⅱ规律方法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 空间向量的概念问题 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平 面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条 件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向 量的充要条件是模相等、方向相反. 口跟踪训练 1.(1)下列说法正确的是 () A.向量AB与向量BA是相等向量 B.与实数类似，对于两个向量a,b,有a=b, a>b,a<b三种大小关系 C.向量的模是一个正实数 D.若两个非零向量是共线向量，则这两个向 量所在的直线可以平行，也可以重合 (2)(多选)下列说法中正确的是 () A.单位向量都相等 B.任一向量与它的相反向量都不相等 C.四边形 ABCD是平行四边形的充要条件 是AB=DC D.“向量的模为0”是“一个向量的方向是任 意的”的充要条件 探究二空间向量的线性运算 [例2]已知平行六面体 ABCD-A'B'C'D', 化简下列向量表达式，并在 D f” A'图中标出化简结果的向量： B D(1)AB+AD+AA'; c BA ?变式训练 (变问法)若本例条件不变，化简下列表达 式，并在图中标出化简结果的向量： (1)DC+AD+}Cc; (2)AA+÷AB+?AD. Ⅱ规律方法Ⅱ 利用线性运算进行向量化简的技巧 (1)数形结合：利用线性运算解题时，要结合具体 图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量 用已知向量表示 (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙 利用中点坐标公式. [注意] (1)向量减法是加法的逆运算，减去一个 向量等于加上这个向量的相反向量； (2)首尾相连的若干向量构成封闭图形时，它们的 和向量为零向量. 2 第一章 空间向量与立体几何 ?跟踪训练 2.已知M,N分别是四面体OABC的棱OA, BC的中点，点 P在线段MN上，且 MP= 2PN,设OA=a,OB=b,OC=c,则OP= () A.÷a+∈b+5c B.÷a+}b+3c D.}a+∈b+Gcc.}a+÷b+}c 探究三空间向量的共线、共面问题 [例3](1)已知四边形 ABCD,ABEF都是平 行四边形且不共面，M,N