训练12基本不等式-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练测（人教A版2019）

AI伴学助手 在线答疑 ? 配套答案 银 训练十二基本不等式 5.若a>b>c,则““与√a-b)(6-5的大 小关系是 基础练 学考测评 1.给出条件①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0; 6.某工厂第一年的产量为A,第二年的增长率 ①a<0,b<0,其中能使ab+at≥2成立的 条件有 () 为a,第三年的增长率为b,则这两年的平均“增长率x与增长率的平均值 的大小关 系为 A.1个B.2个C.3个D.4个 2.设t=a+2b,s=a+b2+1,则t与s的大小 关系是 7.已知x,y都是正数，求证：(x+y)(x2+y2) (x3+y3)≥8x3y3.A.s≥t B.s>t C. s≤t D.s<t 3.(湖南邵阳经纬实验学校高一期中)若0<a <b,则下列不等式成立的是 () A.√ab<“2?<a<b B.a<√ab<?±?<b C.√ab<a<?2<b D.a<?≠?<√ab<b 4.《几何原本》中的几何代数 D 法(用几何方法研究代数 Ek 问题)成了后世西方数学 A 0 C B 家处理问题的重要依据，通过这一方法，很 多代数公理、定理都能够通过图形实现证 明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是 半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于 能力练 混移运用 8.(安徽江淮名校高三质检)已知正数a,b满 足(a-1)(b-2)=4,则a+4b的最小值为 ()A,B,O),点 D在半圆O上，且CD⊥AB, CE⊥OD于E,设AC=a,BC=b,则该图形 可以完成的“无字证明”为 () A.16 B.171C.18 D.19 9.(多选)设a>0,b>0,则下列不等式恒成立 的是 ()A.√ab≤“2?(a>0,b>0) A.a2+1>a B.“2?<2+6(a>0,b>0,a≠b) B.a2+9>6a C.2+b≤√ab(a>0,b>0) C.(a+b)(a+÷)≥4 D.2+b<√ab<?±?(a>0,b>0,a≠b) D.(a+÷)(b+≠)≥4 23 ?高中数学·必修 第一册 10.(多选)有下列式子，正确的有 () |x+÷≥2A.a2+1>2a B. c.≥2 D.x2++≥1 =y11.已知a,b是不相等的正数， =√a+b,则x,y的大小关系是_ (1+a)(1+岁)12.若a,b都是正数，则 的最 小值为 . 13.(1)若a,b,c,d都是正数，求证：(ab+cd) (ac+bd)≥4abcd; (2)若a,b,c都是正数，求证：a(b2+c2)+b (c2+a2)+c(a2+b2)≥6abc. 创新练 素能培优 14.(福建高二期末)设a>0,b>0,c>0, 证明： (1)÷+方≥a+s; 2a+2b+2≥a+o+s+c+a+(2): 24 干前毛巾上残留的污物量w?与清水量(M+b)之比， 甲方-6平N从而m-1+元 ∴x2+y2≥2√x2y2>0,x3+y3≥2√x3y>0(当且仅 当 x=y时等号成立). ∴(x+y)(x2+y2)(x?+y3)≥2√xy·2√x2y3· 2 √xy3,B=(2)若采用方案二，第一次漂洗与(1)相同，有 a ,即第一次漂洗之后剩余污物量 即(x+y)(x2+y2)(x?+y3)≥8x3y3,当且仅当x=y时， 等号成立. 6+晋 0-26|-%:8.B 由(a-1)(b-2)=4,得 同理可得，在第二次漂洗拧干前，毛巾上残留的污物量 兰+b之比，等于在拧干之后毛巾上残留u?与清水量! 的污物量 w?与毛巾上残留的清水量b之比，即· 0-<时，又0>0.0>0(-2<-2<0;当 {6-2>0*a+40W9 此时(a-1)(b-2)=4不可能成立，故 =(a-1)+4(b-2)+9≥2√4(a-1)(b-2)+9=17, 当且仅当 时取等号.故 (1+?1+A从而贵(1( 选 B. +()>1+%. 因此w?<m?,则说明方案二的效果更好. 9.ACD 设a>0,b>0,a2+1-a=(a-2)+3>0, A成立；a2+9-6a=(a-3)2≥0,B不成立；(a+b) (÷+÷)=1+++1≥2+2√·方=4,当且 =方，即a=b时取等号，故 C成立；a+÷≥2,b仅当- 训练十二基本不等式 ab+≥2成立，则ab>o,1.C 由基本不等式可知，要使 所以a,b同号，所以①③④均可以.故选 C. +÷≥2.所以(a+÷)(o+云)≥4,当且仅当a=÷,b2.A 因为b2+1≥2b,所以a+2b≤a+b2+1,即s≥t,故 选 A. 一方，即a=b=1时取等号，故 D成立.故选ACD. 3.B 因为0<a<b,所以a<√ab,“?<b.当 O<a<b ,所以a<√ab<??<时，由基本不等式得√ab<“√”, 10.BD ∵a2-2a+1=(a-1)2≥0, ∴a2+1≥2a,故 A错误； x+÷|=x+÷≥2(当且仅当x对于B,当x>0时， =1时取“=”); x+÷|--x-÷≥2(当且仅当x=-1当x<0时， 时取“=”),故B正确； b.故选 B. Do=“之6,易4.D 由AC=a,BC=b,可得半圆O的半径I 得Dc=√AC·BC=√ab,DE=DG-2+6因为 DE a+b<√ab<“±°(a>0,b>0,a≠b),<DC<DO,所以- 故选 D. “--2<2,故C错误；对于C,若a=b=-1,则 对于D,x2+-+T-x2+1++T-1≥1(当且仅当x =0时取“=”),故 D正确。 “Z=a-0(-2≥5.解析因为a>b>c,所以 √(a-b)(b-c),当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时， 等号成立. “2?≥√(a-b)(b-c)答案 x2=a+6+2√a,y=a+h=11.解析由题意得 a+6±a+4.∵a+b>2√0(a≠b)xx2<y. 6.解析用两种方法求出第三年的产量分别为 又∵x>0,y>0,∴x<y.A(1+a)(1+b),A(1+x)2,则有(1+x)2=(1+ 答案 x<ya)(1+b). (1+名)(1+g)=1+g+2+·12.解析 =5+号+A≥5+2√5·=9( ∴l+x=√QI+a)d+b)<1+a21+b=1+°±, ∴x<“. 当且仅当 b= 2a 时，等号成立). 当且仅当a=b时，等号成立. x<?答案 答案 9 7.证明∵x,y都是正数， 13.证明 (1)由a,b,c,d都是正数，利用基本不等式可知， ab+cd≥2√abcd,当且仅当ab=cd时，等号成立；∴x2>0,y2>0,x3>0,y3>0,x+y≥2√xy>0, 74 ac+bd≥2√acbd,当且仅当ac=bd时，等号成立. 所以(ab+cd)(ac+bd)≥2√abcd·2√acbd=4abcd, 即有(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd,当且仅当a=d,b=c 时，等号成立. 5.解析 设直角三角形的两直角边长分别为acm,bcm, 由题意得a2+b2=400≥2ab,当且仅当a=b=10√2时， 等号成立·a<200,∴÷ab<100. 故该直角三角形面积的最大值为100 cm2. (2)由a,b,c都是正数，利用基本不等式可知， b2+c2≥2bc,当且仅当b=c时，等号成立； c2+a2≥2ac,当且仅当a=c时，等号成立； a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时，等号成立. 答案 100 cm2 6.解析 由题意可知1-2m>0,k≤(A+122m) 又+12m=(2m+1-22m)[2m+(1-2m)]=2+所以a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)≥a·2bc+b· 2ca+c·2ab=6abc,当且仅当a=b=c时，等号成立. 2(122+122m)+2≥8,当且仅当12=12,即14.证明(1)∵a>0,b>0, m=÷∴.(a+D(÷+方)≥2/·2√a=4, 当且仅当a=b时，等号成立， ∴a+b≥a+6 时，等号成立.故 k≤8,所以k的最大值为8. 答案 8 7.解 由题意得，建造成本费用为8z(0≤x≤8)万元， 2￥F(0≤x<8)万元，使用管理费用为! d+b>a+6·(2)由(1)可得 所以 w=8x+2￥15+80(0≤x<8), 同理可得÷+÷≥万++÷>+ 则w=4(2x+5)+50×15+60≥180, 当且仅当4(2x+5)=2,2(÷+÷+÷)≥a+b+s+c+a+三式相加，得2 ,即x=5时，w取得最小 值，即当设置5千套座椅时，15年的总费用w最小，最小 值为180 万元. ∴a++≥a+6+++a+ 训练十三基本不等式的应用 x+=1,8.D 因为3a+b=3ab,所以 1.C 因为a,b为正数，a+4b=12,所以ab=÷a·4b≤ ÷(“2*)-÷×62=9, 当且仅当a=4b=6时，等号成立， 则a+b=(a+b)(÷+)=1+÷+方+≥x+ 2√6·6=4+23 方=2.,当且仅当- 即a=B+b=3+G时等号成立， ÷+所以a+b的最小值为- .故选 D. 所以当a=6,b=号：时，ab取得最大值 9.故选 C. 2.D∵y=4x+a-5=4x-5+-5+5, 9.B 因为a>0,b>0, 又x>喜∴4x-5>0,∴4x-5+1-s≥2, 2+≠≥2a+b=2a+b+2?=5++F≥所以- 故y≥2+5=7,等号成立的条件是x=言 m.由a>0,b>0得+≥2√2·F=4,当且仅当a= b时，等号成立.所以5++≥9,所以m≤9.故选B. 3.B 因为-6≤a≤3,所以3-a≥0,a+6≥0, 所以√C3-a)(a+6)≤3-a)(u+6=号， 当且仅当3-a=a+6,即a=-号! x+y=21,S=xy.10.AC 设矩形的边长分别为x,y,则，-时，等号成立. 即√(3-a)(a+6)(-6≤a≤3)的最大值为- 对于A,(1,4),则x+y=2,xy=1,根据基本不等式得 xy≤(xt￥) ,符合题意；对于B,(6,8),则x+y=4, xy≤(*) 62 4.A 因为x>0,所以x+÷>0, xy=6,根据基本不等式得 ,不符合题意； y-s+z-2-(+号)++-2所以 对于C,(7,12),则x+y=6,xy=7,根据基本不等式得 xy≤(2f￥)2,符合题意；对于 D,(3,去),,则 x+y= ((+=)+号--.≥2 查当且仅当 即x=号时，等号成立，所以函数的最小值为0. ÷,xy=3,根据基本不等式得xy≤(),不符合题 意，故选 AC. ÷+方=÷(a+11.解析 因为a>0,b>0,且a+b=4,所以- 6(÷+÷)=÷(2++号)>÷(2+2√·) 75