训练23函数奇偶性的应用-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练测（人教A版2019）

训练二十三函数奇偶性的应用 基础练 学考测评 1.(长春期末)若函数f(x)为R上的奇函数，且 当x>0时，f(x)=x3-2,则 f(-1)=() A.-1 B. 1 C.-3 D.3 2.定义在R上的偶函数f(x)在(0,+～)上是 增函数，则 () A.f(3)<f(-4)<f(一π) 7.设 f(x)为定义在R上的偶函数，当O≤x≤ 2时，y=x;当x>2时，y=f(x)的图象是 顶点为 P(3,4)且过点 A(2,2)的抛物线的 一部分. yt 3 2 —5— —4— 2- 10 2 3 5 B.f(-π)<f(-4)<f(3) C.f(3)<f(一π)<f(-4) 24 3 D.f(-4)<f(一π)<f(3) 3.(北京西城期末)设f(x)为R上的奇函数， 且在(0,+～)上单调递增，f(1)=0,则不 等式 f(x+1)<0 的解集是 () A.(一1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(一，-2)U(-1,0) 4.若f(x)是偶函数，其定义域为(一～,+) 且在[0,+~]上是减函数，则 f(一号)与 f(a2+2a+号) 的大小关系是 () (1)求函数f(x)在(一～,-2)上的解析式； (2)在图中的直角坐标系中画出函数f(x) 的图象； (3)写出函数f(x)的值域和单调区间. A.f(-2)>f(a2+2a+多) B.f(-2)<f(a2+2a+2) C.f(-≥)≥f(a2+2a+) D.f(-2)≤f(a2+2a+) 5.已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足 f(x+4)=f(x),当1≤x≤2时，f(x)=x -2,则 f(6.5)= 6.已知函数f(x)是奇函数，当x∈(一～,0) 时，f(x)=x2+mx.若f(2)=-3,则m的 值为 能力练 逊移运用 8.(南昌高一质检)已知 f(x)=x?+ax3+bx —8,且 f(-2)=10,则 f(2)等于() A.-26 B.-18 C.-10 D.10 9.(多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数， 当x≥0时，f(x)=x-x2,则下列说法正确 的是 () A.f(-1)=0 14B.f(x)的最大值为- C.f(x)在(一1,0)上是单调递增的 D.f(x)>0的解集为(-1,1) 45 ?高中数学·必修 第一册 10.若定义在R的奇函数 f(x)在(一，0)单 调递减，且 f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0 的x的取值范围是 () A.[-1,1]U(3,+～) B.[-3,-1]U[0,1] C.[-1,0]U[1,+～] D.[-1,07U「1,3 11.(四川恩阳高一期中)已知函数f(x)是定 义在R上的奇函数.若对任意给定的实数 x?,x?,x?f(x?)+x?f(x?)<x?f(x?)+ x?f(x?)恒成立，则不等式(x+1) f(1-2x)<0的解集是 12.(山东淄博高一期中)设 y=f(x)是定义在 R上的函数，对任意的x∈R,恒有 f(x)+ f(一x)=x2成立，函数g(x)满足g(x)= f(ax)-言，,则g(x)是 (填“奇函 数”“偶函数”"非奇非偶函数""既奇又偶函 数”中的一个);若y=f(x)在(一～,0)上 单调递增，且 f(2-a)-f(a)≥2-2a,则 实数a的取值范围是_ 13.已知函数 f(a)=1+是R上的偶函数. (1)求实数m的值； (2)判断函数 f(x)在(一心，0)上的单 调性； (3)求函数f(x)在[-3,2]上的最大值与 最小值. 创新练/素能培优 14.(天津南开高一期末)已知函数f(x)的定 义域为R,且对任意a,b∈R,都有f(a+b) =f(a)+f(b),且当x>0时，f(x)<0 恒 成立. (1)求 f(0); (2)证明：函数 y=f(x)是奇函数； (3)证明：函数y=f(x)是R上的减函数. 46 -1=-2++1 :14.解 (1)我同意他的观点.即一x” 理由如下： ∴x2-nx+1=x2+nx+1,∴n=0. 假设f(x)是奇函数， 答案 0,0 f(a)=a2+3,f(-a)=a2-4|a|+3, 可得 f(a)+f(-a)=0, 即a2-2|a|+3=0无解， ∴f(x)不可能是奇函数. 6.解析 因为偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性 确定不等式 f(x)<0的解集. ∵当 x∈[0,5]时，f(x)<0的解集为{x|2<x≤5}, (2)若f(x)是偶函数，则有f(a)=f(-a), 即 a2+3=a2-4|a|+3,解得a=0. 经验证成立. ∴当x∈[-5,0]时，f(x)<0的解集为{x|-5≤x<-2}. ∴f(x)<0的解集是{x|-5≤x<-2,或2<x≤5}. 答案 {x|-5≤x<-2,或 2<x≤5} (3)由(2)可知 f(x)=x2-2|x|+3,图象如图： 7.解 (1)描出点(1,1),(2,0)关于原点的对称点(-1,-1), ”(-2,0),则可得f(x)的图象如图所示. 之 -2 1 1 -3 350 1 2 —1— 0 4-2 -1 1 2 -2F (2)结合函数f(x)的图象，可知不等式xf(x)>0的解集 单调递增区间为(-1,0),(1+～). 是(-2,0)U(0,2). 训练二十三函数奇偶性的应用 f(a)=f8.D 对任意的x∈R,x?+1>0,则函数 的定 r(-x)=二7=-义域为 R,又因为 1.B 因为函数f(x)为R上的奇函数，所以 f(-x)= -f(x),又当x>0时，f(x)=x2-2,所以 f(-1)= -f(1)=-(13-2)=1.故选 B. 一f(x),故函数f(x)为奇函数，排除AB;当x>0时，0< 2.C ∵f(x)在R上是偶函数， ∴f(-π)=f(π),f(-4)=f(4).f(a)=+1- - ,当且仅当x=x?+ 12√ x3· x3 1时，等号成立，排除C选项.故选 D. 而3<π<4,且f(x)在(0,+心)上是增函数， ∴f(3)<f(π)<f(4),即 f(3)<f(-π)<f(-4). 3.D ∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)=0.又 f(x)在 9.C 因为f(x)-g(x)=x3+x2+1, 所以 f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1. 又由题意可知f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x), 所以 f(x)+g(x)=-x3+x2+1, (0,+～)上单调递增，f(1)=0,∴f(x+1)<0,即0<x +1<1或x+1<-1,解得-1<x<0或x<-2,∴x∈ (一～,-2)U(-1,0).故选 D. 4.C 因为a2+2a+喜=(a+1)2+号>2,又因为f(x)在 则 f(1)+g(1)=1,故选 C. 10.A 由题图可知其函数图象关于y轴对称，所以函数为 偶函数，排除 B,D;由题图可知函数的定义域有限，对于 [0,+~]上是减函数，所以f(a2+2a+喜)≤f(2)= r(-2).C.y=1xl+√1±及y=1xl-√,的定义域均 为R,不符合题意.故选 A. 5.解析 ∵f(x+4)=f(x),∴函数f(x)的周期为4. ∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(-x)=f(x), 11.解析由题意知f(x)是偶函数，且f(x)的值域为[1, +～),故 f(x)=x2+1(答案不唯一). 答案 x2+1(答案不唯一) ∴f(6.5)=f(2.5)=f(-1.5)=f(1.5)=-0.5. 答案 一0.5 6.解析 因为f(x)为奇函数，所以f(-2)=-f(2)=3. 12.解析因为函数f(x)是奇函数，所以f(-3)=g(-3) 因为x∈(一，0)时，f(x)=x2+mx,所以 f(-2)= =-f(3)=-6,所以 f(g(-3))=f(-6)=-f(6)= (-2)°-2m=3,所以m=去. 答案 —33. 答案 —6 —33 13.解(1)证明由已知f(x+y)=f(x)+f(y), 令 y=-x得f(0)=f(x)+f(-x), 令x=y=0得 f(O)=2f(0),所以 f(0)=0. 所以f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x), 故 f(x)是奇函数. 7.解 (1)当x>2时，设f(x)=a(x-3)2+4. 因为f(x)的图象过点A(2,2), 所以a(2-3)2+4=2,所以a=-2, 所以 f(x)=-2(x-3)2+4. 设x∈(一的，-2),则-x>2, 所以 f(-x)=-2(-x-3)2+4. 又因为f(x)在R上为偶函数， (2)由(1)知f(x)为奇函数， 所以 f(-3)=-f(3)=a.所以 f(3)=-a. 又 f(12)=f(6)+f(6)=2f(3)+2f(3)=4f(3), 所以 f(-x)=f(x),所以 f(x)=-2(-x-3)2+4, 即f(x)=-2(x+3)2+4,x∈(一，-2).所以 f(12)=—4a, 85 (2)函数图象如图所示. g(a)=f(a)一号，12.解析 因为 ,所以g(-x)=f(-x)yt 一，,所以g(x)+g(-x)=f(x)+f(-x)-x2=0.因 为g(x)的定义域为R,所以g(x)为奇函数.因为 y= f(x)在(一～,0)上单调递增，y=x2在(一～,0)上单调 递减，所以 y=g(x)在(一一，0)上单调递增.结合其为 奇函数，可知y=g(x)在(-～,+～)上单调递增.因为 f(2-a)-f(a)≥2-2a等价于f(2-a)-2z)≥ f(u)-二，即g(2-a)≥g(a),所以2-a≥a,解得 1o 4 3 x 2 -3 4 (3)由图象观察知f(x)的值域为{y|y≤4},单调递增区 a≤1. 间为(一一，—3)和[0,3],单调递减区间为(—3,0)和(3, +~). 答案 奇函数 (一～,1) f(x)=mx+13.解(1)若函数 是R上的偶函数，则 f(-x)=f(a),即42-1+, 8.A 法一 令g(x)=x?+ax?+bx,易知g(x)是R上的 奇函数，从而 g(-2)=-g(2),又f(x)=g(x)-8, 解得 m=0. ∴f(-2)=g(-2)-8=10,∴g(-2)=18,∴g(2)= (2)函数f(x)在(一，0)上单调递增.证明如下：-g(-2)=-18,∴f(2)=g(2)-8=-18-8=-26. 法二由已知条件，得 由(1),知f(x)=1+ ① 1(2)22+a2)?++6:2-8,+6(-2)-8 ② 设任意的x?,x?∈[一，0],且x?<x?, 则f(x)-(x)=1+-1+①+②得 f(2)+f(-2)=-16. 又 f(-2)=10,∴f(2)=-26. -#d+-+09.AB ∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(-1)=f(1) =1-1=0,故 A正确；当 x≥0时，f(x)=x-x2= 因为x?<x?≤0, (0.一)上单调递,易知函数 f(x)在 增，在|(去，+~)上单调递减，根据偶函数的性质知函数 -(x-2)+÷, 所以x?+x?<0,x?-x?>0,(1+x{)(1+x)>0, 所以 f(x?)<f(x?), 所以函数 f(x)在(一，0)上单调递增. (3)由(2),知函数f(x)在(一～,0)上单调递增. f(a)的最大值为一，画敬f(x)在(-~,-号)上单调递 又 f(x)是R上的偶函数， 所以 f(x)在(0,+~)上单调递减， 增，在(一言.0)上单调递减，故 B正确，C 错误；∵f(0) 所以 f(x)在[-3,0]上单调递增，在(0,2)上单调递减. =0,∴f(x)>0的解集为(-1,0)U(0,1),D错误.故 选 AB. 又f(-3)=5·/(0)=1,f(2)=号， 10.D 通解：由题意知f(x)在(-心，0),(0,+～)单调递 所以 f(x)=f(0)=1,f(x)=f(-3)=. 减，且f(-2)=f(2)=f(0)=0.当x>0时，令f(x-1) 14.解(1)因为对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+ ≥0,得O≤x-1≤2,所以1≤x≤3;当x<0时，令 f(b),所以令a=b=0,得f(0)=0.f(x-1)≤0,得-2≤x-1≤0,所以-1≤x≤1,又x< (2)证明由f(a+b)=f(a)+f(b),得f(x-x)= f(x)+f(一x),所以f(x)+f(-x)=f(0),而f(0)= 0,所以-1≤x<0;当x=0时，显然符合题意.综上，原 不等式的解集为[-1,0]U[1,3],选 D. 0,因此f(-x)=—f(x),即函数 y=f(x)是奇函数。优解：当x=3时，f(3-1)=0,符合题意，排除 B;当x (3)证明 设x?>x?,则x?-x?>0,f(x?-x?)<0,而 f(a+b)=f(a)+f(b),所以 f(x?)=f(x?-x?+x?)= f(x?-x?)+f(x?)<f(x?),因此函数y=f(x)是R上 的减函数. =4时，f(4-1)=f(3)<0,此时不符合题意，排除选项 A,C.故选 D. 11.解析因为函数f(x)对任意给定的实数x?,x?, x?f(x?)+x?f(x?)<x?f(x?)+x?f(x?)恒成立，即(xi -x2)·[f(x?)-f(x?)]<0恒成立，所以函数f(x)在 R上为减函数.又函数 f(x)是R上的奇函数，所以f(0) 训练二十四幂函数 1.C 根据幕画数的定义知，y=号；=0,则由不等式(x+1)f(1-2x)<0,得 是幂函数，y=x?+x2, y=10*,y=x+1都不是幂函数.-24<o{-20>/oo。。即 2.A 由y=(m2+m-5)x”是幂函数，知m2+m-5=1, 解得 m=2或 m=-3.∵该函数在第一象限内是单调递成{f-2<6,解得-1<x<2.所以原不等式的解集 减的，∴m<0.故 m=-3. 为(-1.立). 3.A 函数 y=x3为奇函数且定义域为R,该函数图象应与 ①对应；函数 y=x2≥0,且该函数是偶函数，其图象关于 y轴对称，该函数图象应与②对应；y=x÷=√x的定义(-1.去)答案 86