训练24幂函数-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练测（人教A版2019）

AI伴学助手 在线答疑 配套签案 训练二十四幂函数 鑫需称联 号 7.(衡水高一期中)已知幂函数f(x)=(m2- 基础练 学考测评 5m+7)x-m-1(m∈R)为偶函数. 1.下列函数中是幂函数的是 () (1)求 f(是)的值; A.y=x?+x B.y=10? (2)若f(2a+1)=f(a),求实数a的值. C.y=} D.y=x+1 2.已知 y=(m2+m-5)x””是幂函数，且在第 一象限内是单调递减的，则m的值为() A.-3 B.2 C.-3或 2 D.3 3.下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数 大致对应的是 () y+ y 0 x o ① yt ② yt 0 女 0 女 ③ ④ A.①y=x2,②y=x2,③y=x*,④y=x- B.①y=x2,②y=x,③y=x*,④y=x-1 C.①y=x2,②y=x3,③y=x?,④y=x- D.①y=x*,②y=x*,③y=x2,④y=x-1 4.已知a=2*,b=42,c=25*,则 () A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 5.已知函数y=x,y=√工和y=÷的图象都经 过同一个点，则该点的坐标为 (3.号)6.已知幂函数 f(x)的图象过点 ,则函 [号，2]」数g(x)=(2x-1)f(x)在区间 上的 最小值是 ;最大值是 能力练 逊移运用 8.(安徽部分重点高中高一联考)已知幂函数 f(x)=(m2-m-1)x"3+2m-5在区间(0, +～)上单调递增，且a+b>0,则 f(a)+ f(b)的值 () A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断 9.已知α∈{-1,1,2,3},则使函数 y=x°的值 域为R,且为奇函数的所有α的值为 () A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 10.(多选)若函数f(x)=x°,则() A.f(x)的图象经过点(0,0)和(1,1) B.当f(x)的图象经过点(-1,-1)时， f(x)为奇函数 47 ?高中数学·必修 第一册 C.当f(x)的图象经过点(一1,1)时，f(x) 为偶函数 D.当α>0时，存在 f(x)使得 f(√3)< f(√2) 11.(湖南师大附中高一阶段考)已知幂函数 f(x)=(m2-3m+3)x"+I的图象关于原 点对称，则满足(a+1)“>(3-2a)”成立 的实数a的取值范围为_ · 12.若幂函数 y=f(x)的图象过点(8,2√2),则函 数f(x-1)-f2(x)的最大值为_ 13.已知幂函数f(x)=(2m2-5m+3)x””是 定义在R上的偶函数. (1)求 f(x)的解析式； 创新练/素能增优 14.若点(√2,2)在幂函数f(x)的图象上，点 (2.去);在幂函数g(x)的图象上. (1)求函数f(x)和g(x)的解析式； (2)定义0-,求函 数h(x)的最大值及单调区间. (2)在区间[-1,1]上，f(x)的图象总在函 数 y=kx-2 图象的上方，求实数k的取值 范围. 48 (2)函数图象如图所示. g(a)=f(a)一号，12.解析 因为 ,所以g(-x)=f(-x)yt 一，,所以g(x)+g(-x)=f(x)+f(-x)-x2=0.因 为g(x)的定义域为R,所以g(x)为奇函数.因为 y= f(x)在(一～,0)上单调递增，y=x2在(一～,0)上单调 递减，所以 y=g(x)在(一一，0)上单调递增.结合其为 奇函数，可知y=g(x)在(-～,+～)上单调递增.因为 f(2-a)-f(a)≥2-2a等价于f(2-a)-2z)≥ f(u)-二，即g(2-a)≥g(a),所以2-a≥a,解得 1o 4 3 x 2 -3 4 (3)由图象观察知f(x)的值域为{y|y≤4},单调递增区 a≤1. 间为(一一，—3)和[0,3],单调递减区间为(—3,0)和(3, +~). 答案 奇函数 (一～,1) f(x)=mx+13.解(1)若函数 是R上的偶函数，则 f(-x)=f(a),即42-1+, 8.A 法一 令g(x)=x?+ax?+bx,易知g(x)是R上的 奇函数，从而 g(-2)=-g(2),又f(x)=g(x)-8, 解得 m=0. ∴f(-2)=g(-2)-8=10,∴g(-2)=18,∴g(2)= (2)函数f(x)在(一，0)上单调递增.证明如下：-g(-2)=-18,∴f(2)=g(2)-8=-18-8=-26. 法二由已知条件，得 由(1),知f(x)=1+ ① 1(2)22+a2)?++6:2-8,+6(-2)-8 ② 设任意的x?,x?∈[一，0],且x?<x?, 则f(x)-(x)=1+-1+①+②得 f(2)+f(-2)=-16. 又 f(-2)=10,∴f(2)=-26. -#d+-+09.AB ∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(-1)=f(1) =1-1=0,故 A正确；当 x≥0时，f(x)=x-x2= 因为x?<x?≤0, (0.一)上单调递,易知函数 f(x)在 增，在|(去，+~)上单调递减，根据偶函数的性质知函数 -(x-2)+÷, 所以x?+x?<0,x?-x?>0,(1+x{)(1+x)>0, 所以 f(x?)<f(x?), 所以函数 f(x)在(一，0)上单调递增. (3)由(2),知函数f(x)在(一～,0)上单调递增. f(a)的最大值为一，画敬f(x)在(-~,-号)上单调递 又 f(x)是R上的偶函数， 所以 f(x)在(0,+~)上单调递减， 增，在(一言.0)上单调递减，故 B正确，C 错误；∵f(0) 所以 f(x)在[-3,0]上单调递增，在(0,2)上单调递减. =0,∴f(x)>0的解集为(-1,0)U(0,1),D错误.故 选 AB. 又f(-3)=5·/(0)=1,f(2)=号， 10.D 通解：由题意知f(x)在(-心，0),(0,+～)单调递 所以 f(x)=f(0)=1,f(x)=f(-3)=. 减，且f(-2)=f(2)=f(0)=0.当x>0时，令f(x-1) 14.解(1)因为对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+ ≥0,得O≤x-1≤2,所以1≤x≤3;当x<0时，令 f(b),所以令a=b=0,得f(0)=0.f(x-1)≤0,得-2≤x-1≤0,所以-1≤x≤1,又x< (2)证明由f(a+b)=f(a)+f(b),得f(x-x)= f(x)+f(一x),所以f(x)+f(-x)=f(0),而f(0)= 0,所以-1≤x<0;当x=0时，显然符合题意.综上，原 不等式的解集为[-1,0]U[1,3],选 D. 0,因此f(-x)=—f(x),即函数 y=f(x)是奇函数。优解：当x=3时，f(3-1)=0,符合题意，排除 B;当x (3)证明 设x?>x?,则x?-x?>0,f(x?-x?)<0,而 f(a+b)=f(a)+f(b),所以 f(x?)=f(x?-x?+x?)= f(x?-x?)+f(x?)<f(x?),因此函数y=f(x)是R上 的减函数. =4时，f(4-1)=f(3)<0,此时不符合题意，排除选项 A,C.故选 D. 11.解析因为函数f(x)对任意给定的实数x?,x?, x?f(x?)+x?f(x?)<x?f(x?)+x?f(x?)恒成立，即(xi -x2)·[f(x?)-f(x?)]<0恒成立，所以函数f(x)在 R上为减函数.又函数 f(x)是R上的奇函数，所以f(0) 训练二十四幂函数 1.C 根据幕画数的定义知，y=号；=0,则由不等式(x+1)f(1-2x)<0,得 是幂函数，y=x?+x2, y=10*,y=x+1都不是幂函数.-24<o{-20>/oo。。即 2.A 由y=(m2+m-5)x”是幂函数，知m2+m-5=1, 解得 m=2或 m=-3.∵该函数在第一象限内是单调递成{f-2<6,解得-1<x<2.所以原不等式的解集 减的，∴m<0.故 m=-3. 为(-1.立). 3.A 函数 y=x3为奇函数且定义域为R,该函数图象应与 ①对应；函数 y=x2≥0,且该函数是偶函数，其图象关于 y轴对称，该函数图象应与②对应；y=x÷=√x的定义(-1.去)答案 86 域、值域都是(0,+心),该函数图象应与③对应；y=x- =÷其图象应与④对应，故选 A. 4.A a=2÷=16*,c=25*,由幂函数 y=x÷在(0,+～) 上单调递增，可得a<c.又b=4+=16*,由指数函数 y= 16°在R上单调递增，可得b<a.所以b<a<c. 5.解析易知这三个函数定义域的公共部分为(0,+0), 则根据幂函数的性质可知这三个函数的图象都经过点 (1,1). 答案 (1,1) 6.解析 设幂函数y=f(x)=x*,α是常数，其图象过点 (3.,号)⋯3=3,解得a=-1∴f(x)=x1=÷x≠ 0.又函数g(a)=(2x-1)f(x)=2=2-二在区间 [号.] k(号)=2上单调递增，∴函数g(x)的最小值是 -2=0,最大值是g(2)=2-号一意. 答案 0音 7.解 (1)由题意知m2-5m+7=1,解得m=2或m=3, 当m=2时，f(x)=x3,为奇函数，不满足题意； 当m=3时，f(x)=x~‘,满足题意， ∴f(a)=x2,∴f(÷)=(÷)*=16. (2)由f(x)=x和f(2a+1)=f(a)可得|2a+1|= lal,即2a+1=a或2a+1=-a, :a=-1或a=-号. 8.A 由函数f(x)=(m2-m-1)x"*+2m-5是幂函数，得m2 一m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时，f(x)= x23;当m=—1时，f(x)=x~.因为函数 f(x)在(0, +心)上单调递增，所以 f(x)=x3.又a+b>0,所以a> 一b,所以f(a)>f(-b)=-f(b),所以f(a)+f(b)>0. 故选 A. 9.A当α=-1时，y=x°的值域不是R,当α=2时，y=x° 是偶函数，当α=1,3时，y=x°的值域为R,且为奇函数， 因此选项 A正确，故选 A. 10.BC 根据幂函数的图象性质可知，当α<0时，幂函数 的图象不经过点(0,0),故 A错误；当f(x)的图象经过 点(-1,-1)时，f(-1)=(-1)?=—1,易知当a>0 时，f(x)的定义域为R,当α<0时，f(x)的定义域为{x |x≠0},都关于原点对称，又 f(-x)=(一x)°= (-1)°x?=-x?=-f(x),所以f(x)为奇函数，B正确； 当f(x)的图象经过点(-1,1)时，f(-1)=(-1)°=1, 易知当a>0时，f(x)的定义域为R,当a<0时，f(x)的 定义域为{x|x≠0},都关于原点对称，又f(-x)= (-x)?=(-1)°x°=x°=f(x),所以f(x)为偶函数，C 正确；当α>0时，f(x)在(0,+)上单调递增，所以 f(v3)>f(√2),D错误.故选 BC. 11.解析 因为函数f(x)=(m2-3m+3)x"+是幂函数， 所以m2—3m+3=1,解得m=1或m=2.当m=1时， f(x)=x2是偶函数，其图象关于y轴对称，不符合题意； 当m=2时，f(x)=x3是奇函数，其图象关于原点对称， 符合题意，所以m=2.所以不等式(a+1)">(3-2a)" 可化为(a+1)2>(3-2a)2,即(3a-2)(a-4)<0,解得 号<a<4.所以实数α的取值范围为((号，4). (音·4)答案 12.解析 设函数f(x)=x°,由题意可知8°=2√2, ∴a=2⋯f(a)=x?=√T. 令h=f(x-1)-f(x),则h=√x-I-x.令√x-I =t,则 x=t2+1,且t≥0,∴h=t-(t2+1)=-t2+t- 1.t≥0,且当4=号时，hm=-. -2答案 13.解 (1)∵幂函数f(x)=(2m2-5m+3)x”是定义在R 上的偶函鼓，:.2m2-5m+3=1,解得m=2或 m=. m=!∵当m=2时，f(x)=x2,是偶函数，当； 时，f(x) =x÷,不是偶函数，∴m=2,∴f(x)=x2. (2)∵在区间[-1,1]上，f(x)的图象总在函数y=kx- 2图象的上方，即 x2>kx-2在[-1,1]上恒成立，记 g(x)=x2-kx+2,则g(x)=x2-kx+2>0在[-1,1] 上恒成立，当告>1,即k>2时，函数g(x)=x2-kx+2 在[-1,1]上单调递减，g(x)⋯=g(1)=1-k+2=3- 合<-1.即kk,令3-k>0,解得k<3,故 2<k<3;当 <-2时，函数g(x)=x2-kx+2在[-1,1]上单调递 增，g(x)=g(-1)=1+k+2=3+k,令3+k>0,解 得k>-3.故-3<k<-2;当-1<合≤1,即-2≤k≤ [-1.合].2时，函数g(x)=x2-kx+2在 上单调递减， 在(合·1)上单调递增，g(x)m=g(告)-算-k·合 +2=2-个，令2-一>0,解得-2√Z<k<2√2,故-2 ≤k≤2. 综上，实数k的取值范围为(-3,3). 14.解 (1)设f(x)=x”,因为点(√2,2)在幂函数f(x)的 图象上，所以(√2)°=2,解得α=2,即f(x)=x2. 设g(x)=x2,因为点(2.号)a在幂函数g(x)的图象上， 所以2=去，,解得β=-1,即g(x)=x~'. (2)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)=x2和 g(x)=x1的图象，可得函数h(x)的图象如图所示(图 中实线部分). y? f(x): 1 (1,1) -g(x) -10 -1 1 x 87 由题步及图象可知K(x)-{a1,根据函 数h(x)的解析式及图象可知，函数h(x)的最大值为1, 单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(一心，0) 和(1,+0). 训练二十五函数的应用(一) 1.D由5x+40000≤10x,得x≥8000,即日产手套至少 8 000双才不亏本. 2.D 设这两年生产总值的年平均增长率为x,由题意得(1 +p)(1+q)=(1+x)2,解得x=√(1+p)(1+q)-1.故 选 D. 3.A 设生产x吨产品全部卖出，利润为y元，则 y=xQ- P=x(a+云)-(1000+5x+lóx)=(÷-)x2+ (a-5)x-1000(x>0). 由题意知，当x=150时，y取最大值，此时Q=40,所以=解得 -12. -4.C 由题意可得当n=M时， 当 n=9时， :n=4<25∴f(4)==30.即可大致推出该工人装 配第4件工件所用的时间是30分钟. 5.解析 设总利润为y. 当0≤x<300时，y=300x-去x2-100x-10 000 =-÷(x-200)*+10 000, ∴当x=200时，ym=10 000; 当x≥300时，y=45000-100x-10 000=35 000-100x ≤5 000. 故总利润最大时店面经营天数是 200. 答案 200 6.解析 设y=(m-19.55)2+(m-20.05)2+(m-20.45)2+ (m-19.95)2=4m2-2×(19.55+20.05+20.45+ 19.95)m+19.552+20.052+20.452+19.952,则当 m= 19.55+20.05+20.45+19.95=20时，y取最小值 答案 20 7.解 (1)因为f(x)是一次函数，所以设f(x)=ax+b(a -2 16=12:≠0),由表格得方程组， 解得 所以 y=f(x)=-3x+162. 又 y≥0,所以30≤x≤54,故所求函数关系式为 y=f(x) =-3x+162,x∈[30,54]. (2)由题意得P=(x-30)y=(x-30)(162-3x)=-3x2 +252x-4860=-3(x-42)2+432,x∈[30,54]. 当x=42时，Pmx=432,即当销售单价为42元时，可以 获得最大的日销售利润. 8.D 由题意知，h(5)=245,所以5v-4.9×52=245,解得 v=73.5,所以h(t)=73.5t-4.9t2,其图象的开口向下，对 称轴为直线1=一2又二15)-7.5,所以子弹在245m以 上的高度能持续的时间为2×(7.5-5)=5(s).故选 D. 9.A 因为该公司2020年总收入为 200亿元，预计每年总 收入比前一年增加20亿元，所以2025年的总收入为300 亿元.因为要求从 2020年起每年通过理财业务的收入是 前一年的t倍，所以2025年通过理财业务的收入为50t 亿元，所以300-50t?≤300×0.6,解得t≥√2.4.故t的 值至少为√2.4.故选 A. 10.B 以抛物线所在平面与墙面的交线为y轴，和水平面 的交线为x轴建立坐标系(图略).则由题设条件知，抛 物线的顶点M(1,詈),A点坐标为60,10),于是可设抛 物线方程为y=a(x-1)*+等将 A点坐标(0,10)代入 该方程可求得a的值为一旨.∴抛物线方程为：y= -Y(x-1)2+等..令y=0,得(x-1)2=4,∴x=3或x =-1(舍去).∴B点的坐标为(3,0),故 OB=3,故 选 B. 11.解析 如图，过点C作AD的垂线，交AD于点E.易知 ∠EDC=60°. E DAx 60° B C 在△CDE中，ED=÷CD,CE=h=FCD,所以CD= AB=月. Bc=1-层^.因为 CD+BC+AB=l,所以 AD=BC+2ED=1一方h,所以 S =所以 (Bc+A2)×CE-4-/5n(o<h<年). s=hu-√3m)(o<h<)答案 12.解析 当x∈[0,12]时，设f?(x)=a(x-10)2+80,将 (12,78)代入得，a=-2,则f,(x)=-号(x-10)2+ 80.当x∈[12,40]时，设 f?(x)=kx+b,将(12,78), {6-.(40,50)代入得 则 f?(x)=-x+90. 号A故 解得4<x≤12或12<x<28,所以4<x<28, 故教师在(4,28)时间段内安排核心内容，能使得学生学 习效果最佳. 答案 (4,28) 13.解 (1)对于套餐甲，当O≤x≤20时，f(x)=30, 当 x≥20时，设 f(x)=kx+b(k≠0), 由题图可知函数 f(x)的图象经过点(20,30),(50, 120), 88