训练22函数奇偶性的概念-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练测（人教A版2019）

训练二十二函数奇偶性的概念 基础练/学考测评 1.函数 f(x)=2x-号1的图象关于 () A.y轴对称 B.直线 y=-x 对称 C.直线 y=x对称 D.坐标原点对称 2.(广东江门广雅中学高一期中)下列函数为 奇函数的是 () 7.定义在R上的奇函数f(x)在[0,+～]上的 图象如图所示. (1)补全 f(x)的图象； (2)解不等式xf(x)>0. y 2 1 -3 -10-2 -1 1 3元2 A.y=x2 B.y=x3 C.y=|x D.y=√x 3.(多选)设f(x)是R上的任意函数，则下列 叙述正确的是 () A.f(x)f(一x)是偶函数 B.|f(x)f(一x)|是偶函数 C.f(x)-f(一x)是偶函数 D.f(x)+f(一x)是偶函数 能力练 避移运用 4.若f(x)=(ax+1)(x-a)为偶函数，且函 数y=f(x)在x∈(0,+～)上单调递增，则 实数a的值为 () A.±1 B.-1 C.1 D.0 fa)=+x8.函数 的图象大致是 () y y+ -1 0 -1 0 5.已知函数 f(x)=z*+#T 是 定 义 在 (-1,1)上的奇函数，则常数m,n的值分别 为 6.设偶函数f(x)的定义域为[—5,5],若当 x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等 式 f(x)<0 的解集是 · 4 y=fx) 可 2( 左:5 A B yt yt 可 x 0 1 x C D 9.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函 数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+x2+1, 则 f(1)+g(1)等于 () A.-3 B.一] C.1 D. 3 43 ?高中数学·必修 第一册 10.(福建泉州高一期末)鹅被人类称为美善天 使，它不仅象征着忠诚、长久的爱情，同时 它的生命力也很顽强，因此也是坚强的代 表.如图(1)是两只天鹅面对面比心的图 片，其中间部分可抽象为如图(2)的轴对称 的心型曲线.下列选项中，两个函数的图象 拼接在一起后可大致表达出这条曲线的是 () y? 创新练/素能培优 14.设函数f(x)=x2-2|x-a|+3,x∈R. (1)王鹏同学认为，无论a取何值，f(x)都 不可能是奇函数.你同意他的观点吗?请 说明你的理由； (2)若 f(x)是偶函数，求a的值； (3)在(2)的情况下，画出 y=f(x)的图象 并指出其单调递增区间. 0 克 图(1) 图(2) A.y=|zl+√1 l～.x2及y=|xl-√ 2 B.y=x+√2及y=x-√2 c.y=1x|+√1+及y=lxl-√+ D.y=x+√1±2及y=x-√ 11.请写出一个满足以下条件的函数f(x): ①为偶函数；②f(x)的值域为(1,+～), 则f(x)= 12.已加/(o-是奇函数，则f(-3)= ;f(g(-3))= 13.已知函数f(x)对一切实数x,y都有f(x +y)=f(x)+f(y). (1)求证 f(x)是奇函数； (2)若 f(-3)=a,试用a表示f(12). 44 +子，,此时函数f(x)的值域为(2,+~);当x≥g(x), 即-1≤x≤2时，f(x)=g(x)-x=x2-2-x= (x-2)一六，其最小值为f(号)=-号， ,最大值为 f(2)=f(-1)=0,因此x∈[-1,2]时，函数f(x)的值域 为[-÷0]. [-÷-o]u综上可得，函数 f(x)的值域为 (2,+～). 11.解析 根据所给二次函数解析式可知函数图象的对称 轴方程为直线 x=-1,且恒过定点(0,1). ①当a<0时，函数在[-2,-1]上单调递增，在[-1,3] 上单调递减，所以函数在x=-1处取得最大值， 因为f(-1)=-a+1=6,所以a=-5. ②当a>0时，函数在[-2,-1]上单调递减，在[-1,3] 上单调递增，所以函数在x=3处取得最大值， 因为f(3)=15a+1=6,所以a=号. 故a的值为-5或号。 答案 -5或子 12.解析易知函数f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,根据 二次函数的性质，可得当x∈[0,4]时，f(x)∈[-1,3], 记 A=[-1,3]. 对于g(x)=mx+3-2m,当m>0时，g(x)=mx+3- 2m在[0,4]上单调递增，所以g(x)∈[3-2m,3+2m], 记 B=[3-2m,3+2m]. 因为对任意x?∈[0,4],总存在x?∈[0,4],使f(x?)= g(x?)成立，所以 A∈B,则 ,解得 m≥2. 所以实数m的取值范围为(2,+～). 答案 (2,+) 13.解 (1)p(5)=60-(5-10)2=35,其实际意义为：发车 时间间隔为5分钟时，载客量为 35. (2)∵y=5p()+24-10,∴当5≤1<10,x∈N时， y=360-6t-10)+24-10=110-(6x+2L6), 任取t?,t?∈[5,6],且t?<t?, 则y?-y?=[110-(6i+2)]-[110-(6t,+ 46)]-6(?-4)+?-2L -6a-1)214-a-4. ∵5≤t?<t?≤6,∴t?-t?>0,25<t?t?<36, ∴t?t?-36<0,∴y?-y?<0, ∴函数y=110-(6x+216),在区间[5,6]上单调递增， 同理可证该函数在区间(6,10)上单调递减， ∴当t=6时，y取得最大值38; 当10≤/<20,1∈N时，y=5×60+24-10=344-10, 该函数在区间[10,20]上单调递减， 则当t=10时，y取得最大值 28.4. 综上，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟 的净收益最大，最大净收益为38元. 14.解 (1)当a=1时， /c0-x+8l--(+-≤1; 所以函数 f(x)的单调递增区间为(1,+). (2)由题意可知， /6o=x+3L-al-(-ac-<a 当0<a<1时，函数f(x)在[-1,a]上单调递减，在[a, 1]上单调递增，所以g(a)=f(a)=a2;当a≥1时，函数 f(x)在[-1,1]上单调递减，g(a)=f(1)=3a-2. 综上：k()=|-2u≤1: (3)当x∈[-1,1],a∈(0,1)时，令h(x)=f(x)- g(a),则m≥h(x)m 若0<a<1,则当x∈[-1,1]时，函数h(x)在[-1,a] 上单调递减，在[a,1]上单调递增，且h(-1)=4+3a- a2,h(1)=4-3a-a2,此时，h(x)=h(-1)=4+3a- a2=-(a-2)+<6;若a=1,则当x∈[-1,1] 时，函数h(x)在[-1,1]上单调递减，此时，h(x)= h(-1)=7-1=6. 综上，h(x)mx=6,则实数m的取值范围是[6,+～]. 训练二十二函数奇偶性的概念 1.D 易知函数f(x)的定义域为(-～,0)U(0,+～),因 为f(x)=2x一号，所以f(-x)=-2x+÷= -(2x-÷)=-f(x),则函数f(x)是奇函数，则函数 f(a)=2x-÷-的图象关于坐标原点对称.故选 D. 2.B 对于A,y=f(x)=x2的定义域为R,且f(-x)= (一x)2=x2=f(x),所以 y=x2为偶函数，故 A不符合 题意；对于B,y=g(x)=x3的定义域为 R,且g(-x)= (-x)3=-x3=-g(x),所以y=x3为奇函数，故B符合 题意；对于C,y=h(x)=|x|的定义域为R,且h(-x)= l-x|=|x|=h(x),所以 y=|x|为偶函数，故C不符合 题意；对于D,y=√x的定义域为[0,+心],定义域不关 于原点对称，所以 y=√x为非奇非偶函数，故 D不符合 题意.故选 B. 3.ABD 因为 F(x)=f(x)·f(一x)满足F(-x)=f(-x)· f(x)=F(x),所以 F(x)=f(x)·f(一x)是偶函数，故A正 确；因为M(x)=|f(x)·f(-x)|满足M(-x)=M(x),所以 M(x)是偶函数，故B正确；因为H(x)=f(x)-f(一x)满足 H(-x)=f(-x)-f(x)=-H(x),所以H(x)是奇函数，故 C错误；因为G(x)=f(x)+f(-x)满足G(-x)=f(-x)+ f(x)=G(x),所以G(x)是偶函数，故 D正确.故选 ABD. 4.C 因为f(x)=(ax+1)(x-a)=ax2+(1-a2)x-a为偶函 数，所以1-a2=0,所以a=±1.当a=1时，f(x)=x2-1,在 区间(0,+～)上单调递增，满足条件；当a=-1时，f(x)= 一x2+1,在区间(0,+～)上单调递减，不满足条件. 5.解析 由题意知 f(O)=0,故得 m=0. 由f(x)是奇函数知f(-x)=-f(x), 84 -1=-2++1 :14.解 (1)我同意他的观点.即一x” 理由如下： ∴x2-nx+1=x2+nx+1,∴n=0. 假设f(x)是奇函数， 答案 0,0 f(a)=a2+3,f(-a)=a2-4|a|+3, 可得 f(a)+f(-a)=0, 即a2-2|a|+3=0无解， ∴f(x)不可能是奇函数. 6.解析 因为偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性 确定不等式 f(x)<0的解集. ∵当 x∈[0,5]时，f(x)<0的解集为{x|2<x≤5}, (2)若f(x)是偶函数，则有f(a)=f(-a), 即 a2+3=a2-4|a|+3,解得a=0. 经验证成立. ∴当x∈[-5,0]时，f(x)<0的解集为{x|-5≤x<-2}. ∴f(x)<0的解集是{x|-5≤x<-2,或2<x≤5}. 答案 {x|-5≤x<-2,或 2<x≤5} (3)由(2)可知 f(x)=x2-2|x|+3,图象如图： 7.解 (1)描出点(1,1),(2,0)关于原点的对称点(-1,-1), ”(-2,0),则可得f(x)的图象如图所示. 之 -2 1 1 -3 350 1 2 —1— 0 4-2 -1 1 2 -2F (2)结合函数f(x)的图象，可知不等式xf(x)>0的解集 单调递增区间为(-1,0),(1+～). 是(-2,0)U(0,2). 训练二十三函数奇偶性的应用 f(a)=f8.D 对任意的x∈R,x?+1>0,则函数 的定 r(-x)=二7=-义域为 R,又因为 1.B 因为函数f(x)为R上的奇函数，所以 f(-x)= -f(x),又当x>0时，f(x)=x2-2,所以 f(-1)= -f(1)=-(13-2)=1.故选 B. 一f(x),故函数f(x)为奇函数，排除AB;当x>0时，0< 2.C ∵f(x)在R上是偶函数， ∴f(-π)=f(π),f(-4)=f(4).f(a)=+1- - ,当且仅当x=x?+ 12√ x3· x3 1时，等号成立，排除C选项.故选 D. 而3<π<4,且f(x)在(0,+心)上是增函数， ∴f(3)<f(π)<f(4),即 f(3)<f(-π)<f(-4). 3.D ∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)=0.又 f(x)在 9.C 因为f(x)-g(x)=x3+x2+1, 所以 f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1. 又由题意可知f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x), 所以 f(x)+g(x)=-x3+x2+1, (0,+～)上单调递增，f(1)=0,∴f(x+1)<0,即0<x +1<1或x+1<-1,解得-1<x<0或x<-2,∴x∈ (一～,-2)U(-1,0).故选 D. 4.C 因为a2+2a+喜=(a+1)2+号>2,又因为f(x)在 则 f(1)+g(1)=1,故选 C. 10.A 由题图可知其函数图象关于y轴对称，所以函数为 偶函数，排除 B,D;由题图可知函数的定义域有限，对于 [0,+~]上是减函数，所以f(a2+2a+喜)≤f(2)= r(-2).C.y=1xl+√1±及y=1xl-√,的定义域均 为R,不符合题意.故选 A. 5.解析 ∵f(x+4)=f(x),∴函数f(x)的周期为4. ∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(-x)=f(x), 11.解析由题意知f(x)是偶函数，且f(x)的值域为[1, +～),故 f(x)=x2+1(答案不唯一). 答案 x2+1(答案不唯一) ∴f(6.5)=f(2.5)=f(-1.5)=f(1.5)=-0.5. 答案 一0.5 6.解析 因为f(x)为奇函数，所以f(-2)=-f(2)=3. 12.解析因为函数f(x)是奇函数，所以f(-3)=g(-3) 因为x∈(一，0)时，f(x)=x2+mx,所以 f(-2)= =-f(3)=-6,所以 f(g(-3))=f(-6)=-f(6)= (-2)°-2m=3,所以m=去. 答案 —33. 答案 —6 —33 13.解(1)证明由已知f(x+y)=f(x)+f(y), 令 y=-x得f(0)=f(x)+f(-x), 令x=y=0得 f(O)=2f(0),所以 f(0)=0. 所以f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x), 故 f(x)是奇函数. 7.解 (1)当x>2时，设f(x)=a(x-3)2+4. 因为f(x)的图象过点A(2,2), 所以a(2-3)2+4=2,所以a=-2, 所以 f(x)=-2(x-3)2+4. 设x∈(一的，-2),则-x>2, 所以 f(-x)=-2(-x-3)2+4. 又因为f(x)在R上为偶函数， (2)由(1)知f(x)为奇函数， 所以 f(-3)=-f(3)=a.所以 f(3)=-a. 又 f(12)=f(6)+f(6)=2f(3)+2f(3)=4f(3), 所以 f(-x)=f(x),所以 f(x)=-2(-x-3)2+4, 即f(x)=-2(x+3)2+4,x∈(一，-2).所以 f(12)=—4a, 85